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黎曼假如就是数学界的“经度问题”。黎曼假如的解答能为人们摸索数字陆地中的神秘水域提供线索。它也仅仅是咱们摸索天然之数字的一个开始。网传数学家张益唐，曾经攻克了朗道 - 西格尔零点猜测（Landau-Siegel Zeros Conjecture）。而这则音讯，据说是张益唐在加入北京大学校友 Zoom 线上会议时亲口所述。如此爆料，堪称是在数学界轰动不已。微博博主“物理芝士数学酱”认为，如果张益唐所证实的是朗道 - 西格尔零点存在，那么黎曼猜测就能够死了：张益唐间接就是前后 50 年里最平凡的数学家，没有之一。并且依据这条爆料音讯来看，相干文章将会在 11 月初发到预印本网站，一百多页。想要了解被称为数学钻研的“珠峰”的世纪难题——黎曼猜测——的确是一件不容易的事，无妨先看看猜测背地的前世今生。起源丨量子位（金磊 Alex）一、黎曼猜测的提出 1900 年 8 月的某个晚上，空气湿润闷热。在巴黎大学的一个拥挤的大厅里，第二届国内数学家大会正热火朝天地进行着。来自哥廷根大学的大卫·希尔伯特传授正在台上发表演讲。他是过后公认的最平凡的数学家之一，其演讲内容大胆、离奇。他要探讨的不是那些已被证实的问题，而是一些尚未解决的问题。这与人们长久以来所承受的传统观念南辕北辙。当他阐释对于数学将来的观点时，听众甚至能听出他声音中的局促不安。“咱们当中有谁不想揭开将来的面纱，摸索当今迷信的下一步倒退历程，以及在将来几百年的发展前景和神秘呢？”为了迎接新世纪的到来，希尔伯特给观众列出了 23 道难题。他置信这些问题将为 20 世纪的人们在数学摸索之路上指明方向。随后的几十年间，人们见证了其中的多个问题得以解决，而发现问题答案的那群人组成了一个驰名的数学家团队，即“荣誉个人”。这个个人中包含库尔特·哥德尔、亨利·庞加莱，以及其余许多用思维扭转数学格局的人们。不过还有一个问题，也就是希尔伯特的第八问题，仿佛将会安好地度过这个世纪而无人折桂，这就是黎曼假如。在希尔伯特所设置的这些难题中，第八问题在他心中的位置非同一般。有一个德国神话和腓特烈一世无关，这位备受爱戴的德国国王死于第三次十字军东征期间。有风闻称他仍然活着，只是安睡于屈夫霍伊泽山脉，当德国人须要他的时候便会醒来。据说有人问过希尔伯特：“如果你能像腓特烈一世一样复活，那么 500 年后，你想要做什么？”他答道：“我会问‘有没有人证实了黎曼假如’。”在 20 世纪完结之际，面对希尔伯特难题中的顶尖挑战，大多数数学家还是大刀阔斧。然而，这可能不仅是本世纪无奈解决的问题，很可能即便 500 年后希尔伯特从沉睡中醒来，这个问题也不会有答案。他那场摸索未知领域的革命性演讲，在 20 世纪的第一次国内数学家大会上掀起了轩然大波。然而，对于那些打算加入 20 世纪的最初一次会议的数学家来说，还有一个惊喜期待着他们。二、黎曼猜测的首次破冰 1997 年 4 月 7 日，数学家们的计算机屏幕上闪过一则不同寻常的新闻。国内数学家大会的官方网站发表，在明年将于柏林召开的会议上，大会将颁布一个重磅音讯：黎曼假如终于被证实了！黎曼假如是整个数学畛域的外围问题。浏览邮件的数学家们一想到行将揭开这一平凡数学神秘的神秘面纱，心田就激动不已。这一音讯来自恩里科·邦别里传授。没有人比德高望重的他更适宜公布这个音讯了。邦别里传授是黎曼假如的守护者之一，就任于驰名的普林斯顿低等研究院，爱因斯坦和哥德尔也曾在这里工作过。他谈话时轻声细语，然而数学家们总会认真凝听他要讲的每一个字。邦别里传授在意大利长大，家境优越，家族的葡萄酒庄造就了他鄙俗的生存品尝。他被共事亲切地称为“数学贵族”。年老时，他通常开着丑陋的跑车返回欧洲的会议现场，在会场上留下洒脱的身影。对于本人已经 6 次去意大利加入 24 小时拉力赛的传言，他也欣然接受。他在数学上的成就引人注目，在 20 世纪 70 年代当之无愧地收到了普林斯顿大学的邀请，尔后始终在那里任教。他将本人对赛车的激情转移到了绘画上，尤其是肖像画。数学可能吸引邦别里的起因在于，它是一门创造性的艺术。