关于算法:循环不变量loop-invariant的理解

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在计算机科学中，循环不变量（loop invariant），是一组在循环体内、每次迭代均放弃为真的某种性质，通常被用来证实程序或算法的正确性。

了解循环不变量这个概念对咱们了解算法过程，和解决算法问题有很大的帮忙。上面参考《算法导论》，对循环不变量的概念进行具体的解释。

咱们应用循环不变量帮忙咱们了解一个算法为什么是对的。对于一个给定的循环不变量，咱们必须遵循以下三个属性：

初始化： 在循环的第一次迭代之前，循环不变量为真。
放弃： 如果在循环的一次迭代之前循环不变量为真，那么在下一次迭代之前循环不变量同样为真。
终止： 当循环完结时，不变量可能提供咱们有用的属性，用于帮忙咱们证实算法是正确的。

当保障前两个属性时，循环不变量在循环的任意迭代之前都满足。留神它与 数学归纳法 的相似性，当你想证实一个属性存在时，你须要证实一个基准和一个演绎步。相应的，咱们第一次迭代之前保障不变量成立对应于一个基准，咱们在每次迭代之间保障不变量成立对应于一个演绎步。

因为咱们用循环不变量证实算法正确性，所以第三个属性或者是最重要的。通常，咱们必须保障在循环完结时“循环不变量”和“循环终止条件”同时成立。 这与数学归纳法有所不同。数学归纳法常采纳有限的演绎步，而循环不变量的演绎往往随着循环的终止而完结。

接下来，咱们通过 插入排序 算法来更好的了解循环不变量。
先贴代码（Go 语言）

func insertionSort(nums []int) {j, n := 0, len(nums)
   for j < n {
      i := j - 1
      key := nums[j]
      for i >= 0 && nums[i] > key {nums[i+1] = nums[i]
         i--
      }
      nums[i+1] = key
      j++
   }
}

循环不变量： j之前（不蕴含nums[j]）的元素曾经排好序（升序）。

初始化： j为0，示意目前排好序的子数组没有元素，不变式成立。
放弃： 如果前一轮迭代 j 满足条件，则 [0,j) 范畴内子数组的元素均为升序。以后迭代中 nums[j+1] 与子数组的元素从大到小进行比照。如果找到第一个比 nums[j+1] 小的元素，则在其后插入一个值为 nums[j+1] 的元素。因而在此次迭代完结后，[0,j+1)范畴内子数组的元素均为升序，不变式成立。
终止： j一直递增，当 j == n 时，所有数组的元素均被遍历解决，此时 [0,n) 为升序，不变式成立。