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次要优化办法的疾速概述
咱们介绍次要的优化办法。咱们思考以下问题 .
无导数优化办法
Nelder-Mead 办法是最驰名的无导数办法之一，它只应用 f 的值来搜寻最小值。过程：
- 设置初始点 x1,…,xn+1
- 对点进行排序，使得 f(x1)≤f(x2)≤⋯≤f(xn+1)。
- 计算 xo 作为 x1,…,xn 的中心点。
- 反射
- 计算反射点 xr=xo+α（xo-xn+1）。
- 如果 f(x1)≤f(xr)<f(xn)，那么用 xr 替换 xn+1，转到步骤 2。
- 否则转到第 5 步。
扩大:
- 如果 f(xr)<f(x1)，那么计算扩大点 xe=xo+γ(xo−xn+1).
- 如果 f(xe)<f(xr)，那么用 xe 替换 xn+1，转到步骤 2。
- 否则用 xr 替换 xn+1，转到第 2 步。
- 否则转到第 6 步。
膨胀:
- 计算膨胀点 xc=xo+β（xo-xn+1）.
- 如果 f(xc)<f(xn+1)，那么用 xc 替换 xn+1，进入第 2 步。
- 否则转到第 7 步.
缩小:
- 对于 i =2,…,n+1，计算 xi=x1+σ（xi-x1）.
Nelder-Mead 办法在 optim 中可用。默认状况下，在 optim 中，α=1，β=1/2，γ=2，σ=1/2。
Hessian-free 优化办法
对于润滑的非线性函数，个别采纳以下办法：部分办法联合直线搜寻工作的计划 xk+1=xk+tkdk，其中部分办法将指定方向 dk，直线搜寻将指定步长 tk∈R。
基准
为了简化优化办法的基准，咱们创立一个函数，用于计算所有优化办法的现实预计办法。
benchfit <- function(data, distr, ...)β 散布的数值阐明
β 散布的对数似然函数及其梯度
理论值
β 散布的密度由以下公式给出
其中 β 示意 β 函数。咱们记得 β(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)。在这里，一组观测值（x1,…,xn）的对数似然性为
与 a 和 b 无关的梯度为
R 实现
咱们最小化了对数似然的 相同 _数_：实现了梯度的 相同_数_。对数似然和它的梯度都不被输入。
function(par)
loglikelihood(par, fix.arg ,...)样本的随机生成
#(1) beta 散布
n <- 200
x <- rbeta(n, 3, 3/4)
lnl(c(3, 4), x) #测验
``````
hist(x, prob=TRUE)
拟合 Beta 散布
定义控制参数。
list(REPORT=1, maxit=1000)用默认的优化函数调用，对于不同的优化办法，有梯度和无梯度。
fit(x, "beta", "mle", lower=0,...)
在束缚优化的状况下，咱们通过应用对数阻碍容许线性不平等束缚。
应用形态参数 δ1 和 δ2 的 exp/log 变换，来确保形态参数严格为正。
# 取起始值的对数
lapply(default(x, "beta"), log)
#为新的参数化从新定义梯度
exp <- function(par,...) beta(exp(par), obs) * exp(par)
fit(x, distr="beta2", method="mle")
# 返回到原始参数化
expopt <- exp(expopt)而后，咱们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度（无论是实践上的梯度还是数值上的近似值）。
数值考察的后果
结果显示在以下表格中。1）没有指定梯度的原始参数（- B 代表有界版本），（2）具备（实在）梯度的原始参数（- B 代表有界版本，- G 代表梯度），（3）没有指定梯度的对数转换参数，（4）具备（实在）梯度的对数转换参数（- G 代表梯度）。
咱们绘制了实在值（绿色）和拟合参数（红色）四周的对数似然曲面图。
llsurface(min.arg=c(0.1, 0.1), max.arg=c(7, 3),
plot.arg=c("shape1", "shape2"), nlev=25,
plot.np=50, data=x, distr="beta", back.col = FALSE)
points(unconstropt\[1,"BFGS"\], unconstropt\[2,"BFGS"\], pch="+", col="red")
points(3, 3/4, pch="x", col="green")
咱们能够用 bootdist 函数来模仿 bootstrap 复制的状况。
boot(fit(x, "beta", method="mle", optim.method="BFGS"))
plot(b1)
abline(v=3, h=3/4, col="red", lwd=1.5)
负二项分布的演示
负二项分布的对数似然函数及其梯度
理论值
负二项分布的 p.m.f. 由以下公式给出
其中 Γ 示意 β 函数。存在另一种示意办法，即 μ =m(1-p)/ p 或等价于 p =m/(m+μ)。因而，一组观测值（x1,…,xn）的对数似然性是
绝对于 m 和 p 的梯度是
R 实现
咱们最小化对数似然性的 相同 _数_：实现梯度的 相同_数_。
m <- x\[1\]
p <- x\[2\]
c(sum(psigamma(obs+m)) - n\*psigamma(m) + n\*log(p),
m*n/p - sum(obs)/(1-p))
样本的随机生成
#(1) β 散布
trueval <- c("size"=10, "prob"=3/4, "mu"=10/3)
x <- rnbinom(n, trueval\["size"\], trueval\["prob"\])
hist(x, prob=TRUE, ylim=c(0, .3))
拟合负二项分布
定义控制参数并做基准。
list(trace=0, REPORT=1, maxit=1000)
fit(x, "nbinom", "mle", lower=0)
在束缚优化的状况下，咱们通过应用对数阻碍容许线性不平等束缚。
应用形态参数 δ1 和 δ2 的 exp/log 变换，来确保形态参数严格为正。
# 对起始值进行变换
mu <- size / (size+mu)
arg <- list(size=log(start), prob=log(start/(1-start)))
#为新的参数化从新定义梯度
function(x)
c(exp(x\[1\]), plogis(x\[2\]))
fit(x, distr="nbinom2", method="mle")
# 返回到原始参数化
expo <- apply(expo, 2, Trans)
而后，咱们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度（无论是实践上的梯度还是数值上的近似值）。
数值考察的后果
结果显示在以下表格中。1）没有指定梯度的原始参数（- B 代表有界版本），（2）具备（实在）梯度的原始参数（- B 代表有界版本，- G 代表梯度），（3）没有指定梯度的对数转换参数，（4）具备（实在）梯度的对数转换参数（- G 代表梯度）。
咱们绘制了实在值（绿色）和拟合参数（红色）四周的对数似然曲面图。
surface(min.arg=c(5, 0.3), max.arg=c(15, 1),
)
points(trueval , pch="x")
咱们能够用 bootdist 函数来模仿 bootstrap 复制的状况。
boot(fit(x, "nbinom", method="mle")
plot(b1)
abline(v=trueval)
论断
基于后面的两个例子，咱们察看到所有的办法都收敛到了同一个点。
然而，不同办法的函数评估（和梯度评估）的后果是十分不同的。此外，指定对数似然性的实在梯度对拟合过程没有任何帮忙，通常会减慢收敛速度。一般来说，最好的办法是规范 BFGS 办法或对参数进行指数变换的 BFGS 办法。因为指数函数是可微的，所以渐进个性仍被保留（通过 Delta 办法），但对于无限样本来说，这可能会产生一个小的偏差。
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