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对于最大公约数有专门的钻研。而在 LeetCode 中尽管没有间接让你求解最大公约数的题目。然而却有一些间接须要你求解最大公约数的题目。
比方：
- 914. 卡牌分组
- 365. 水壶问题
- 1071. 字符串的最大公因子
因而如何求解最大公约数就显得重要了。
如何求最大公约数？
定义法
def GCD(a: int, b: int) -> int:
smaller = min(a, b)
while smaller:
if a % smaller == 0 and b % smaller == 0:
return smaller
smaller -= 1复杂度剖析
- 工夫复杂度：最好的状况是执行一次循环体，最坏的状况是循环到 smaller 为 1，因而总的工夫复杂度为 $O(N)$，其中 N 为 a 和 b 中较小的数。
- 空间复杂度：$O(1)$。
辗转相除法
如果咱们须要计算 a 和 b 的最大公约数，使用辗转相除法的话。首先，咱们先计算出 a 除以 b 的余数 c，把问题转化成求出 b 和 c 的最大公约数；而后计算出 b 除以 c 的余数 d，把问题转化成求出 c 和 d 的最大公约数；再而后计算出 c 除以 d 的余数 e，把问题转化成求出 d 和 e 的最大公约数。….. 以此类推，逐步把两个较大整数之间的运算转化为两个较小整数之间的运算，直到两个数能够整除为止。
def GCD(a: int, b: int) -> int:
return a if b == 0 else GCD(b, a % b)复杂度剖析
- 工夫复杂度：$O(log(max(a, b)))$
- 空间复杂度：空间复杂度取决于递归的深度，因而空间复杂度为 $O(log(max(a, b)))$
更相减损术
辗转相除法如果 a 和 b 都很大的时候，a % b 性能会较低。在中国，《九章算术》中提到了一种相似辗转相减法的 更相减损术。它的原理是：两个正整数 a 和 b（a>b），它们的最大公约数等于 a-b 的差值 c 和较小数 b 的最大公约数。。
def GCD(a: int, b: int) -> int:
if a == b:
return a
if a < b:
return GCD(b - a, a)
return GCD(a - b, b)下面的代码会报栈溢出。起因在于如果 a 和 b 相差比拟大的话，递归次数会明显增加，要比辗转相除法递归深度减少很多，最坏工夫复杂度为 O(max(a, b)))。这个时候咱们能够将 辗转相除法 和更相减损术 做一个联合，从而在各种状况都能够取得较好的性能。
形象化解释
上面咱们对下面的过程进行一个表形象地解说，实际上这也是教材外面的解说形式，我只是照搬过去，减少一下本人的了解罢了。咱们来通过一个例子来解说：
如果咱们有一块 1680 米 * 640 米 的土地，咱们心愿讲起分成若干正方形的土地，且咱们想让正方形土地的边长尽可能大，咱们应该如何设计算法呢？
实际上这正是一个最大公约数的利用场景，咱们的指标就是求解 1680 和 640 的最大公约数。
将 1680 米 * 640 米 的土地宰割，相当于对将 400 米 * 640 米 的土地进行宰割。为什么呢？如果 400 米 * 640 米宰割的正方形边长为 x，那么有 640 % x == 0，那么必定也满足剩下的两块 640 米 * 640 米的。
咱们一直进行下面的宰割：
直到边长为 80，没有必要进行上来了。
实例解析
题目形容
给你三个数字 a，b，c，你须要找到第 n 个（n 从 0 开始）有序序列的值，这个有序序列是由 a，b，c 的整数倍形成的。比方：n = 8
a = 2
b = 5
c = 7
因为 2，5，7 形成的整数倍形成的有序序列为 [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, ...]，因而咱们须要返回 12。留神：咱们约定，有序序列的第一个永远是 1。思路
大家能够通过 这个网站 在线验证。
一个简略的思路是应用堆来做，惟一须要留神的是去重，咱们能够应用一个哈希表来记录呈现过的数字，以达到去重的目标。
代码：
ss Solution:
def solve(self, n, a, b, c):
seen = set()
