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拓扑排序简略讲就是在可求拓扑序列的有向无回路图（有向无环图）中求取拓扑序列的排序算法。
相干概念
拓扑序列
艰深讲就是按流动的先后秩序进行排序的序列，并且每一个顶点只呈现一次，它能够表述出实现某一项流动所须要的前置流动都有哪一些！当然，一个图的拓扑排序不惟一。
例子：
- 修学课程都有其先修课程，利用拓扑序列就能疾速的取得所有的先修课程
- 游戏工作都有前置工作，利用拓扑序列，就能分明所有的工作链条
- 依赖包的加载程序也是利用拓扑序列来解决的
求取拓扑序列的图：有向无环图
- 有向：对于一个顶点到另一个顶点的方向是确定的，也就是连接线呈现箭头的图
- 无环：也可称为无回路，从一个顶点登程，经验所有的门路，也不能回到该顶点
所有顶点都满足以上两种状况的图就叫做有向无环图，根本能够认为只有有向无环图能力求取拓扑序列
入度与出度
在有向图中，一个顶点的入度为其所有指向该顶点的箭头个数，出度为其所指向其余顶点的箭头个数。
算法思路
根本思维
- 找到无入度的顶点，输入该顶点，并将其指向的顶点入度数减一
- 反复第一步，直至所有顶点被输入，拓扑序列实现，如果输入的顶点数小于图中顶点的个数，无拓扑序列
代码实现思路
-
定义一个队列、输入数组以及 HashMap
- 队列存储拓扑序列，并最初输入
- 输入数组寄存最初队列输入的拓扑序列
- HashMap 存储结点及其入度值
-
遍历所有结点，将所有结点（除入度为零的结点）的入度及其值寄存到 HashMap 中，将入度为 0 的结点搁置到队列之中
遍历结点可用深度优先遍历，也可广度优先遍历
-
当队列不为空时
- 输入队列一个结点到输入数组中，设为 a
- 将结点 a 所有指向的顶点入度减一
- 若呈现入度为 0 的结点，则存入队列之中
- 队列为空，输入的顶点个数小于图顶点数，无拓扑序列，输入 null，否则，拓扑序列输入完结，并返回输入数组
邻接矩阵的拓扑序列
public static char[] foundTopology(GraphM g){Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
HashMap<String,Integer> hashMap= new HashMap<>();
char[] res = new char[g.VertexNum];
// 计算每个结点入度值
for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){String key = String.valueOf(g.Vertex[i]);
int value = 0;
for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){if (g.EdgeWeight[j][i]!=0){value++;}
}
if (value==0){queue.add(i);
}
hashMap.put(key,value);
}
int j = 0;
while(!queue.isEmpty()){int getKey = queue.remove();
res[j++] = g.Vertex[getKey];
for (int k = 0;k < g.VertexNum;k++){String getPointKey = String.valueOf(g.Vertex[k]);
int getPointValue = hashMap.get(getPointKey);
if (g.EdgeWeight[getKey][k] != 0 && getPointValue != 0){hashMap.put(getPointKey,getPointValue-1);
if (getPointValue-1==0){queue.add(k);
}
}
}
}
if (j == g.VertexNum){return res;}
return null;
}邻接表的拓扑序列
当然，实现本代码的前提是可能定义一个有向图，并且遍历图
定义图及其遍历
图的定义个别如下两种办法：
- 邻接矩阵法
- 邻接表法
邻接：两个顶点间存在边或弧
图的遍历能够分为如下两种办法：
- 深度优先遍历 DFS
- 广度优先遍历 BFS
同一遍历办法的遍历程序可能惟一，起因如下：
- 存储构造不同：邻接表、邻接矩阵
- 登程结点不同
- 连通与否
邻接矩阵法
定义一个二维数组，其中行代表终点，列代表起点，如果两者之间存在连贯关系，值为 1，否则为 0。它对于主对角线对称。
算法步骤：
- 确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值
- 输出所有顶点，存进顶点数组中
- 将边数组定义为 EdgeWeight[顶点数] [顶点数]，
- 输出所有边的终点、起点以及权值，在顶点数组中找到对应终点、起点的下标
- 输出对应权值，赋值给 EdgeWeight[终点下标] [起点下标]，若为无向图，对应权值再赋值给 EdgeWeight[起点下标] [终点下标]，保障双向
- 输入邻接矩阵
邻接矩阵代码
// 图邻接矩阵构造
class GraphM {
static final int MaxNum = 20; // 图的最大顶点数
static final int MaxValue = 65535; // 最大值
int GType; // 图的类型（0: 无向图 1：有向图）int VertexNum;// 顶点数量
int EdgeNum; // 边的数量
char[] Vertex = new char[MaxNum]; // 保留顶点信息
int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum];// 保留权
public GraphM(int GType,int VertexNum,int EdgeNum){
this.GType = GType;
this.EdgeNum = EdgeNum;
this.VertexNum = VertexNum;
}
}
public class graphMaterix {
// 创立图邻接矩阵
public static void creatGraph(GraphM gm) {
