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模型背景

每一个动静景象都能够用一个潜过程 (Λ(t) 来形容，这个潜过程在间断的工夫 t 内演变。当对反复测量的标记变量进行建模时，咱们通常不会把它看成是一个有误差测量的潜过程。然而，这正是混合模型实践所做的根本假如。潜过程混合模型利用这个框架将线性混合模型实践扩大到任何类型的后果（有序、二元、间断、类别与任何散布）。

潜类别混合模型

潜类别混合模型在 Proust-Lima 等人中介绍（2006  https://doi.org/10.1111/j.1541-0420.2006.00573.x 和 2013 https://doi.org/10.1111/bmsp.12000）。

应用线性混合模型依据工夫对定义为潜过程感兴趣的变量进行建模：

其中：

• X（t）和 Z（t）是协变量的向量（Z（t）；

• β 是固定效应（即总体均值效应）；

• ui 是随机效应（即个体效应）；它们依据具备协方差矩阵 B 的零均值多元正态分布进行散布；

• （wi（t））是高斯过程，能够增加到模型中以来放宽对象外部相干构造。

同时在察看方程中定义了感兴趣的潜过程标记变量 Yij（针对对象 i 和场合 j）的察看之间的关系：

其中

• tij 是主题 i 和场合 j 的测量工夫；

• ϵij 是一个独立的零均值高斯误差；

• H 是链接函数，可将潜过程转换为比例和度量。

应用了不同的参数族。当标记变量为间断时，H-1 是递增枯燥函数的参数族，其中：

• 线性变换：这简化为线性混合模型（2 个参数）

• Beta 累积散布族从新调整（4 个参数）

当 标记 变量是离散类别（二元或有序的）时：  H 是阈值函数，即 Y 的每个级别对应于要预计 Λ（tij）+ ϵij 区间的边界。

可识别性

与任何潜变量模型一样，必须定义潜变量的度量。在 lcmm 中，误差的方差为 1，均匀截距（在 β 中）为 0。

示例

在本文中，lcmm 通过钻研年龄 65 岁左右男性的抑郁症状（由 CES- D 量表测量）的线性轨迹来阐明潜过程混合模型。包含截距和 age65 的相干随机效应。

思考的模型：

，

_固定效应局部_ 是

预计不同间断链接函数的模型 H

咱们应用 65 岁左右的年龄变量进行中心化，并以十年为单位。
潜过程混合模型能够用不同的链接函数进行拟合，如下所示。这是用参数链接来实现的。

线性链接函数

定义线性链接函数时，模型将简化为规范线性混合模型。默认状况下具备线性链接函数：

lcmm(CESD ~ age65*male, random=~ age65 #链接 = 线性

它与 hlme 装置的模型完全相同。与 hlme 对象的惟一区别是截距和残差标准误差的参数化。

hlme(CESD ~ age65*male, random=~ age65 #链接 = 线性

对数似然雷同，但预计参数 β 不在同一范畴内

loglik
\[1\] -7056.652

非线性链接函数 1：Beta 累积散布函数 Beta 散布的重标累积散布函数 (CDF) 提供了标记变量与其根本埋伏过程之间的凹、凸或 sigmoïd 变换。

lcmm(random=~ age65, link='beta')

非线性链接函数 2：二次 I 样条二次 I 样条族近似于间断减少的链接函数。它波及在标记变量范畴内散布的节点。默认状况下，应用位于标记变量范畴内的 5 个等距结：

lcmm(random=~ age65, subject='ID', link='splines')

能够指定结的数量及其地位。首先输出节点的数目，接着，再指定地位 equi，quant 或 manual 用于别离等距节点，在标记变量散布分位数或外部结在参数 intnodes 手动输出。例如，7-equi-splines 意味着具备 7 个等距节点，6-quant-splines I 样条，意味着具备 6 个节点的 I 样条，其位于标记变量散布的分位数处。

例如，在分位数处有 5 个结：

lcmm(link='5-quant-splines')

抉择最佳模型

要抉择最合适的链接函数，能够比拟这些不同的模型。通常，这能够通过应用 AIC 或 UACV 等顺着依据拟合优度对模型进行比拟来实现。

AIC（每个模型的输入中都有 UACV）：

在这种状况下，依据 AIC 规范，由 I -splines 和 5 个分位数结点链接函数的模型提供了最佳拟合度。能够在图中比拟不同的预计链接函数：

plot(mli, which="linkfunction",xlab="潜过程")
legend(x="topleft", legend=c("线性", "beta","样条曲线 (5 个等距结点)","样条曲线(5 个分位数结点)"))

咱们看到 2 个样条曲线转换十分靠近。线性模型仿佛不适合，如线性曲线和样条曲线之间的差值所示。Beta 转换仅在潜过程的高值时才与样条曲线不同。变换的相信带能够通过蒙特卡洛办法取得：

predict(mspl5q,ndraws=2000)
legend(legend=c("95% 相信带","分位数样条"),lty=c(2,NA))

用离散链接函数 H 预计模型

有时，对于仅具备无限数量级别的标记变量，间断链接函数不适合，并且必须解决标记变量的有序性质。lcmm 函数通过思考阈值链接函数来解决这种状况。然而，咱们必须晓得，带有阈值链接函数的模型的数值复杂性要重要得多（因为对随机效应散布进行了数值积分）。在拟合这个模型时，必须牢记这一点，随机效应的数量要谨严地抉择。

留神，该模型成为累积概率混合模型 。这里是一个应用 HIER 变量(4 级) 的例子，因为思考到 0 -52 的范畴(例如 52 个阈值参数)，CESD 的阈值链接函数会波及太多参数。

 lcmm(HIER ~ age65*male, link='thresholds')

拟合后的输入

概要

该模型的摘要包含收敛性，拟合规范的优度和预计的参数。

依据协变量的散布预测的轨迹图，能够依据因变量的比例并依据协变量的散布来计算预测的轨迹：

predict(msp, newdata=datnew, var.time="age"

而后绘制：

plot(women,xlab="年龄")
plot(men, add=TRUE)
legend(legend=c("女性","男性", "95% 置信区间", "95% 置信区间"))

拟合优度 1：残差图

特定的残差（右下方面板中的 qqplot）应为高斯分布。

拟合优度 2：预测与察看图

能够依据年龄绘制均匀预测和察看值。请留神，预测和察看是在潜过程的范畴内（察看是通过预计的链接函数进行转换的）：

plot(var.time="age65", xlab="(年龄 -65)/10", break.times=8, ylab="潜过程")

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