尤其是黎曼假如这种难题，激发了他挑战的欲望。15 岁那年第一次读到黎曼假如后，他便沉浸其中不可自拔。身为经济学家的父亲有一个书库，珍藏有大量的数学书。当浏览数学书时，他就被数字的性质吸引住了。他发现，黎曼假如是数论中最粗浅且最基本的问题。父亲承诺，如果能解决这个问题就为他买一辆法拉利，这令他激情大增。在他父亲看来，这是使他迷途知返的一种无奈之举。正如邦别里在邮件中所说的，他不再有机会博得法拉利了。他在邮件结尾写道：“上周三，阿兰·孔涅在普林斯顿低等研究院的讲座中提到，他对黎曼假如的钻研获得了冲破。”几年前，阿兰·孔涅将注意力转向了证实黎曼假如上，整个数学界为此欢欣鼓舞。孔涅是该学科的改革者之一。若邦别里是数学界的路易十六，那么孔涅就是罗伯斯庇尔。他魅力不凡，那火个别的格调与稳重板滞的数学家形象相去甚远。他能压服人们置信他的世界观，其演说也引人入胜。他的追随者都对他充斥了崇拜之情。他们都乐于退出孔涅的数学营垒，来保卫他们心中的英雄，并抵挡来自那些仍坚守传统立场的顽固派的反攻。孔涅供职于巴黎低等迷信研究所，相当于法国的普林斯顿低等研究院。他自 1979 年到那里之后，就创建了一种用于解析几何的新语言。他不怕该学科会变得极其抽象化。即便是那些素日里同高度概念化办法打交道的数学家，他们中的大多数也都拒绝接受孔涅提出的数学抽象化这一改革。然而，正如他向那些对这一实践持狐疑态度的人们所展现的那样，他所创建的新几何语言却为量子物理在事实世界寻得蛛丝马迹关上了大门。如果这引起了数学界的恐慌，那就顺其自然吧。孔涅大胆断言，他的新几何语言岂但能揭开量子物理世界的面纱，还能解释黎曼假如——这个对于数字的最大神秘。这令人们感到意外和震惊。他无惧打破常规，挣脱桎梏，敢于冒险，直捣数论外围，直面数学上最艰涩难懂的问题。自 20 世纪 90 年代中期孔涅进入该畛域后，坊间曾一度流传，如果有人能攻克这个家喻户晓的难题，那肯定非他莫属。然而发现这一简单拼图最初一块的那个人，仿佛并不是孔涅。邦别里接着讲到，观众中一位年老的物理学家“灵光一现”，发现利用他提出的“超对称费米 – 玻色零碎”能够破解黎曼假如之谜。数学家对这个时尚的混合名词知之甚少，不过邦别里解释说，这形容了“在对应靠近绝对零度时的物理世界，带有相同自旋的任意子和糊涂子 A 组合而成的零碎”。这听起来仍旧艰涩难懂，然而这毕竟是用于解决数学史上最难的问题的答案，就算再难也在人们的意料之中。据邦别里所说，通过六天披星戴月的工作，并借助一种叫作 MISPAR 的新计算机语言，年老的物理学家最终攻破了数学界的顶尖难题。邦别里在邮件结尾处写道：“哇！请给他最高的赞美吧！”黎曼假如最终由一位年老的物理学家来证实，这齐全出乎人们的预料。然而这一天的到来并没有给人们带来太大惊喜。过来的几十年里，人们曾经发现，许多数学问题其实与物理问题有着千头万绪的分割。人们曾经隐约感觉，作为数论的外围问题，黎曼假如兴许或多或少地波及粒子物理的问题，可能是以一种人们意想不到的形式。数学家们于是纷纷扭转本人的旅行打算，飞往普林斯顿来见证这一平凡时刻。1993 年 6 月，英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥大学演讲时，发表证实了费马大定理。这一音讯颁布后，全场沸腾。那令人激动万分的一幕，过后在场的人们仍历历在目。怀尔斯证实了费马是对的：方程 xn +yn =zn 在 n >2 时无解。当怀尔斯完结演讲放下粉笔的那一刻，在场的人们沸腾了。他们兴奋地开启香槟酒，庆贺这一时刻。记者们也纷纷拿起照相机，开始拍个不停。然而，数学家们晓得，相比于晓得费马方程无解，证实黎曼假如才真正关乎数学界的将来。正如邦别里在 15 岁那年发现的，证实黎曼假如旨在了解数学中最根本的对象——素数。三、悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假如素数正是算术中的原子。素数就是不可分割的数字，无奈写成两个较小数字的乘积。数字 13 和 17 都是素数，不过 15 就不是，因为它可能写成 3 和 5 的乘积。