int i, j, k;
int weight; // 权
char startV, endV; // 起始，终止顶点
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.println("输出图中各顶点信息:");
for (i = 0; i < gm.VertexNum; i++) {System.out.println("第" + (i + 1) + "个顶点");
gm.Vertex[i] = (input.next().toCharArray())[0];// 保留到顶点数组中
}
System.out.println("输出各边的顶点及权值：");
for (k = 0; k < gm.EdgeNum; k++) {System.out.println("第" + (k + 1) + "条边");
System.out.println("边的终点为：");
startV = input.next().charAt(0);
System.out.println("边的起点为：");
endV = input.next().charAt(0);
System.out.println("边的权值为：");
weight = input.nextInt();
for (i = 0; gm.Vertex[i] != startV; i++) ; // 在顶点数组中查找终点地位
for (j = 0; gm.Vertex[j] != endV; j++) ; // 在顶点数组中查找起点地位
gm.EdgeWeight[i][j] = weight;
if (gm.GType == 0) {gm.EdgeWeight[j][i] = weight;
}
}
input.close();}
// 显示图邻接矩阵
public static void outGraph(GraphM gm){for(int i=0;i<gm.VertexNum;i++){System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" "); // 第一行输入顶点信息
}
System.out.println();
for(int i=0;i<gm.VertexNum;i++){System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" ");
for(int j=0;j<gm.VertexNum;j++){if(gm.EdgeWeight[i][j]==gm.MaxValue){System.out.printf(" ");
}else{System.out.printf(String.valueOf(gm.EdgeWeight[i][j])+" ");
}
}
System.out.println();}
}
public static void main(String[] args) {
int Gtype;// 图的类型（0: 无向图 1：有向图）int VertexNum;// 顶点数量
int EdgeNum; // 边的数量
Scanner in = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输出图类型（0: 无向图 1：有向图）");
Gtype = in.nextInt();
System.out.println("请输出顶点数目！");
VertexNum = in.nextInt();
System.out.println("请输出边数目！");
EdgeNum = in.nextInt();
GraphM gm = new GraphM(Gtype,VertexNum,EdgeNum);
creatGraph(gm);
outGraph(gm);
in.close();}
}
邻接表法
邻接表是以单链表的进行存储的，每个单链存储某个点可达到的所有点，当然，也可应用数组来实现，这里临时不提及
算法步骤
- 确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值
-
定义三个结点类，
- 蕴含结点编号、下一结点指针以及权值的边结点类 A，
- 蕴含结点编号以及下一边结点指针的表头结点类 B
- 蕴含终点字符、起点字符、权值的边结点类 C
- 输出所有顶点，并结构为一个结点类 A 类型，下一个边结点设置为空，存进顶点结点数组中，作为链表表头，其下标为其编号
- 输出所有边的终点、起点以及权值，结构出一个结点类型 C 类型，并存进边数组中
-
插入边（前插法：在表头指针与下一边结点指针之间插入）
- 在顶点数组中找到对应终点、起点的下标
- 结构一个边结点 A 类型，使其值为起点值，下一指针值为表头结点的原下一个结点指针，并赋值权值
- 使其终点对应的表头结点的下一指针值为新边结点
- 若为无向图，终点起点转换，再插入边，保障双向边
-
直至遍历完所有边数组即可输入邻接表
- 表头结点下一结点指针为空
- 输出表头元素 ->NULL
- 若表头结点下一结点指针不为空
- 遍历其单链表，输入所有元素
邻接表代码
import java.util.Scanner;
// 边结点类
class edgeNode{
int index; // 边起点对应的下标
edgeNode next; // 下一个结点
int edgeWeight; // 权值
public edgeNode(int index,edgeNode next,int edgeWeight){
this.index = index;
this.next = next;
this.edgeWeight = edgeWeight;
}
}
// 顶点结点类
class vertexNode{
char date; // 顶点元素
edgeNode firstNode; // 第一个边结点
public vertexNode(char date,edgeNode firstNode){
this.date = date;
this.firstNode = firstNode;
}
}
// 图邻接表
class graph{
int GType; // 图的类型（0: 无向图 1：有向图）int verNum; // 顶点数
