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一、8PSK 背景
略
二、原理概述
2.1 PSK 调制
发送端发送的是一连串离散而随机的二进制比特流，应用 PSK 载波相位调制的办法，这样发送端发送的音讯便蕴含在了相位中，此种调制办法能够非常无效地节约带宽。
$$u_{m}(t)=A g_{T}(t) \cos (2 \pi f_{c} t+\frac{2 \pi m}{M}), m=0,1, \ldots, M-1 $$
其中, $g_{T}(t)$ 是发送滤波器的脉冲形态, 传输信号的频谱个性由它决定。A 则是信号的幅度。在 $\mathrm{psk}$ 调制中, 所有的 $\mathrm{psk}$ 信号对于所有的 $\mathrm{m}$ 都具备雷同的能量。
能量为:
$$ \varepsilon_{m}=\int_{-\infty}^{+\infty} u_{m}^{2}(t) d t=\varepsilon_{s} \varepsilon_{s}$$
代表每个传输符号的能量。
在本次试验中, 为了不便剖析, 咱们令 $\mathrm{A}=1, g_{T}(t)=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}}, 0 \leq t \leq T$ , 那么, 相应的 $\mathrm{gsk}$ 调制信号的波形为
$$ \begin{array}{l} u_{m}(t)=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}} \cos (2 \pi f_{c} t+\frac{2 \pi m}{M})=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}}(A_{m c} \cos 2 \pi f_{c} t-A_{m s} \cos 2 \pi f_{c} t), \ m=0,1, \ldots, M-1,0 \leq t \leq T \ \end{array} $$
咱们规定:
$$
\begin{array}{l}
A_{m c}=\cos \frac{2 \pi m}{M} \
A_{m s}=\sin \frac{2 \pi m}{M}
\end{array}, m=0,1, \ldots, M-1.
$$
通过上述剖析, 咱们不难得出, 这样一个相位调制信号能够看作两个正交载波, 因
此, 数字相位调制信号能够在几何上可用二维向量的模式来示意, 即 $$ \vec{s} *{m}=(\sqrt{\varepsilon*{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M}) $$
正交基函数为:
$$
\begin{array}{l}
\psi_{1}(t)=g_{T}(t) \cos 2 \pi f_{c} t \
\psi_{2}(t)=-g_{T}(t) \sin 2 \pi f_{c} t
\end{array}.
$$
2.2 信号传输
调制信号在 AWGN 信道传输的时候, 会有噪声混淆进来, 此时输入信号变为: $$ r(t)=u_{m}(t)+n_{c}(t) \cos (2 \pi f_{c} t)-n_{s}(t) \sin (2 \pi f_{c} t) $$
其中, $n_{c}(t)$ 和 $n_{s}(t)$ 别离是加性噪声的同相重量和正交重量, 之后, 咱们将输入信号和 给出的基函数作相干, 则两个相关器的输入为: $r=s_{m}+n=(\sqrt{\varepsilon_{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}+n_{c}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M}+n_{s})$ 须要留神的是 $n_{c}(t)$ 和 $n_{s}(t)$ 这两个正交噪声的重量是零均值, 互不相干的高斯随机过程。
2.3 解调形式
（1）最小欧式间隔准则裁决
最小欧式间隔准则裁决: 求出接管到的信号向量与 M 个传输向量的欧式间隔, 选取 对应的最小欧式间隔的向量, 该向量对应的符号即为裁决输入符号。此种办法须要把握 间隔度量的概念并纯熟使用, 上面给出对于间隔度量具体的
实践剖析:
在接管音讯尚不确定 (即还没有接管到矢量 $\vec{r}$ ) 的状况下, 要使得先验概率为最大, 最好的裁决办法就是抉择具备最高先验概率 $P(\vec{s}_{m})$ 的信号; 承受到矢量 $\vec{r}$ 后, 其办法与 前者相似, 前者是寻找先验概率的最大值, 此时是寻找后验概率的最大值, 换言之, 抉择使 $P(\vec{s}_{m} \mid \vec{r})$ 最大的 $\vec{s}_{m}$ , 这个裁决准则称为最大后验概率 (MAP) 准则。
依据贝叶斯公式, 后验概率可示意为: $P(\vec{s} *{m} \mid \vec{r})=\frac{f(\vec{r} \mid \vec{s}* {m}) P(\vec{s} *{m})}{f(\vec{r})} $ 当 M 个信号先验概率相等, 因为 $f(\vec{r})$ 和 $P(\vec{s}* {m})$ 均为确定的值 $(P(\vec{s} *{m})=\frac{1}{M})$。则寻找 $P(\vec{s}* {m} \mid \vec{r})$ 的最大值就等价于寻找 $f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})$ 的最大值。此时 MAP 准则简化为 ML 准则。
咱们无妨对接管到的矢量 $\vec{r}$ 进行简要的剖析, $\vec{r}=\vec{s}_{m}+\vec{n}$, $\vec{s}_{m}$ 是信号矢量, $\vec{n}$ 是 AWGN 信道中的噪声矢量, 噪声矢量的重量 $n_{k}$ 遵从散布 $N(0, \frac{N_{o}}{2})$ , 则 $r_{k}$ 遵从散布 $N(s_{m k}, \frac{N_{0}}{2})$
因而 $$\begin{aligned} f(\vec{r} \mid \vec{s} *{m}) & =\prod*{k=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}} \mathrm{e}^{-\frac{(r_{k}-s_{m k})^{2}}{N_{0}}} \ & =\frac{1}{(\pi N_{0})^{\frac{N}{2}}} e^{\frac{|\vec{r}-\vec{s} *{m}|^{2}}{N*{0}}}, m=1,2, \ldots, M \end{aligned} $$
右端取对数有:
$\ln f(\vec{r} \mid \vec{s} *{m})=-\frac{N}{2} \ln (\pi N*{0})-\frac{1}{N_{0}} \sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2} $
上式若要获得最大值, 不言而喻 $\sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}$ 须要取最小值。这也是合乎咱们直观印象的, 信号空间里两个信号点的欧氏间隔越小, 阐明它们越靠近。
因而, 定义间隔度量 $D(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})$
如下:
$$ D(\vec{r} \mid \vec{s} *{m})=\sum*{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}, m=1,2, \ldots, M $$
(2) 最佳检测器
最佳检测器将收到的信号向量 r 投射到 M 个可能的传输信号向量 $\{s_{m}\}$ 之一下来, 并 选取对应与最大投影的向量。将上述定义的间隔度量开展:
$$D(\vec{r} \mid \vec{s} *{m})=|\vec{r}|^{2}-2 \vec{r} \cdot \vec{s}* {m}+|\vec{s} *{m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M $$
其中, $|\vec{r}|^{2}$ 项对所有的裁决度量是等价的的, 咱们疏忽这一项, 则失去相干度量:
$$ C(\vec{r} \mid \vec{s}* {m})=2 \vec{r} \cdot \vec{s} *{m}-|\vec{s}* {m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M $$
能够看出, 间隔度量越小, 则相干度量越大。
上述剖析也证实了老师要求证实的内容：即相干度量与间隔度量是齐全等价的。
2.4 谬误概率
实践谬误概率：
8PSK: $\operatorname{erfc}(\sqrt{3 \times 10^{\frac{S N R}{10}}} \times \sin (\frac{\pi}{8}))$ ;
QPSK: $\operatorname{erfc}(\sqrt{10^{\frac{S N R}{10}}}) \times(1-0.25 \times \operatorname{erfc} \sqrt{10^{\frac{S N R}{10}}})$
理论谬误概率:
误码率: 错误码元 / 传输总码元
误比特率: 谬误比特 / 传输总比特
三、零碎框图
8PSK:
图 3.1 8PSK 零碎框图
四、主函数设计
4.1 星座图绘制主函数
1. 流程图
图 4.1 星座图绘制主函数流程图
2. 代码实现
clc,clear,close;
% Symbol sequence length
L=100000;
% Generate the original bit sequence
sourceSeq=randnum(L);
[pI,pQ,sourceSeqCode]=Map(sourceSeq,L);
Eb = 1/3;
errbit = zeros(1,26);
errnum = zeros(1,26);
SNR=-5:20;
LS = length(SNR);
for i=1:LS
% Find the one-sided power spectral density of noise for a given signal-to-noise ratio
N0=Eb/(10^(SNR(i)/10));
% variance
var(i)=N0/2 ;
[rI,rQ]=noise(var(i),pI,pQ);
[result,I]=judgment(rI,rQ);
[errbit(i),errnum(i)]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSeqCode);
end
draw(sourceSeqCode,rI,rQ);4.2 QPSK 与 8PSK 误码率比照主函数
1. 流程图
图 4.2 qpsk 与 8psk 误码率比照主函数流程图
2. 代码实现
clc,clear,close;
% Symbol sequence length
L=100000;
% Generate the original bit sequence
sourceSeq=randnum(L);
[pI,pQ,sourceSeqCode]=Map(sourceSeq,L);
Eb = 1/3;
errbit = zeros(1,26);
errnum = zeros(1,26);
SNR=-5:20;
LS = length(SNR);
for i=1:LS
% Find the one-sided power spectral density of noise for a given signal-to-noise ratio
N0=Eb/(10^(SNR(i)/10));
% variance
var(i)=N0/2 ;
[rI,rQ]=noise(var(i),pI,pQ);
[result,I]=judgment(rI,rQ);
[errbit(i),errnum(i)]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSeqCode);
end
% draw(sourceSeqCode,rI,rQ);
% Calculate the theoretical bit error rate using the erfc function
Theory8PSKSER = erfc(sqrt(3*10.^(SNR/10)) * sin(pi/8));
% QPSK
TheoryQPSKSER = erfc(sqrt(10.^(SNR/10))).*(1-0.25*erfc(sqrt(10.^(SNR/10))));;
% Load the SER-SNR curve of QPSK
load('qpsk_errnum');
figure(2);
epskerr = errnum/L;
semilogy(SNR,epskerr,'r-o');hold on;
semilogy(SNR,qpskerr,'b-o');hold on;
semilogy(SNR,Theory8PSKSER,'k-');hold on;
semilogy(SNR,TheoryQPSKSER,'k-');hold on;
ylabel('SER');
xlabel('SNR/dB')