素数如同散落在整个广袤无垠宇宙中的珠宝，是能让数学家不惜花上几个世纪来摸索的数字。对数学家而言，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, …，这些永恒的数字仿佛披上了神秘的外衣，它们独立于咱们的物理世界而存在。它们是大自然赐予数学家的礼物。素数对数学的重要性在于其结构所有其余数字的魔力。每个合数（非素数）都能够由几个素数相乘得出。这就如同在物理世界中，每个分子都能够由化学元素周期表中的原子形成，素数列表就是数学家心中的元素周期表。素数 2、3、5 是数学家在实验室里的氢、氦、锂。把握这些素数，数学家就能在盘根错节的数学摸索之路上乘风破浪、高低求索，开辟出一片新天地。只管素数简略而根底，但还是成为了让数学家手不释卷钻研的一个最为神秘的课题。素数给这个旨在发现法则和规定的学科带来了空前的挑战。浏览一组素数，你会发现，基本不可能预测下一个素数何时呈现。素数数列看起来无序而随机，对预测下一个素数也没有提供什么线索。素数数列是数学的心跳，但它是被弱小的咖啡因鸡尾酒所激发起来的脉搏跳动（见下图）。2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 4143 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 小于 100 的素数：数学的无规律心电图你是否找到一个创立数列的公式，它有个神奇的法令，能通知你第 100 个素数是什么？从古至今，这个问题便始终困扰着数学家们，成为其挥之不去的噩梦。只管两千多年过来了，素数仿佛还是对那些妄图将它们间接纳入公式的人们不屑一顾。一代代数学家们凝听着素数的鼓点，一开始他们听到两下敲击，接着是三下、五下、七下。随着鼓点持续敲击，节奏越来越没有外在逻辑，使人不得不置信这就是一片随机的白噪声。谋求规律性始终是数学这门学科的重中之重，而数学家在素数这里只能听到一片凌乱嘈杂之声。自然选择素数的形式仿佛毫无法则可循。数学家们则承受不了这一事实。如果不足数学法则，不足简洁之美，那就不值得钻研了。白噪声素来就无奈让人赏心悦目。法国数学家亨利·庞加莱在书中这样写道：“科学家并不是因为天然有用才去钻研它的，而是因为他们乐于钻研这个。驱使他们钻研的乐趣，就是天然之美。如果天然短少了美感，那就不值得钻研；如果天然不值得钻研，那么世间或者也不值得来一趟。”人们或者心愿，素数的脉搏在起初的凌乱之后能够逐步安稳下来。然而大失所望，随着计数的减少，事件仿佛变得越来越蹩脚。上面别离来看看小于和大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数。首先是小于 10 000 000 的：9 999 901, 9 999 907, 9 999 929, 9 999 931, 9 999 937, 9 999 943,9 999 971, 9 999 973, 9 999 991 大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数却比比皆是：10 000 019, 10 000 079 很难设想什么样的公式能生出这种法则的数字来。实际上，相比于有序的数列法则，素数的队列更像是一种对数字的无序继承。如同晓得前 99 次抛硬币的后果，还是无奈让你失去第 100 次的后果一样，素数也是不可预测的。四、素数还是素数在数学界，素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。其一，一个数字只有两种状况，要么是素数，要么不是素数。抛掷硬币也无奈决定一个数字是否被更小的数字整除。其二，没有人否定素数序列看起来就像一个随机抉择的数列。物理学家曾经认同了这一观点：量子的覆灭决定宇宙的命运，每次投掷随机抉择科学家所能找到的物质。数学上这么重要的数字，难道是由大自然掷骰子决定的？但如果承受这个事实，那就会让数学界陷入难堪的地步。随机和无序几乎是对数学家的咒骂。