int edgeNum; // 边数
vertexNode[] vertex; // 所有的顶点
public graph(int GType, int verNum, int edgeNum) {
this.GType = GType;
this.verNum = verNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.vertex = new vertexNode[verNum];
}
}
// 边信息
class edge{
char began; // 终点
char end; // 起点
int weight; // 权值
public edge(char began, char end, int weight) {
this.began = began;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
}
public class graphTable {
// 查找对应下标
public static int getIndex(graph g,char target){for (int i = 0;i < g.verNum;i++){if (g.vertex[i].date == target){return i;}
}
return -1;
}
// 插入一条边
public static int insertEdge(graph g, edge edge){int began = getIndex(g,edge.began);
int end = getIndex(g,edge.end);
if (began == -1 || end == -1){// 有效边
return -1;
}
// 前插法、后插法，这里应用前插法，无需遍历
g.vertex[began].firstNode = new edgeNode(end,g.vertex[began].firstNode, edge.weight);
if (g.vertex[began].firstNode==null){return -2;}
if(g.GType == 0){g.vertex[end].firstNode = new edgeNode(began,g.vertex[end].firstNode,edge.weight);
}
++g.edgeNum;
return 0;
}
// 创立图
public static void createGraph(graph g,char[] vertex,
int verNum, edge[] edges,
int edgeNum,int gType){
g.verNum = 0;
g.edgeNum = 0;
g.GType = gType;
for(int i = 0;i<verNum;i++){g.vertex[i] = new vertexNode(vertex[i],null);
++ g.verNum;
}
for (int i = edgeNum-1;i >= 0;--i){int value = insertEdge(g,edges[i]);
if (value != 0){
// 插入一条边失败
System.out.println("插入边失败");
}
}
}
// 展现图
public static void graphShow(graph g){System.out.println("邻接表如下：");
for(int i = 0;i < g.verNum;i++){edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
if (firstNode == null){System.out.println(g.vertex[i].date+"->NULL");
continue;
}
System.out.print(g.vertex[i].date+"->"+firstNode.index);
while (firstNode.next!=null){System.out.print("->"+firstNode.next.index);
firstNode = firstNode.next;
}
System.out.println();}
}
public static void main(String[] args) {Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输出图的类型！（0：无向图；1：有向图）");
int gType = input.nextInt();// 图的类型
System.out.println("请输出顶底数");
int vertNum = input.nextInt();// 顶点数
System.out.println("请输出边数");
int edgeNum = input.nextInt();// 边数
char[] vertex = new char[vertNum];// 顶点字符
edge[] edge = new edge[edgeNum];// 创立边结点数组
graph g = new graph(gType,vertNum,edgeNum);
// 输出顶点
for (int i = 0;i<vertNum;i++){System.out.println("请输出"+i+"个结点");
vertex[i] = input.next().charAt(0);
}
for (int i = 0;i<edgeNum;i++){System.out.println("请输出终点");
char began = input.next().charAt(0);
System.out.println("请输出起点");
char end = input.next().charAt(0);
System.out.println("请输出权值");
int weight = input.next().charAt(0);
edge[i] = new edge(began,end,weight);
}
createGraph(g,vertex,vertNum,edge,edgeNum,1);
graphShow(g);
}