legend('8PSK 仿真曲线','QPSK 仿真曲线','实践曲线','Location', 'northeast');
grid on;
axis([-5,20,10e-7,1]);五、子函数设计
5.1 随机比特序列的产生
代码实现：
function [SourceSeq]=randnum(L)
% L is the length of the generated sequence code
% Since a code is composed of 3 bits, it is generated here with 3*L.
randnum=rand(3*L,1);
% Initialize the original sequence
SourceSeq=zeros(3*L,1);
% The randomly generated sequence is judged
% if the random number is greater than 0.5, it is judged as 1, otherwise it is judged as 0.
for i=1:3*L
if(randnum(i)>=0.5)
SourceSeq(i)=1;
else
SourceSeq(i)=0;
end
end5.2 格雷编码序列
代码实现
% Define 8psk mapping function
function [pI,pQ,SourceCode] = Map(SourceSeq,L)
% pI - in-phase component
% pQ - quadrature component
% SourceCode - The size of the binary number of each digit of the sequence
% initialization
pI = zeros(L,1);
pQ = zeros(L,1);
% In order to facilitate subsequent expressions, sqrt(2)/2 is represented here
root =sqrt(2)/2;
% Constructing the mapping matrix according to the Gray code of 8PSK
MappingMat = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];
SourceCode =zeros(L,1);
% mapping process
for i=1:L
% Since a source symbol is composed of three bits
% the low and high bits are read in reverse order here, and expressed in decimal
SourceCode(i)=SourceSeq(3*i-2)*4+SourceSeq(3*i-1)*2+SourceSeq(3*i)+1;
% Find the corresponding code through the decimal representation and map it
pI(i) = MappingMat(SourceCode(i),1);
pQ(i) = MappingMat(SourceCode(i),2);
end
end
% Octal Gray Code Conversion
function[a1,a2]=Map_other(N)
% a1 is a sequence of random bits in binary
% a2 is a sequence of octal symbols
% Random bit sequence of length 3L
a1=bit(3*N);
% a2 is used to store the code element sequence of length L
a2=zeros(1,N);
for i=1:3:3*N-2
a2((i+2)/3)=abs(a1(i)*7-abs(a1(i+1)*3-a1(i+2)));
% Converts binary bit sequence Gray-encoded to octal sequence
end
end5.3 映射函数
代码实现
% 8PSK coordinate mapping
function [y3]=coordinate(x1,bit)
% x1 is the encoded octal sequence, bit is the originally generated binary random sequence
N=length(x1);
Es=bit*bit'/N;
% The first line of y3 is used to store the abscissa
% the second line is used to store the ordinate
y3=zeros(2,N);
% Coordinate mapping
for i=1:N
y3(1,i)=sqrt(Es)*cos(pi/4*x1(i)+pi/8);
y3(2,i)=sqrt(Es)*sin(pi/4*x1(i)+pi/8);
end
end5.4 噪声生成与叠加输入
代码实现
% Generate Gaussian random noise sub-function , var is the variance
function [rI,rQ] = noise(var,pI,pQ)
L = length(pI);
nc=zeros(L,1);
ns=zeros(L,1);
for k=1:L
u=rand;
z=sqrt(var*2*log(1/(1-u)));
nc(k)=z*cos(2*pi*u);
ns(k)=z*sin(2*pi*u);
end
% Output two mutually orthogonal Gaussian signals
rI = pI+nc;
rQ = pQ+ns;
end5.5 裁决函数
代码实现
% Judgment Criterion: Minimum Euclidean Distance Criterion
function [result,I]=judgment(rI,rQ)
root=sqrt(2)/2;
L = length(rI);
I=zeros(L,1);
mapl = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];
for i=1:L
index=0;
minp=100;
for j=1:8
% Traverse each coordinate
% find the point with the smallest Euclidean distance from the point, and record it.