素数只管具备随机性，但相比其余任何数学文化遗产，它们更具持久性和普遍性。无论咱们有没有找到更高效的办法来辨识它们，素数就在那里。来自剑桥大学的数学家 G.H. 哈代在其著述《一个数学家的辩解》中写道：“317 是素数，不是因为咱们认为如此，或者咱们的感知形式是如此，而是因为它本就如此，因为数学世界就是如此构建的。”一些哲学家或者会反驳柏拉图的世界观，即置信有一个超过人类的相对而永恒的世界存在。然而在我看来，那正是使他们成为哲学家而非数学家的起因之所在。邦别里在邮件中特地提到的数学家阿兰·孔涅和神经生物学家让 – 皮埃尔·尚热，在 Conversations on Mind, Matter and Mathematics 一书中有一段火药味十足的精彩对话。数学家认为数学存在于意识之外，而神经学家果决地批驳了这种观点：“咱们为什么在地面看不到用金字书写的‘π =3.141 6’，或者在水晶球倒影处呈现的‘6.02×1023’呢？”孔涅则坚称：“独立于人类意识之外，存在着一个原生而永恒的数学世界。”在那个世界的核心，则存在着一组不变的素数。这给尚热一种深深的挫败感。孔涅还断言：“数学无疑是惟一的通用语言。”人们能够空想在另一个世界有不同的化学物质和生物。然而，不管在哪个星系，素数还是素数，始终如一。在卡尔·萨根的经典小说《接触》中，外星人通过素数和地球上的生命沟通。该书配角埃莉·阿洛维在搜查地外文化研究所任职，负责监听宇宙中的轻微声音。一天夜里，当射电望远镜对准织女星的波段时，他们突然在背景噪声中捕捉了一段奇怪的脉冲信号。埃莉马上从射频信号中辨认出了这个节奏。2 次脉冲之后是一个暂停，之后是 3 次、5 次、7 次、11 次，始终到 907 次，全部都是素数。之后又从新开始。这种宇宙之鼓演奏的乐章，是地球不能置若罔闻的。埃莉深信，只有智慧生命能力发明出这种节奏。“无奈设想一些辐射的等离子体，会发送像这样有法则的数字信号。应用素数正是为了引起咱们的留神。”她这样说道。外星文化发来的是过来十年间彩票中奖的数字吗？埃莉无奈从背景噪声中分辨进去。即便这一素数列表看起来像一串随机的彩票中奖号码，但因其普遍性和恒常性，外星人在播送中选取了这些数字。也正是这一结构特征，让埃莉意识到，这很可能是智慧生物收回的信号。应用素数交换并非科幻小说的专利。奥立弗·萨克斯在其著述《错把妻子当帽子》中记录了一个实在的故事。26 岁的双胞胎兄弟约翰和迈克尔，通过替换 6 位素数进行深度沟通。第一次发现他们在房间的角落里机密替换数字时，萨克斯这样写道：“乍一看，他们就像两个品酒专家，品味、赞美各自收藏的美酒。”一开始，萨克斯不懂这对双胞胎要干什么。然而破解了他们应用的明码后，他就记下一些 8 位素数，以便能出人意料地退出兄弟俩的下次谈话。当兄弟俩发现还有其余素数后，先是大吃一惊，接着陷入沉思，此后便悲痛欲绝。当萨克斯还在借助素数表查找素数时，这对双胞胎便开始生成素数了，但到底是怎么做到的，那就的确是个不堪设想的未解之谜了。是不是这些自闭症蠢才领有一些世代数学家缺失的微妙公式呢？这对双胞胎的故事是邦别里的最爱。听到这个故事时，我不得不诧异于且敬畏于他们疾速运行的大脑。但令我好奇的是，我的那些非数学家的敌人们，是否也会做出同样的反馈 ? 他们是否晓得，双胞胎兄弟领有的这种独特天才，是如许令人匪夷所思啊？他们是否晓得，数学家们殚精竭虑花了数个世纪，就是为了找到这样一种生成和测验素数的办法，而这种能力却是约翰和迈克尔与生俱来的？在所有人都困惑于这对双胞胎兄弟是如何做到这些时，他们的医生在他们 37 岁时将二人离开，理由是这对双胞胎沟通所应用的神秘明码会妨碍其倒退。如果这几位医生听到过大学数学系一般教室里的神秘对话，可能也会要求他们进行探讨吧。双胞胎兄弟很可能借助了基于费马小定理的办法来测验一个数是否为素数。这种测试方法相似于他们的另一个常常在电视节目中表演的技能：迅速判断出 1922 年 4 月 13 日是星期四。这两种办法都要执行时钟计算或者模运算这样的操作。即便他们没有一套对于素数的神奇公式，其能力也着实超乎常人。双胞胎被医生离开前曾经测验到了 28 位素数，远远超出了萨克斯的素数表的上限值。