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原文出处：拓端数据部落公众号
预测 GDP 增长
咱们复制了 Ghysels（2013）中提供的示例。咱们进行了 MIDAS 回归剖析，来预测 季度 GDP 增长以及每月非农就业人数的增长。预测公式如下
其中 yt 是按季度季节性调整后的理论 GDP 的对数增长，x3t 是月度总待业非农业工资的对数增长。
首先，咱们加载数据并执行转换。
R> y <- window(USqgdp, end = c(2011, 2))
R> x <- window(USpayems, end = c(2011, 7))
R> yg <- diff(log(y)) * 100
R> xg <- diff(log(x)) * 100最初两行用于平衡样本大小，样本大小在原始数据中有所不同。咱们只需在数据的结尾和结尾增加其余 NA 值即可。数据的图形示意如图所示。要指定 midas_r 函数的模型，咱们以下等效模式重写它：
就像在 Ghysels（2013）中一样，咱们将估算样本限度在 1985 年第一季度到 2009 年第一季度之间。咱们应用 Beta 多项式，非零 Beta 和 U -MIDAS 权重来 评估 模型。
R> coef(beta0)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3
0.8315274 0.1058910 2.5887103 1.0201202 13.6867809
R> coef(betan)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.93778705 0.06748141 2.26970646 0.98659174 1.49616336 -0.09184983
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.92989757 0.08358393 2.00047205 0.88134597 0.42964662 -0.17596814
xx5 xx6 xx7 xx8 xx9
0.28351010 1.16285271 -0.53081967 -0.73391876 -1.18732001咱们能够应用 2009 年第 2 季度至 2011 年第 2 季度蕴含 9 个季度的样本数据评估这三个模型的预测性能。
R> fulldata <- list(xx = window(nx, start = c(1985, 1), end = c(2011, 6)),
+ yy = window(ny, start = c(1985, 1), end = c(2011, 2)))
R> insample <- 1:length(yy)
R> outsample <- (1:length(fulldata$yy))\[-insample\]
R> avgf <- average_forecast(list(beta0, betan, um), data = fulldata,
+ insample = insample, outsample = outsample)
R> sqrt(avgf$accuracy$individual$MSE.out.of.sample)
\[1\] 0.5361953 0.4766972 0.4457144咱们看到，MIDAS 回归模型提供了最佳的样本外 RMSE。
预测理论稳定
作为另一个演示，咱们应用 midasr 来预测每日实现的稳定率。Corsi（2009）提出了一个简略的预测每日理论稳定率的模型。实现稳定率的异质自回归模型（HAR-RV）定义为
咱们假如一周有 5 天，一个月有 4 周。该模型是 MIDAS 回归的特例：
为了进行教训论证，咱们应用了由 Heber，Lunde，Shephard 和 Sheppard（2009）提供的对于股票指数的已实现稳定数据。咱们基于 5 分钟的 收益数据 估算 S&P500 指数的年度实现稳定率模型。
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.83041 0.36437 2.279 0.022726 *
rv1 0.34066 0.04463 7.633 2.95e-14 ***
rv2 0.41135 0.06932 5.934 3.25e-09 ***
rv3 0.19317 0.05081 3.802 0.000146 ***
\-\-\-
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.563 on 3435 degrees of freedom为了进行比拟，咱们还应用归一化指数 Almon 权重来预计模型
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.837660 0.377536 2.219 0.0266 *
rv1 0.944719 0.027748 34.046 < 2e-16 ***
rv2 -0.768296 0.096120 -7.993 1.78e-15 ***
rv3 0.029084 0.005604 5.190 2.23e-07 ***
\-\-\-
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.535 on 3435 degrees of freedom咱们能够应用异方差性和自相干鲁棒权重标准 测验 hAhr_test 来 测验 这些限度中哪些与数据兼容。
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 28.074, df = 17, p-value = 0.04408
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 19.271, df = 17, p-value = 0.3132咱们能够看到，与 MIDAS 回归模型中的 HAR-RV 隐含束缚无关的零假如在 0.05 的显着性程度上被回绝，而指数 Almon 滞后束缚的零假如则不能被回绝。
图阐明了拟合的 MIDAS 回归系数和 U -MIDAS 回归系数及其相应的 95%置信区间。对于指数 Almon 滞后指标，咱们能够通过 AIC 或 BIC 抉择滞后次数。
咱们应用了两种优化办法来进步收敛性。将测试函数利用于每个候选模型。函数 hAhr_test 须要大量的计算工夫，尤其是对于滞后阶数较大的模型，因而咱们仅在第二步进行计算，并且限度了滞后 restriction test 的抉择。AIC 抉择模型有 9 阶滞后：
Selected model with AIC = 21551.97
Based on restricted MIDAS regression model
The p-value for the null hypothesis of the test hAhr_test is 0.5531733
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.96102 0.36944 2.601 0.00933 **
rv1 0.93707 0.02729 34.337 < 2e-16 ***
rv2 -1.19233 0.19288 -6.182 7.08e-10 ***
rv3 0.09657 0.02190 4.411 1.06e-05 ***
\-\-\-
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.524 on 3440 degrees of freedomhAh_test 的 HAC 再次无奈回绝指数 Almon 滞后的原假如。咱们能够应用具备 1000 个观测值窗口的滚动预测来钻研两个模型的预测性能。为了进行比拟，咱们还计算了无限度 AR（20）模型的预测。
Model MSE.out.of.sample MAPE.out.of.sample
1 rv ~ (rv, 1:20, 1) 10.82516 26.60201
2 rv ~ (rv, 1:20, 1, harstep) 10.45842 25.93013
3 rv ~ (rv, 1:9, 1, nealmon) 10.34797 25.90268
MASE.out.of.sample MSE.in.sample MAPE.in.sample MASE.in.sample
1 0.8199566 28.61602 21.56704 0.8333858
2 0.8019687 29.24989 21.59220 0.8367377
3 0.7945121 29.08284 21.81484 0.8401646咱们看到指数 Almon 滞后模型略优于 HAR-RV 模型，并且两个模型均优于 AR（20）模型。
参考文献
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2010）。“具备混合采样频率的回归模型。”计量经济学杂志，158，246–261。doi：10.1016 / j.jeconom.2010.01。004。
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2011）。“混合频率数据的预测。”在 MP Clements 中，DF Hendry（编），《牛津经济预测手册》，第 225–245 页。