if((mapl(j,1)-rI(i))^2+(mapl(j,2)-rQ(i))^2<minp)
minp=(mapl(j,1)-rI(i))^2+(mapl(j,2)-rQ(i))^2;
index=j;
end
end
I(i)=index;
end
% According to the judgment point, make the corresponding assignment
result = zeros(3*L,1);
for i=1:L
switch(I(i))
case 1
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,0,0);
case 2
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,0,1);
case 3
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,1,0);
case 4
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(0,1,1);
case 5
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,0,0);
case 6
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,0,1);
case 7
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,1,0);
case 8
[result(3*i-2),result(3*i-1),result(3*i)]=SetValue(1,1,1);
end
end
endSetValue 将对应的值进行赋值即可，因为裁决函数中调用次数过多，因而形象封装成一个函数，便于应用。
% SetValue function
function [a,b,c]=SetValue(d,e,f)
a=d;
b=e;
c=f;
end5.6 星座图绘制函数
代码实现
function draw(I,rI,rQ)
figure;
root = sqrt(2)/2;
% 映射矩阵
MappingMat = [[1,0];[root,root];[-root,root];[0,1];[root,-root];[0,-1];[-1,0];[-root,-root]];
L=length(I)
for i=1:L
% Draw points with different colors according to different values
switch(I(i))
case 1
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','r');hold on;
case 2
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','g');hold on;
case 3
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','b');hold on;
case 4
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','c');hold on;
case 5
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','m');hold on;
case 6
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','y');hold on;
case 7
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','k');hold on;
case 8
plot(rI(i),rQ(i),'*','color','[0.5,0.5,0.5]');hold on;
end
end
x = -4:0.1:4;
y = -2:0.1:2;
% plot(x,zeros(length(x)),'k');hold on;
% plot(zeros(length(y)),y,'k');hold on;
axis equal
axis([-2,2,-2,2]);
end5.7 误码率及误比特率计算函数
代码实现
function [errbit,errsymbol]=Count(result,I,sourceSeq,sourceSym)
% result: the sequence after the decision
% I: symbol after decision
% sourceSeq: original bit sequence
% sourceSym: original symbol sequence
errbit=0;
errsymbol=0;
for i=1:length(sourceSeq)
if(sourceSeq(i)~=result(i))
errbit=errbit+1;
end
end
for i=1:length(I)
if(I(i)~=sourceSym(i))
errsymbol=errsymbol+1;
end
end
end六、性能剖析与试验后果
6.1 比拟 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线、实践误符号率曲线差异
在 AWGN 信道下，未加信道纠错码的 8PSK 调制通信零碎检测器的裁决准则选为最小间隔法（星座图上符号间的间隔），格雷码映射，比拟数据点为 100000 时 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线，实践误符号率曲线，比拟差异（横坐标是 SNR=Eb/N0）。(一张图上出现 4 条曲线)
图 6. 1 QPSK 与 8PSK 性能比拟
通过 Monte Carlo 仿真误符号率曲线能够看出，整体仿真后果根本合乎实践计算曲线，并且在不同的信噪比下，对应的 QPSK 的误码率显著小于 8PSK 的误码率，8PSK 的星座图如下：
图 6. 2 8PSK 星座图
6.2 实践剖析 8PSK 性能比 QPSK
实践证实如下：