五、数学接力赛：实现黎曼的反动数个世纪以来，正如萨根书中的主人公监听宇宙中的素数鼓点，以及萨克斯偷听双胞胎交换素数一样，数学家们极力从素数的噪声中寻找法则。然而，他们的工作和指标总是背道而驰，所有仿佛都杯水车薪。起初，素数钻研终于在 19 世纪中叶获得了一项重大突破。伯恩哈德·黎曼开始用一种全新的视角对待这个问题。从新的角度登程，他逐步把握了素数呈现无序时所对应的某种法则。暗藏在素数外表的噪声之下的却是一种谐和之音，它不易觉察，却又出乎意料。只管向前迈进了一大步，新乐章之神秘却始终超出咱们听力之所及。黎曼，这个数学界的瓦格纳，是又一位壮士。他对本人所发现的这一神秘乐章进行了大胆的猜测。这一猜测也就是起初为人所熟知的“黎曼假如”。无论谁来证实黎曼对于这一神秘乐章实质所做的假如，都须要解释为何素数具备不言而喻的随机性。黎曼之所以能做出这一假如，得益于他注视素数所用的数学观察镜。踏入镜面世界的同时，爱丽丝进入了一个上下颠倒的世界。与之相比，在黎曼观察镜之外的奇怪数学世界，如同所有数学家所冀望的那样，无序的素数仿佛变得有法则可循。他猜想，无论人们注视到的观察镜之外的无垠世界有多远，都存在这一法则。他对镜子另一边所做的外在谐和的预测，就能解释为什么素数外表看起来是如此无序。这一变动来自黎曼的镜像世界，在那里混沌变为有序，这是个最令数学家们叹为观止的世界。黎曼留给数学界的难题，就是证实他凭直觉所感的法则客观存在。正如邦别里在 1997 年 4 月 7 日的邮件里所写的那样，这预示着一个新时代的到来。黎曼察觉到的货色并非空中楼阁。这位数学界的贵族，给数学家带来了期待已久的万能钥匙，无望解开素数为何无序之谜。借助这一平凡难题的解决，数学家迫切希望能揭开他们所知的所有其余数学问题的面纱。黎曼假如的证实将事关许多其余数学问题的解决。对于数学家来说，素数是如此重要，以至于任何在了解其本质方面所获得的冲破，都会产生无足轻重的影响。黎曼假如仿佛是一个难以回避的问题。当数学家沿着本人的数学方向后退时，仿佛所有的门路都不可避免地指向了同一处恢弘的景观，即黎曼假如。许多人将解决黎曼假如比喻成攀登珠穆朗玛峰。无人攀登的工夫越长，咱们就越想驯服它。最终攀登黎曼假如之峰的数学家，将会比埃德蒙·希拉里被人铭刻的工夫还要久。人们对于驯服珠峰的赞美，不在于峰顶的风景是如何令人叹为观止，而在于克服登顶过程中所遇到的种种挑战。从这个角度来看，证实黎曼假如和驯服世界上最高的山峰意义有别。黎曼之峰是咱们都想登顶的，因为咱们都晓得登顶之后展示在咱们背后的风光。许多数学家都曾两厢情愿地认为黎曼假如成立，并据此提出了成千上万个定理。而证实黎曼假如的人将无望胜利填补这些定理所存在的缺点。如此之多的后果依赖于黎曼难题，这也是数学家们称之为“假如”而非“猜测”的起因之所在。“假如”这个词有更粗浅的外延，是数学家用于构建实践的必要构想。相同，“猜测”仅仅代表着对数学家所认为的世界运行法则的一种预测。许多人不得不承受本人无奈攻克黎曼谜题这一事实，并只是将他的预测作为一种可用性假如。如果有人能够将这一假如变为定理，那么所有那些还未被证明的后果都将得以验证。为黎曼假如所吸引的数学家们，心愿有一天可能通过证实黎曼假如为真而声名远播。一些人并不仅仅将其作为一种可用性假如，他们看得更远。邦别里深信，素数会如黎曼假如所预测的那样有法则可循。这成为了人们谋求数学真谛的精神支柱。长久以来，人们都是凭直觉发现事物的运行法则。然而，如果黎曼假如被证伪，那么将彻底捣毁咱们这种信念。咱们对黎曼假如的正确性如此深信不疑，以至于要想扭转这一观点的话，须要彻底改变咱们的数学世界观。而那些基于黎曼假如为真所生成的定理都将灰飞烟灭。最重要的是，证实黎曼假如意味着数学家可能通过无力的根据，疾速确认 100 位素数，或者其余他们想要抉择的任意位素数。你可能会名正言顺地反诘：“这与我何干？”除非你是个数学家，否则黎曼假如证实与否，仿佛对你的生存不会产生太大影响。发现上百位的素数，这听起来就像数针尖上跳舞的天使有多少个一样无关紧要。