h = [(a, a, 1), (b, b, 1), (c, c, 1)]
heapq.heapify(h)
while True:
cur, base, times = heapq.heappop(h)
if cur not in seen:
n -= 1
seen.add(cur)
if n == 0:
return cur
heapq.heappush(h, (base * (times + 1), base, times + 1))对于此解法不了解的可先看下我之前写的 简直刷完了力扣所有的堆题，我发现了这些货色。。。（第二弹）
然而这种做法工夫复杂度太高，有没有更好的做法呢？
实际上，咱们可对搜寻空间进行二分。首先思考一个问题，如果给定一个数字 x，那么有序序列中小于等于 x 的值有几个。
答案是 x // a + x // b + x // c 吗？
// 是地板除
惋惜不是的。比方 a = 2, b = 4, n = 4，答案显然不是 4 // 2 + 4 // 4 = 3，而是 2。这里出错的起因在于 4 被计算了两次，一次是 $2 * 2 = 4$，另一次是 $4 * 1 = 4$。
为了解决这个问题，咱们能够通过集合论的常识。
一点点汇合常识：
- 如果把有序序列中小于等于 x 的能够被 x 整除，且是 a 的倍数的值形成的汇合为 SA，汇合大小为 A
- 如果把有序序列中小于等于 x 的能够被 x 整除，且是 b 的倍数的值形成的汇合为 SB，汇合大小为 B
- 如果把有序序列中小于等于 x 的能够被 x 整除，且是 c 的倍数的值形成的汇合为 SC，汇合大小为 C
那么最终的答案就是 SA，SB，SC 形成的大的汇合（须要去重）的中的数字的个数，也就是：
$$
A + B + C – sizeof(SA \cap SB) – sizeof(SB \cap SC) – sizeof(SA \cap SC) + sizeof(SA \cap SB \cap SC)
$$
问题转化为 A 和 B 汇合交加的个数如何求？
A 和 B，B 和 C，A 和 C，甚至是 A，B，C 的交加求法都是一样的。
实际上，SA 和 SB 的交加个数就是 x // lcm(A, B)，其中 lcm 为 A 和 B 的最小公倍数。而最小公倍数则能够通过最大公约数计算出来：
def lcm(x, y):
return x * y // gcd(x, y)
接下来就是二分套路了，二分局部看不懂的倡议看下我的二分专题。
代码（Python3）
class Solution:
def solve(self, n, a, b, c):
def gcd(x, y):
if y == 0:
return x
return gcd(y, x % y)
def lcm(x, y):
return x * y // gcd(x, y)
def possible(mid):
return (mid // a + mid // b + mid // c - mid // lcm(a, b) - mid // lcm(b, c) - mid // lcm(a, c) + mid // lcm(a, lcm(b, c))) >= n
l, r = 1, n * max(a, b, c)
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if possible(mid):
r = mid - 1
else:
l = mid + 1
return l
复杂度剖析
- 工夫复杂度：$logn$。
- 空间复杂度：gcd 和 lcm 的递归树深度，根本可忽略不计。
总结
通过这篇文章，咱们不仅明确了最大公约数的 概念以及求法 。也形象化地感知到了最大公约数计算的 原理 。最大公约数和最小公倍数是两个类似的概念，对于最大公约数和最小公倍数的题目在力扣中不算少，大家能够通过 数学标签 找到这些题。更多对于算法中的数学知识，能够参考这篇文章刷算法题必备的数学考点汇总
这篇文章的第二篇也马上要公布了。
以上就是本文的全部内容了。大家对此有何认识，欢送给我留言，我有工夫都会一一查看答复。更多算法套路能够拜访我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl3979858…。目前曾经 40K star 啦。大家也能够关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
