关于算法:R语言FamaFrench三因子模型实际应用优化投资组合

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原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360 

本文将阐明金融数学中的 R 语言优化投资组合，因子模型的实现和应用。

具备繁多市场因素的宏观经济因素模型

咱们将从一个蕴含单个已知因子（即市场指数）的简略示例开始。该模型为

​

其中显式因子 ft 为 S&P 500 指数。咱们将做一个简略的最小二乘（LS）回归来预计截距 α 和加载 β：

​

大多数代码行用于筹备数据，而不是执行因子建模。让咱们开始筹备数据：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-01-01"
end_date <- "2017-12-31"


# 从 YahooFinance 下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 
                                            from = begin_date, to = end_date, 
head(data_set)
#>                AAPL  AMD      ADI     ABBV AEZS        A       APD       AA       CF
#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138  99.91463 19.59558 29.61520
#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482  99.39687 19.12169 29.33761
#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613  99.78938 18.95583 28.14919

head(SP500_index)
#>              index
#> 2016-01-04 2012.66
#> 2016-01-05 2016.71
#> 2016-01-06 1990.26
#> 2016-01-07 1943.09
#> 2016-01-08 1922.03
#> 2016-01-11 1923.67
plot(SP500_index)

​

 # 计算股票和 SP500 指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  # 股票数量
T <- nrow(X)  # 天数

当初咱们筹备进行因子模型拟合。LS 拟合很容易在 R 中实现，如下所示：

​

 beta <- cov(X,f)/as.numeric(var(f))
alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)
sigma2 <- rep(NA, N)

print(alpha)
#>              index
#> AAPL  0.0003999086
#> AMD   0.0013825599
#> ADI   0.0003609968
#> ABBV  0.0006684632
#> AEZS -0.0022091301
#> A     0.0002810616
#> APD   0.0001786375
#> AA    0.0006429140
#> CF   -0.0006029705
print(beta)
#>          index
#> AAPL 1.0957919
#> AMD  2.1738304
#> ADI  1.2683047
#> ABBV 0.9022748
#> AEZS 1.7115761
#> A    1.3277212
#> APD  1.0239453
#> AA   1.8593524
#> CF   1.5702493

或者，咱们能够应用矩阵表示法进行拟合 ​，咱们定义 ​和扩大因子 ​。而后最小化 ​

 t(X) %*% F_ %*% solve(t(F_) %*% F_)  

#>              alpha      beta
#> AAPL  0.0003999086 1.0957919
#> AMD   0.0013825599 2.1738304
#> ADI   0.0003609968 1.2683047
#> ABBV  0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A     0.0002810616 1.3277212
#> APD   0.0001786375 1.0239453
#> AA    0.0006429140 1.8593524
#> CF   -0.0006029705 1.5702493
E <- xts(t(t(X) - Gamma %*% t(F_)), index(X))  # 残差

另外，咱们能够简略地应用 R 为咱们实现工作：

 cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
#>              alpha     index
#> AAPL  0.0003999086 1.0957919
#> AMD   0.0013825599 2.1738304
#> ADI   0.0003609968 1.2683047
#> ABBV  0.0006684632 0.9022748
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
#> A     0.0002810616 1.3277212
#> APD   0.0001786375 1.0239453
#> AA    0.0006429140 1.8593524
#> CF   -0.0006029705 1.5702493

可视化协方差矩阵

乏味的是，可视化对数收益率 [算术解决误差]​以及残差 Ψ 的预计协方差矩阵。让咱们从对数收益率的协方差矩阵开始：

 main = "单因子模型对数收益的协方差矩阵")

​

咱们能够察看到所有股票都是高度相干的，这是市场因素的影响。为了查看股票相干关系，咱们绘制相干图：

plot(cov2cor(Psi),
         main = "残差协方差矩阵")

​

 cbind(stock_namelist, sector_namelist)  # 股票的行业
#>       stock_namelist sector_namelist         
#>  [1,] "AAPL"         "Information Technology"
#>  [2,] "AMD"          "Information Technology"
#>  [3,] "ADI"          "Information Technology"
#>  [4,] "ABBV"         "Health Care"           
#>  [5,] "AEZS"         "Health Care"           
#>  [6,] "A"            "Health Care"           
#>  [7,] "APD"          "Materials"             
#>  [8,] "AA"           "Materials"             
#>  [9,] "CF"           "Materials"

乏味的是，咱们能够察看到对 Ψ 执行的主动聚类能够正确辨认股票的行业。

评估投资资金

在此示例中，咱们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。咱们将规范普尔 500 指数作为明确的市场因素，并假如无风险收益为零 rf = 0。特地是，咱们思考六种交易所交易基金（ETF）：

咱们首先加载数据：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表
begin_date <- "2016-10-01"
end_date <- "2017-06-30"