只管少数人认为数学的意义在于设计飞机或者倒退电子技术，然而很少有人可能想到，摸索素数的深奥世界会给他们的生存带来多大影响。确实，即便到了 20 世纪 40 年代，哈代也持雷同观点：“世间存在一种叫作数论的不食人间烟火的迷信实践，高斯和多数数学家或者会为此兴奋不已吧。”六、计算机时代：从人脑到电脑然而，一个新的转折点呈现了。素数终于登上了残暴的商业世界的舞台核心。素数不再仅仅是数学界的明星。在 20 世纪 70 年代，三位科学家——罗纳德· L. 李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼——将素数的摸索从象牙塔中单纯的科研游戏，推广到了重要的商业应用领域。通过钻研皮埃尔·德·费马在 17 世纪提出的定理，这三位科学家发现一种办法，让人们在全世界的电商网站上购物时，能够利用素数来爱护信用卡号码的平安。这个概念首次问世于 20 世纪 70 年代，过后谁都没想到电子商务会变得像明天一样大受欢迎。现在若不借助素数的力量，网络交易就无奈进行。每当你在网上提交一份订单时，计算机就利用一些上百位的素数来提供平安保障。这种技术称作 RSA，得名于这三位发明者名字的首字母。到目前为止，曾经有超过百万个素数被用于爱护电子商务交易。每一笔网络交易都依赖于一些上百位的素数来保障交易平安进行。互联网的广泛应用，最终将导致咱们每个人都会有一个举世无双的素数身份。突然间，证实黎曼假如有了商业价值，因其可能会有助于理解素数在数字宇宙中的散布状况。RSA 的神奇之处在于，只管构建明码依赖于费马 300 多年前对于素数的发现，但要想破译明码却有赖于一个咱们尚未解决的问题。RSA 的安全性建设在咱们对素数的根本问题的无能为力之上。数学家对素数只知其一，于是构建了那些网络明码；他们却不知其二，以至于不能破解那些明码。对这个方程，咱们只知其一，不知其二。咱们对素数理解得越多，那些网络明码就越不平安。这些明码就是开启网络世界电子锁的钥匙。这就是 AT&T 和惠普之类的企业会不惜耗巨资用于解密素数和黎曼假如的起因。一旦有所发现，对破解这些素数明码将大有裨益。所有呈现在互联网上的公司也都心愿第一个晓得本人的明码是什么时候变得不平安的。这也就解释了数论和商业为何会同心协力。商业圈和平安机构正亲密关注着数学家的一举一动。因而，对邦别里的音讯感兴趣的不止是数学家。如果黎曼假如被证实，那么会导致在线交易的解体吗？美国国家安全局也派人到普林斯顿大学寻找答案。然而当数学家和安全局的人奔赴新泽西时，一些人在邦别里的邮件中嗅到些许可疑的气味。基本粒子被赋予了一些夸大的名字，如胶子、级联超子、粲介子、夸克，最初一个名字来自詹姆斯·乔伊斯的小说《芬尼根的守灵夜》。但“糊涂子”呢？显然不是！邦别里在摸索黎曼假如的神秘之路上有着不可代替的位置，然而那些理解他的人也懂得这是种黑色幽默。七、继续两千年的摸索费马大定理在一个愚人节玩笑中闭幕，此前安德鲁·怀尔斯在剑桥大学首次证实该定理时呈现了破绽。邦别里的邮件再一次在数学界掀起轩然大波。因为想要见证费马大定理被证实时的平凡时刻，数学家们接过了邦别里抛来的橄榄枝。他们争相转发邮件。随着邮件的疾速流传，他们遗记了还有愚人节这档子事儿了。加上这封邮件在许多不知愚人节为何物的国家传阅，使得这个恶作剧比邦别里料想得还要胜利。他最终不得不露面抵赖这封邮件只是个愚人节玩笑。随着 21 世纪的到来，对数学界这种最根本的数字，咱们依然所知甚少。只有素数笑到了最初。为什么数学家们会这么轻信邦别里呢？他们并不会轻易放弃本人的成绩。之前，数学家须要通过严格的测试，方可发表其成绩失去证实，测试之充沛远超其余学科。当怀尔斯发现自己第一次实现的费马大定理证实存在一个破绽时，就意识到，实现 99% 的拼图是不够的，拼出最初一块的人才是赢家，才会为人所铭刻。而最初一块，通常暗藏数年才会为人所识。对素数的探秘已继续了两千多年。对灵丹妙药的渴望，使数学家毫无防范地跳入了邦别里的陷阱。多年来，许多人一提起这个难题，就望而生畏。但随着 20 世纪渐近序幕，越来越多的数学家跃跃欲试，谈论着如何攻克这个令人瞩目的问题。费马大定理的证实曾经表明，重大难题也能够被攻克。