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简介
线段树算法是一种快速查询一段区间内的信息的算法, 由于其实现简单, 所以广泛应用于程序设计竞赛中。线段树是一棵完美二叉树, 即所有的叶子节点的深度均相同, 并且所有的非叶子节点都有两个子节点。每个节点维护一个区间, 这个区间为父节点二分后的子区间, 根节点维护整个区间, 叶子节点维护单个元素, 当元素个数为 n 时, 对区间的操作都可以在 O(log n)的时间内完成, 因为此时树的深度为 log2 n + 1, 每次操作只需从叶子节点开始, 往上更新至根节点, 每层只需更新相关的一个区间即可, 操作次数 log2 n + 1, 即在 O(log n)的时间内可完成。
可实现的功能
线段树可以提供不同的功能, 例如最常见的求区间内的最大最小值和求区间内的和, 还有其他类似的功能, 实现思路基本相同
求区间最小值(最小值)
给定任意数列 [a0, a1,…,an-1], 在 O(log n) 的时间内完成下列的两种操作
query(s, t) 求 [as,as+1,…,at-1] 内的最小值(最小值)
update(i, x) 把 ai 的值改为 x
求区间的和
给定初始值全为 0 的数列 [a0, a1,…,an-1], 在 O(log n) 的时间内完成下列的两种操作
query(s, t) 求 [as,as+1,…,at-1] 内的和
add(i, x) 执行 ai += x
代码实现
这里我们以求区间最小值内的最小值为例, 用 Python 来实现原始的一棵线段树
初始化
这里创建一个数组 dat[]并赋予初始最大值, 为了让其成为一棵完美的二叉树, 便于计算, 我们把 n 扩大到 2 的幂, 由于我们在数组中填充了 int32 的最大整数 2147483647, 所以多余出来的的元素总是最大值, 不会影响原来区间的结果
def init(self, n):
self.INT_MAX = 2147483647
self.n = 1
while self.n < n:
self.n *= 2
self.dat = [self.INT_MAX for i in range(2 * self.n – 1)]
更新元素
我们把一棵完美二叉树压成一个数组, 下标为 i 的子节点为 i *2+1 和 i*2+2, a0 为根节点, 每次更新时, 首先更新叶子节点, 之后一层层往上更新, 节点 a[k] = min(a[k * 2 + 1],a[k * 2 + 2]), 操作在 O(log n)的时间内完成
def update(self, k, a):
k += self.n – 1
self.dat[k] = a
while k > 0:
k = (k – 1) // 2
self.dat[k] = min(self.dat[k * 2 + 1],self.dat[k * 2 + 2])
查询元素
query 的功能为查询 [a, b) 区间内的最小值, 参数 k, l, r 是辅助参数
k 当前计算的节点
l, r 当前节点区间的范围
当 [a,b), 不在 k 节点管理的区间[l, r) 内时, 直接返回 INT_MAX 当 [a,b), 重合于 k 节点管理的区间[l, r) 时, 直接返回 k 节点的值否则, 递归 k 的两个子节点, 返回其中的最小值
def query(self, a, b, k, l, r):
if r <= a or b <= l:
return self.INT_MAX
if a <= l and r <= b:
return self.dat[k]
else:
vl = self.query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) // 2)
vr = self.query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) // 2, r)
return min(vl, vr)
结尾
至此我们就简单地实现了一棵线段树, 这只是线段树的其中一种形式, 线段树还有其他的变体。线段树的使用实例可以看我的另一篇文章 https://laboo.top/2018/11/02/acm-lc-45/#more
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