# 从 YahooFinance 下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 

head(data_set)
#>                 SPY   XIVH     SPHB     SPLV     USMV      JKD
#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978

head(SP500_index)
#>              index
#> 2016-10-03 2161.20
#> 2016-10-04 2150.49
#> 2016-10-05 2159.73
#> 2016-10-06 2160.77
#> 2016-10-07 2153.74
#> 2016-10-10 2163.66

# 计算股票和 SP500 指数的对数收益率作为显式因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  # 股票数量
T <- nrow(X)  # 天数

当初咱们能够计算所有 ETF 的 alpha 和 beta：

 #>              alpha      beta
#> SPY   7.142225e-05 1.0071424
#> XIVH  1.810392e-03 2.4971086
#> SPHB -2.422107e-04 1.5613533
#> SPLV  1.070918e-04 0.6777149
#> USMV  1.166177e-04 0.6511667
#> JKD   2.569578e-04 0.8883843

当初能够进行一些察看：

  • SPY 是 S&P 500 的 ETF，如预期的那样，其 alpha 值简直为零，beta 值简直为 1：α= 7.142211×10- 5 和 β= 1.0071423。
  • XIVH 是具备高 alpha 值的 ETF，计算出的 alpha 值是 ETF 中最高的（高 1 - 2 个数量级）：α= 1.810392×10-3。
  • SPHB 是一种 ETF，据揣测具备很高的 beta，而计算出的 beta 却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。乏味的是，计算出的 alpha 为负，因而，该 ETF 应审慎。
  • SPLV 是升高波动性的 ETF，实际上，计算得出的 beta 偏低：β= 0.6777072。
  • USMV 还是升高波动性的 ETF，实际上，计算出的 beta 是最低的：β= 0.6511671。
  • JKD 显示出很好的折衷。

咱们能够应用一些可视化：

 barplot(rev(alpha), horiz = TRUE, main = "alph

​

咱们还能够应用例如 Sharpe 比率，以更零碎的比拟不同的 ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型 ​

咱们取得

​

夏普比率如下：​

假如 ​。因而，基于 Sharpe 比率对不同资产进行排名的一种办法是依据 α / β 比率对它们进行排名：

 print(ranking)
#>         alpha/beta         SR         alpha      beta
#> XIVH  7.249952e-04 0.13919483  1.810392e-03 2.4971086
#> JKD   2.892417e-04 0.17682677  2.569578e-04 0.8883843
#> USMV  1.790904e-04 0.12280053  1.166177e-04 0.6511667
#> SPLV  1.580189e-04 0.10887903  1.070918e-04 0.6777149
#> SPY   7.091574e-05 0.14170591  7.142225e-05 1.0071424
#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533

能够看到：

  • 就 α / β 而言，XIVH 最佳（α 最大），而 SPHB 最差（α 负）。
  • 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为咱们疏忽了无风险利率）而言，JDK 是最好的，其次是 SPY。这证实了大多数投资基金的体现不超过市场的观点。
  • 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB 都是最差的：负 α，负 β 比率和 Sharpe 比率。
  • JDK 之所以可能获得最佳性能，是因为它的 alpha 值很好（只管不是最好的），而同时具备 0.88 的中等 beta 值。
  • XIVH 和 SPHB 有大量不同的 beta，因而在市场上具备极其敞口。
  • USMV 在市场上的曝光率最小，有可承受的 alpha 值，并且其 Sharpe 比率靠近第二和第三高的地位。

Fama-French 三因子模型

该示例将阐明应用规范普尔 500 指数中的九种股票的 Fama-French 三因子模型。让咱们从加载数据开始：

 # 设置开始完结日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2017-08-31"

# 从 YahooFinance 下载数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 

# 下载 Fama-French 因子


head(fama_lib)
#>            Mkt.RF   SMB   HML
#> 1926-07-01   0.10 -0.24 -0.28
#> 1926-07-02   0.45 -0.32 -0.08
#> 1926-07-06   0.17  0.27 -0.35
#> 1926-07-07   0.09 -0.59  0.03
#> 1926-07-08   0.21 -0.36  0.15
#> 1926-07-09  -0.71  0.44  0.56
tail(fama_lib)
#>            Mkt.RF   SMB   HML
#> 2017-11-22  -0.05  0.10 -0.04
#> 2017-11-24   0.21  0.02 -0.44
#> 2017-11-27  -0.06 -0.36  0.03
#> 2017-11-28   1.06  0.38  0.84
#> 2017-11-29   0.02  0.04  1.45
#> 2017-11-30   0.82 -0.56 -0.50