这给满怀期待的人们吃下了一颗定心丸。怀尔斯对费马大定理的证实，使数学家受到人们的空前关注。这给了他们一种身为数学家的荣誉感，而这种荣誉感无疑使他们更违心置信邦别里。安德鲁·怀尔斯还被 Gap 公司邀请负责休闲裤的代言人。这听下来真不错，数学家也能够有魅力四射的时刻。数学家们绝大多数工夫都置身于一个世界——一个能给他们带来兴奋之情与满足之感的世界。然而，他们却鲜有机会将这种喜悦分享给这一世界之外的其他人。这是一个机会，一个向别人展现本人在孤单而漫长的征程中，高低求索所获得的成绩的好机会。对黎曼假如的证实在 20 世纪进入数学界的高潮期。希尔伯特间接向全世界的数学家发动挑战，心愿破解这一难题，由此揭开了这个世纪的尾声。在希尔伯特所列出的 23 道难题中，只有黎曼假如依然是新世纪的未解之谜。2000 年 5 月 24 日，为了留念希尔伯特 23 问题提出 100 周年，数学家和出版界人士在法兰西公学院汇聚一堂，凝听七个新难题的发表，以挑战新千年的数学界。这些难题出自世界上最优良的一小群数学家，包含安德鲁·怀尔斯和阿兰·孔涅。七大问题中除了希尔伯特列出的黎曼假如之外都是新问题。这些难题都附带迷人的丰富处分，以投合 21 世纪衍生的价值观。黎曼假如和其余六个难题的奖金，定为每道题 100 万美元。如果精力赞美不够的话，物质奖励也足以刺激到邦别里虚构的年老物理学家们。千禧年难题的主见是由波士顿的一个名叫兰顿· T. 克雷的商人提出的，他以在行情看涨的股票市场交易公共基金来谋利。从哈佛大学数学业余辍学的他，对这一学科的激情不减。他还想将这种激情分享给更多人。他意识到，金钱对数学家来说可能并没有什么激励作用：“正是对真谛的谋求，对数学之美，对数学之力量以及对数学之优雅的回应，激励着数学家们。”然而克雷也不简略，作为一个商人，他晓得如何用百万美元激励另一个安德鲁·怀尔斯退出到解答这旷世难题的竞争中来。确实，克雷数学研究所的网站在公布千禧年难题后的第二天，因拜访量过大而解体了。这七个千禧年难题，实质上和 20 世纪的 23 个难题大不相同。希尔伯特为 20 世纪的数学家安顿好了新的日程表。许多难题都是刚刚起步，甚至意味着会颠覆许多人对该学科的意识。希尔伯特所列的 23 个难题并没有像费马大定理一样，疏导数学家关注繁多的方向，而是激励他们从更概念化的层面来考虑问题。他也没有捡拾数学胜景中的单块石头，而是为数学家们提供了鸟瞰整个学科的视角，并激励他们从宏观角度思考数学。这种新的形式很大水平上归功于黎曼，早在 50 年前他就开始考虑数学改革，将其从一门由公式和方程形成的学科，变成一门遍布概念和形象实践的学科。新千年的七个难题，其抉择规范更加激进。它们是数学难题艺术展中的透纳作品。希尔伯特的问题则是现代派和前卫派单干的产物。新问题较为激进的局部起因在于，心愿解决者给出的答案可能得以充分证明，从而取得百万美元奖金。千禧年难题几十年来都为数学家们所熟知，黎曼假如更是历时百年。这些问题都很经典。克雷的 700 万美元并非首次为解决数学问题而发放的奖金。1997 年，怀尔斯就因证实了费马大定理而摘取了保罗·沃尔夫斯凯尔在 1908 年设立的奖项，取得 75 000 马克。怀尔斯早在 10 岁时就对沃尔夫斯凯尔奖的故事有了粗浅的印象。克雷置信，如果他也对黎曼假如如法炮制的话，那么这 100 万美元就会有所回报。近期，英国的费伯出版社和美国的布鲁姆斯伯里出版社为证实哥德巴赫猜想的人提供百万美元的奖金，借此宣传新书——阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《遇见哥德巴赫猜想》。为了失去这笔钱，你得弄清楚，为什么每个合数都能够写成两个素数的乘积。然而，出版社并不会给你过多工夫来破解此难题。只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算数。这两家出版社还很莫名其妙地规定，仅限美英两国居民加入此次流动。克雷认为，数学家们很少因为本人的工作而受到奖赏和认可。例如，令人向往和谋求的诺贝尔奖没有设立数学奖，取而代之的是菲尔兹奖，被视作数学界的至高荣誉。