关于算法:UnionFind算法详解

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明天讲讲 Union-Find 算法，也就是常说的并查集算法，次要是解决图论中「动静连通性」问题的。名词很高端，其实特地好了解，等会解释，另外这个算法的利用都十分乏味。

说起这个 Union-Find，应该算是我的「启蒙算法」了，因为《算法 4》的结尾就介绍了这款算法，可是把我秀翻了，感觉好精妙啊！起初刷了 LeetCode，并查集相干的算法题目都十分有意思，而且《算法 4》给的解法居然还能够进一步优化，只有加一个渺小的批改就能够把工夫复杂度降到 O(1)。

废话不多说，间接上干货，先解释一下什么叫动静连通性吧。

一、问题介绍

简略说，动静连通性其实能够形象成给一幅图连线。比方上面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，别离用 0~9 标记：

当初咱们的 Union-Find 算法次要须要实现这两个 API：

class UF {
    /* 将 p 和 q 连贯 */
    public void union(int p, int q);
    /* 判断 p 和 q 是否连通 */
    public boolean connected(int p, int q);
    /* 返回图中有多少个连通重量 */
    public int count();}

这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具备如下三个性质：

1、自反性：节点 p 和p是连通的。

2、对称性：如果节点 p 和q连通，那么 q 和p也连通。

3、传递性：如果节点 p 和q连通，q和 r 连通，那么 p 和r也连通。

比如说之前那幅图，0～9 任意两个 不同 的点都不连通，调用 connected 都会返回 false，连通重量为 10 个。

如果当初调用union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通重量降为 9 个。

再调用 union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用connected(0, 2) 也会返回 true，连通重量变为 8 个。

判断这种「等价关系」十分实用，比如说编译器判断同一个变量的不同援用，比方社交网络中的朋友圈计算等等。

这样，你应该大略明确什么是动静连通性了，Union-Find 算法的要害就在于 union 和connected函数的效率。那么用什么模型来示意这幅图的连通状态呢？用什么数据结构来实现代码呢？

二、基本思路

留神我方才把「模型」和具体的「数据结构」离开说，这么做是有起因的。因为咱们应用森林（若干棵树）来示意图的动静连通性，用数组来具体实现这个森林。

怎么用森林来示意连通性呢？咱们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点，如果是根节点的话，这个指针指向本人。比如说方才那幅 10 个节点的图，一开始的时候没有互相连通，就是这样：

class UF {
    // 记录连通重量
    private int count;
    // 节点 x 的节点是 parent[x]
    private int[] parent;

    /* 构造函数，n 为图的节点总数 */
    public UF(int n) {
        // 一开始互不连通
        this.count = n;
        // 父节点指针初始指向本人
        parent = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            parent[i] = i;
    }

    /* 其余函数 */
}

如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上：

public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也一样
    count--; // 两个重量合二为一
}

/* 返回某个节点 x 的根节点 */
private int find(int x) {// 根节点的 parent[x] == x
    while (parent[x] != x)
        x = parent[x];
    return x;
}

/* 返回以后的连通重量个数 */
public int count() {return count;}

这样，如果节点 p 和q连通的话，它们肯定领有雷同的根节点：

public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    return rootP == rootQ;
}

至此，Union-Find 算法就根本实现了。是不是很神奇？居然能够这样应用数组来模拟出一个森林，如此奇妙的解决这个比较复杂的问题！

那么这个算法的复杂度是多少呢？咱们发现，次要 APIconnected和 union 中的复杂度都是 find 函数造成的，所以说它们的复杂度和 find 一样。

find次要性能就是从某个节点向上遍历到树根，其工夫复杂度就是树的高度。咱们可能习惯性地认为树的高度就是 logN，但这并不一定。logN 的高度只存在于均衡二叉树，对于个别的树可能呈现极其不均衡的状况，使得「树」简直进化成「链表」，树的高度最坏状况下可能变成N。

所以说下面这种解法，find,union,connected的工夫复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不现实的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模微小的问题，对于 union 和connected的调用十分频繁，每次调用须要线性工夫齐全不可忍耐。