# 计算股票的对数收益率和 Fama-French 因子
X <- diff(log(data_set), na.pad = FALSE)
N <- ncol(X)  #股票数量

当初咱们在矩阵 F 中具备三个因子，并心愿拟合模型 ​，其中当初的载荷是一个 beta 矩阵：​。咱们能够做最小二乘拟合，最小化 ​。更不便地，咱们定义 ​和扩大因子 ​。而后能够将 LS 公式写为最小化 ​

print(Gamma)
#>              alpha        b1          b2          b3
#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117
#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271
#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182
#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290
#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938
#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692
#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

另外，咱们能够应用 R 实现：

#>              alpha    Mkt.RF         SMB         HML
#> AAPL  1.437845e-04 0.9657612 -0.23339130 -0.49806858
#> AMD   6.181760e-04 1.4062105  0.80738336 -0.07240117
#> ADI  -2.285017e-05 1.2124008  0.09025928 -0.20739271
#> ABBV  1.621380e-04 1.0582340  0.02833584 -0.72152627
#> AEZS -4.513235e-03 0.6989534  1.31318108 -0.25160182
#> A     1.146100e-05 1.2181429  0.10370898 -0.20487290
#> APD   6.281504e-05 1.0222936 -0.04394061  0.11060938
#> AA   -4.587722e-05 1.3391852  0.62590136  0.99858692
#> CF   -5.777426e-04 1.0387867  0.48430007  0.82014523

统计因子模型

当初让咱们思考统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具备 K 因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET 的主成分办法：

  1. PCA：

    • 样本均值：​
    • 矩阵：​
    • 样本协方差矩阵：​
    • 特色合成：​

  2. 预计：

    •  ​
    • ​
    • ​
  3. 更新特色合成：​
  4. 反复步骤 2 -3，直到收敛为止。
#>              alpha                                        
#> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515
#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473
#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

同样，咱们能够应用 R 实现工作：

#>              alpha      factor1      factor2       factor3
#> AAPL  0.0007074564 0.0002732114 -0.004631647 -0.0044814226
#> AMD   0.0013722468 0.0045782146 -0.035202146  0.0114549515
#> ADI   0.0006533116 0.0004151904 -0.007379066 -0.0053058139
#> ABBV  0.0007787929 0.0017513359 -0.003967816 -0.0056000810
#> AEZS -0.0041576357 0.0769496344  0.002935950  0.0006249473
#> A     0.0006902482 0.0012690079 -0.005680162 -0.0061507654
#> APD   0.0006236565 0.0005442926 -0.004229364 -0.0057976394
#> AA    0.0006277163 0.0027405024 -0.009796620 -0.0149177957
#> CF   -0.0000573028 0.0023108605 -0.007409061 -0.0153425661

通过不同因子模型进行协方差矩阵预计的最终比拟

咱们最终将比拟以下不同的因子模型：

  • 样本协方差矩阵
  • 宏观经济一因素模型
  • 根本的三因素 Fama-French 模型
  • 统计因素模型

咱们在训练阶段预计模型，而后将预计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比拟。预计误差将依据 PRIAL（均匀损失进步百分比）进行评估：

​

加载训练和测试集：

# 设置开始完结日期和股票名称列表
begin_date <- "2013-01-01"
end_date <- "2015-12-31"

# 筹备股票数据
data_set <- xts()
for (stock_index in 1:length(stock_namelist))
  data_set <- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index], 


#   Fama-French 因子
mydata <- mydata[-nrow(mydata), 


# 筹备指数
f_SP500 <- diff(log(SP500_index), na.pad = FALSE)

# 将数据拆分为训练数据和测试数据
T_trn <- round(0.45*T)
X_trn <- X[1:T_trn,]
X_tst <- X[(T_trn+1):T, ]

 当初让咱们用训练数据估算不同的因子模型：

 # 样本协方差矩阵
Sigma_SCM <- cov(X_trn)

# 单因素模型
Gamma <- t(solve(t(F_) %*% F_, t(F_) %*% X_trn))

E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F_)), index(X_trn))

# Fama-French 三因子模型

Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))

# 统计单因子模型

while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)



# 统计三因子模型
K <- 3

while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

Sigma_PCA3 <- Sigma

# 统计五因子模型
K <- 5

eigSigma <- eigen(Sigma)
while (norm(Sigma - Sigma_prev, "F")/norm(Sigma, "F") > 1e-3) {B <- eigSigma$vectors[, 1:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[1:K]), K, K)
  Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))

最初，让咱们比拟测试数据中的不同预计：

 Sigma_true <- cov(X_tst)

barplot(error, main = "协方差矩阵预计误差",

​

 PRIAL <- 100*(ref - error^2)/ref

barplot(PRIAL, main = "协方差矩阵预计的先验办法",

​

最终能够看到应用因子模型进行协方差矩阵预计会有所帮忙。

正文完
算法
发表至： 算法
2021-02-19
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