诺贝尔奖偏向于授予那些在各自的畛域做出长期奉献的科学家们，而菲尔兹奖的评比仅限于 40 岁以下的数学家。这并非是受固有观点——数学家容易江郎才尽——的影响。约翰·菲尔兹，菲尔兹奖的创立者和奖金提供者，心愿借此奖项激励那些最富后劲的数学家去获得更平凡的成就。该奖项每四年在国内数学家大会上颁发一次。第一届菲尔兹奖是于 1936 年在奥斯陆颁发的。年龄是一道严格的门槛。只管安德鲁·怀尔斯在证实费马大定理上获得了突出成就，然而菲尔兹奖委员会还是无奈在 1998 年于柏林举办的国内数学家大会上授予他这一奖项。这是自他最初的证实被承受以来首次有机会被认可，惋惜他生于 1953 年。他们铸造了一个特地的奖牌，以留念怀尔斯为此所做的奉献，然而这和菲尔兹奖获得者这一卓越名称无奈等量齐观。获奖者囊括了咱们这场戏的许多重要角色：恩里科·邦别里、阿兰·孔涅、阿特勒·赛尔伯格、保罗·科恩、亚历山大·格罗腾迪克、艾伦·贝克、皮埃尔·德利涅。这些人简直摘取了五分之一的奖项。但数学家并非是为了金钱而追赶这些奖项的。与诺贝尔奖提供的巨额奖金相比，菲尔兹奖提供的奖金不过 15 000 加元。因而，克雷颁发的百万美元奖金足以和诺贝尔奖相匹敌。相比于菲尔兹奖，以及费伯出版社与布鲁姆斯伯里出版社颁发的哥德巴赫猜想百万美元大奖，博得这笔奖金不受年龄和国籍限度，也没有解题工夫限度，惟一变动的只有汇率。然而，促使数学家们破解千禧年难题的最大能源不是巨额奖金，而是数学带给人的那种不朽而令人神往的力量。攻克一个千禧年难题，你就能取得 100 万美元。然而，相比于把你的名字镌刻进摸索智慧与文化的历史长河中，这基本不值一提。黎曼假如、费马大定理、哥德巴赫猜想、希尔伯特空间、拉马努金 τ 方程、欧几里得算法、哈代 – 利特尔伍德圆法，傅里叶级数、哥德尔数、西格尔零点、赛尔伯格轨迹公式、埃拉托斯特尼筛法、梅森素数、欧拉积、高斯积分等发现，使那些在摸索素数之路上做出了不朽奉献的数学家名垂千古。即便咱们有朝一日或者会遗记埃斯库罗斯 A、歌德和莎士比亚这样的名字，那些名字仍旧永垂不朽。正如哈代所言：“语言会沦亡，而数学思维却不朽。‘不朽’或者听起来扑朔迷离，但或者数学家最有发言权来解释该词的意义。”那些在摸索素数这一平凡征程中做出短暂而不懈努力的数学家们，不仅仅是数学里程碑上所铭刻的那些名字。素数的故事是一个个鲜活的人物的实在经验。法国大革命的历史人物和拿破仑的敌人们，纷纷向古代的魔术师和网络公司退让。来自印度的职员，脚踏实地执行工作的法国特务，还有逃离第二次世界大战（简称二战）战火的匈牙利裔犹太人，这三个人的命运都因摸索素数的神秘而交错在一起。所有这些人致力于提出独特观点的目标，就是心愿本人的名字能留存在数学的历史长河中。素数让世界各地的数学家们走到了一起，中国、法国、希腊、美国、挪威、澳大利亚、俄罗斯、印度和德国等国都诞生过卓越的数学家。他们都会在每四年举办一次的国内数学家大会上讲述本人的摸索故事。留名青史并非激励数学家的惟一能源。就像希尔伯特敢于摸索未知一样，黎曼假如的证实也将开启一段新旅程。当怀尔斯在发表克雷奖的媒体发布会上做演讲时，他强调问题的解决并不等于为此画上了句号：有一个簇新的数学世界期待着咱们去发现。设想一下 1600 年的欧洲人，他们晓得大西洋的对岸是一片新世界。对于那些曾在建设美国的过程中做出奉献的人们，应该给他们颁发什么奖项呢？不是飞机发明奖，不是计算机发明奖，不是芝加哥城市建设奖，也不是小麦收割机发明奖。尽管上述这些事物已成为美国人生存的一部分，但这些都是 1600 年的欧洲人所无奈设想的。他们应该为解决经度问题的人颁发一个奖项。黎曼假如就是数学界的“经度问题”。黎曼假如的解答能为人们摸索数字陆地中的神秘水域提供线索。它也仅仅是咱们摸索天然之数字的一个开始。举荐浏览
作者：[英] 马库斯•杜•索托伊（Marcus du Sautoy）译者：柏华元牛津大学数学传授，英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作 带你一起摸索黎曼假如，讲述数学家求知路上的苦与乐