} 当然，图的示意不止有以上两者办法，多种多样，可依据须要进行抉择。抉择办法可参考如下：
- 稠密图：当边的数量远小于顶点数的平方时
- 浓密图：当边的数量靠近或大于顶点数的平方时
通常状况下，应用邻接表示意稠密图，应用邻接矩阵示意浓密图。不过，如要验证两顶点是否相连，应用邻接矩阵会是个更好抉择，因为邻接矩阵为一个二维数组，查问工夫复杂度为 O(1)，效率更高。
不同结点登程的遍历程序肯定不惟一，同一结点登程的遍历程序可能不惟一。
深度优先遍历 DFS
每次遍历都先到结点深度最深处，再回溯到上一可切换门路的结点进行又一反复遍历
步骤：
- 从图中某个顶点 v 登程
- 记录此节点，并从 v 未被拜访的顶点登程
- 直至与顶点 v 有门路连通的顶点都被拜访
- 若图中仍有没被拜访的结点，则从其中未被拜访的结点登程，反复以上过程
- 直至所有结点都被拜访
邻接矩阵深度优先遍历
// 深度优先遍历算法
public static void DFSserver(GraphM g, boolean[] visited, int i) {for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){if (g.EdgeWeight[i][j] != 0 && !visited[j]){DFSserver(g,visited,j);
}
}
}
// 深度优先遍历操作
public static char[] DFS(GraphM g){char[] res = new char[g.VertexNum];
boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];
int k = 0;
for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){if (!visited[i]){visited[i] = true;
res[k++] = g.Vertex[i];
DFSserver(g,visited,i);
}
}
return res;
}邻接表广度优先遍历
// 深度优先遍历算法 DFS
public static void DFSserver(GraphT g,boolean[] visited,int i) {edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
while (firstNode!=null){if (!visited[firstNode.index]){DFSserver(g,visited,firstNode.index);
}
firstNode = firstNode.next;
}
}
// 深度优先遍历操作
public static char[] DFS(GraphT g){char res[] = new char[g.verNum];
boolean[] visited = new boolean[g.verNum];
int j = 0;
for(int i = 0;i < g.verNum;i++){if (!visited[i]){visited[i] = true;
res[j++] = g.vertex[i].date;
DFSserver(g,visited,i);
}
}
return res;
}广度优先遍历 BFS
遍历一个结点先将其所有指向结点遍历，在进入下一层进行遍历
- 定义一个队列以及一个标记数组
- 取图某一结点 A，入队，并在标记数组对应值标记为 True
-
将每一个与结点 A 相关联的结点一一判断是否已被标记为 True，
- 若已标记，跳过
- 若存在未被标记的结点，即结点 A 出队，未被标记的结点入队
- 顺次将入队元素一一入队，反复第三步
- 队列为空，广度优先遍历完结
邻接矩阵广度优先遍历
// 广度优先遍历 BFS
public static char[] BFS(GraphM g){boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
char[] res = new char[g.VertexNum];
int j = 0;
for (int i = 0; i < g.VertexNum;i++){if (!visited[i]){visited[i] = true;
res[j++] = g.Vertex[i];
queue.add(i);
while (!queue.isEmpty()){queue.remove();
for (int k = 0;k<g.VertexNum;k++){if (g.EdgeWeight[i][k] != 0 && !visited[k]){visited[k] = true;
res[j++] = g.Vertex[k];
queue.add(k);
}
}
}
}
}
return res;
}邻接表广度优先遍历
// 邻接表广度优先遍历 BFS
public static char[] BFS(GraphT g){boolean[] visited = new boolean[g.verNum];
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
char[] res = new char[g.verNum];
int j = 0;
for (int i = 0; i < g.verNum;i++){if (!visited[i]){visited[i] = true;
res[j++] = g.vertex[i].date;
queue.add(i);
while (!queue.isEmpty()){queue.remove();
edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
while (firstNode != null){if (!visited[firstNode.index]){visited[firstNode.index] = true;
res[j++] = g.vertex[firstNode.index].date;
queue.add(firstNode.index);
}
firstNode = firstNode.next;
}
}
}
}
return res;
}正文完