$$ \begin{array}{l} r_{o 1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{g}}{2}} \cos (\frac{2 \pi m}{M})+n=\sqrt{\varepsilon_{s}} \cos (\frac{2 \pi m}{M})+n_{c} \ r_{o 2}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{g}}{2}} \sin (\frac{2 \pi m}{M})+n=\sqrt{\varepsilon_{s}} \sin (\frac{2 \pi m}{M})+n_{s} \end{array} $$
假如发送信号的相位为 $\theta=0$，那么
$$ r_{o 1}=\sqrt{\varepsilon_{s}}+n_{c} \quad r_{o 2}=n_{s} $$
因为 $n_{c}$ 和 $n_{s}$ 是联结高斯随机过程
$$ f_{r}(r_{o 1}, r_{o 2})=\frac{1}{2 \pi \sigma_{r}^{2}} \exp (-\frac{(r_{o 1}-\sqrt{\varepsilon_{s}})^{2}+r_{o 2}^{2}}{2 \sigma_{r}^{2}}) $$
检测的测度为相位 $\Theta_{r}=\tan ^{-1}(r_{o 2} / r_{o 2})$
$$f_{\Theta_{r}}(\theta_{r})=\frac{1}{2 \pi} e^{-2 \rho_{s} \sin ^{2} \theta_{r}} \int_{0}^{\infty} v e^{-(v-\sqrt{4 \rho_{s}} \cos \theta_{r})^{2} / 2} d v$$
其中 $\rho_{s}=\varepsilon_{s} / N_{0}$ . $\mathrm{v}$ 是接管矢量 $\mathrm{r}$ 的包络. 若 $\rho_{s}>>1$ 且 $|\Theta_{r}|<=\pi / 2$
$f_{\Theta_{r}}(\theta_{r}) \approx \sqrt{\frac{2 \rho_{s}}{\pi}} \cos \theta_{r} e^{-2 \rho_{s} \sin ^{2} \theta_{r}}$ 若发送相位 0 , 当噪声使接管矢量的相位落在区域 $-\pi / M<\Theta_{r}<\pi / M$ 之外时会产生判 决谬误，即
$$
\begin{array}{c}
P_{e}=1-\int_{-\pi / M}^{\pi / M} f_{\Theta_{r}}(\theta_{r}) d \Theta \approx 1-\int_{-\pi / M}^{\pi / M} \sqrt{\frac{2 \rho_{s}}{\pi}} \cos \theta_{r} e^{-2 \rho_{s} \sin ^{2} \theta_{r}} d \theta_{r} \
\approx 2 Q(\sqrt{2 \rho_{s}} \sin \frac{\pi}{M})=2 Q(\sqrt{2 \log _{2} M \rho_{b}} \sin \frac{\pi}{M})
\end{array}
$$
对于 M=4，码元谬误概率应为:
$$
P_{4}=1-(1-P_{2})^{2}=2 Q(\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{b}}{N_{0}}})[1-\frac{1}{2} Q(\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{b}}{N_{0}}})]
$$
对于 M=8 , 码元谬误概率为:
$$
P_{8}=2 Q(\sqrt{2 \frac{(\log _{2} 8) E_{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{8})
$$
很显著, 随着 $\mathrm{M}$ 的一直增长, $\mathrm{Pe}$ 也在一直减少。合乎试验后果。
七、问题回顾与总结
1. 对二进制序列格雷编码的问题
针对二进制序列格雷编码，次要有两种思路，别离是间接法和间接法，间接法是先依据 8PSK 的格雷码结构映射矩阵，依据该 3bit 数示意码元的十进制值寻找其在格雷码矩阵中的对应地位，并且进行映射，须要留神的局部是因为一个源码元是由三个 bit 组成的，因而理论读取中，以 3 位单位进行遍历，并且通过倒序的形式读取低高位。
2. 对于 MPSK 误符号率的问题
最开始计算误符号率时, 对于 QPSK 的实践误码率, 我最开始采纳的是 MPSK 的对立公式:
$$
\begin{array}{c}
P_{s, M P S K}=2 Q(\sqrt{2 \frac{E_{s}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M}) \
=2 Q(\sqrt{2 \frac{k E_{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M})=2 Q(\sqrt{2 \frac{(\log _{2} M) E_{b}}{N_{0}}} \sin \frac{\pi}{M})
\end{array}
$$
然而在后续的学习中, 才发现上述公式尽能够在 M>4 的状况下才能够应用, 而对于 \mathrm{M}=4 时的零碎误码率, 应该采纳公式:
$$
\begin{array}{cc}
P_{4} & =1-P_{e}
=2 Q(\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{N_{0}}})[1-\frac{1}{2} Q(\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{b}}{N_{0}}})]
\end{array}
$$
3. 对于星座图绘制的问题
在绘制星座图时，初步想法是对于每一个裁决分类的样本点采纳不同的色彩绘制，然而对于如何针对点进行色彩，线性的绘制，我的初步想法是建设一个色彩 - 线性的向量，而后对于每个点裁决的具体情况找到对应的样本色彩线型，采纳数组援用的模式进行属性的赋值，然而随后发现看似简化了绘制过程，理论却在援用时产生很大的工作量，还可能产生谬误绘制，因而综合比拟下我抉择用 switch 的办法进行状况判断，并对相应的裁决点进行绘制。