问题的关键在于，如何想方法防止树的不均衡呢？只须要略施小计即可。

三、平衡性优化

咱们要晓得哪种状况下可能呈现不均衡景象，关键在于 union 过程：

public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    // 将两棵树合并为一棵
    parent[rootP] = rootQ;
    // parent[rootQ] = rootP 也能够
    count--; 

咱们一开始就是简略粗犷的把 p 所在的树接到 q 所在的树的根节点上面，那么这里就可能呈现「头重脚轻」的不均衡情况，比方上面这种场面：

长此以往，树可能成长得很不均衡。咱们其实是心愿，小一些的树接到大一些的树上面，这样就能防止头重脚轻，更均衡一些 。解决办法是额定应用一个size 数组，记录每棵树蕴含的节点数，咱们无妨称为「分量」：

class UF {
    private int count;
    private int[] parent;
    // 新增一个数组记录树的“分量”private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        // 最后每棵树只有一个节点
        // 分量应该初始化 1
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    /* 其余函数 */
}

比如说 size[3] = 5 示意，以节点 3 为根的那棵树，总共有 5 个节点。这样咱们能够批改一下 union 办法：

public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);
    int rootQ = find(q);
    if (rootP == rootQ)
        return;
    
    // 小树接到大树上面，较均衡
    if (size[rootP] > size[rootQ]) {parent[rootQ] = rootP;
        size[rootP] += size[rootQ];
    } else {parent[rootP] = rootQ;
        size[rootQ] += size[rootP];
    }
    count--;
}

这样，通过比拟树的分量，就能够保障树的成长绝对均衡，树的高度大抵在 logN 这个数量级，极大晋升执行效率。

此时，find,union,connected的工夫复杂度都降落为 O(logN)，即使数据规模上亿，所需工夫也非常少。

四、门路压缩

这步优化特地简略，所以十分奇妙。咱们能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？

这样 find 就能以 O(1) 的工夫找到某一节点的根节点，相应的，connected和 union 复杂度都降落为 O(1)。

要做到这一点，非常简单，只须要在 find 中加一行代码：

private int find(int x) {while (parent[x] != x) {
        // 进行门路压缩
        parent[x] = parent[parent[x]];
        x = parent[x];
    }
    return x;
}

这个操作有点匪夷所思，看个 GIF 就明确它的作用了（为清晰起见，这棵树比拟极其）：

可见，调用 find 函数每次向树根遍历的同时，棘手将树高缩短了，最终所有树高都不会超过 3（union的时候树高可能达到 3）。

PS：读者可能会问，这个 GIF 图的 find 过程实现之后，树高恰好等于 3 了，然而如果更高的树，压缩后高度仍然会大于 3 呀？不能这么想。这个 GIF 的情景是我编出来不便大家了解门路压缩的，然而理论中，每次 find 都会进行门路压缩，所以树原本就不可能增长到这么高，你的这种放心应该是多余的。

五、最初总结

咱们先来看一下残缺代码：

class UF {
    // 连通重量个数
    private int count;
    // 存储一棵树
    private int[] parent;
    // 记录树的“分量”private int[] size;

    public UF(int n) {
        this.count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }
    
    public void union(int p, int q) {int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
        
        // 小树接到大树上面，较均衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

    public boolean connected(int p, int q) {int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }

    private int find(int x) {while (parent[x] != x) {
            // 进行门路压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }

    public int count() {return count;}
}

Union-Find 算法的复杂度能够这样剖析：构造函数初始化数据结构须要 O(N) 的工夫和空间复杂度；连通两个节点 union、判断两个节点的连通性connected、计算连通重量count 所需的工夫复杂度均为 O(1)。

当初解决这道朋友圈问题就很简略了：

    public int findCircleNum(int[][] M) {
        int n = M.length;
        UF uf = new UF(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (M[i][j] == 1)
                    uf.union(i, j);
            }
        }
        
        return uf.count();}

接下文：Union-Find 算法利用