作者：韩信子 @ShowMeAI
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1. 概率论及在 AI 中的应用

概率 （Probability），反映随机事件呈现的可能性大小。事件 \(A \) 呈现的概率，用 \(P(A) \)示意。

概率论（Probability Theory），是钻研随机景象数量法则的数学分支，度量事物的不确定性。

机器学习大部分时候解决的都是不确定量或随机量。因而，绝对计算机科学的其余许多分支而言，机器学习会更多地应用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的，比方奢侈贝叶斯（Naive Bayesian）等。

在人工智能畛域，概率论有宽泛的利用：

• 能够借助于概率办法设计算法（概率型模型，如奢侈贝叶斯算法）。
• 能够基于概率与统计进行预测剖析（如神经网络中的 softmax）。

2. 随机变量（Random Variable）

简略地说，随机变量是指随机事件的数量体现，是能够『随机』地取不同值的『变量』。通常，用大写字母来示意随机变量自身，而用带数字下标的小写字母来示意随机变量可能取到的值。

• 例如，\(X \)为随机变量，\(x_{1} \)、\(x_{2} \)、\(x_{i} \)是随机变量 \(X \)可能的取值。

随机变量能够分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』：

• 离散型随机变量（discrete random variable）：即在肯定区间内变量取值为无限个（或可数个）。例如，某地区某年的出世人口数。
• 连续型随机变量（continuous random variable）：即在肯定区间内变量取值为有限个（或数值无奈一一列举进去）。例如，某地区男性衰弱成人的体重值。

3. 随机向量（Random Vector）

将几个随机变量按程序放在一起，组成向量的模式，就是随机向量。

在样本空间全副都一样的状况下，一个 \(n \)维的随机向量是

$$
x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c}
x_{1}(\xi) \\
x_{2}(\xi) \\
\cdots \\
x_{n}(\xi)
\end{array}\right)
$$

其中，\(\xi \)就是样本空间中的样本点。随机变量是1维随机向量的非凡状况。

4. 概率分布（Probability Distribution）

狭义上，概率分布用于表述随机变量取值的概率法则。或者说，给定某随机变量的取值范畴，概率分布示意该随机事件呈现的可能性。

广义地，概率分布指随机变量地概率分布函数，也称累积散布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。

离散型随机变量的概率分布：

• 应用散布列形容离散型随机变量的概率分布，即给出离散型随机变量的全副取值及每个值的概率。
• 常见的离散型随机变量的散布有：单点散布、0- 1 散布、几何散布、二项分布、泊松散布等。

连续型随机变量的概率分布：

如果随机变量 \(X \)的散布函数为 \(F(x) \)，存在非负函数 \(f (x) \)使对于任意实数 \(x \)有 \(F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t \)，则称 \(X \)为连续型随机变量，其中函数 \(f(x) \)称为 \(X \)的概率密度函数。

常见的连续型随机变量的散布有：正态分布、均匀分布、指数分布、\(t- \)散布、\(F- \)散布、\(\xi^{2}- \)散布等。

机器学习中一个典型的概率分布利用，是分类问题中，很多模型最终会预估失去样本属于每个类别的概率，形成 1 个概率向量，表征类别概率分布。

5. 条件概率（Conditional Probability）

很多状况下咱们感兴趣的是，某个事件在给定其它事件产生时呈现的概率，这种概率叫条件概率。

给定 \(A \)时 \(B \)产生的概率记为 \(P(B \mid A) \)，概率的计算公式为：\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \)

6. 贝叶斯公式（Bayes’Theorem）

先看看什么是“先验概率”和“后验概率”，以一个例子来阐明：

先验概率：某疾病在人群中发病率为 0.1%，那某人没有做测验之前，预计患病率为 \(P(\text { 患病})=0.1 \% \)，这个概率就叫做『先验概率』。

后验概率 ：该疾病的检测准确率为 95%，即该病患者检测显示阳性的概率为 95%（检测显示阴性的概率为 5%），即 \(P(\text { 显示阳性 | 患病})=95\% \)；或者说未患病的检测者，检测结果显示阴性的概率为 95%，检测显示阳性的概率为 5%。那么，检测显示为阳性时，此人的患病概率 \(P(\text { 患病 | 显示阳性}) \) 就叫做『后验概率』。

贝叶斯公式：贝叶斯提供了一种利用『先验概率』计算『后验概率』的办法：

• 条件概率公式：\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \)，\(P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)} \)
• 由条件概率公式变换失去乘法公式：\(P(A B)=P(B \mid A) P(A)=P(A \mid B) P(B) \)
• 将条件概率公式和乘法公式联合：\(P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)} \)
• 引入全概率公式：\(P(A)=\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right) \)
• 将全概率代入 \(P(B \mid A) \)，能够失去贝叶斯公式：\(P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)} \)

上述例子的计算结果：

$$
\begin{aligned}
P(\text { 患病} \mid \text {显示阳性}) &=\frac{P(\text { 显示阳性 | 患病}) P(\text { 患病})}{P(\text { 显示阳性})} \\
&=\frac{P(\text { 显示阳性 | 患病}) P(\text { 患病})}{P(\text { 显示阳性 | 患病}) P(\text { 患病})+P(\text { 显示阳性 | 无病) } P(\text { 无病})} \\
&=\frac{95 \% * 0.1 \%}{95 \% * 0.1 \%+5 \% * 99.9 \%}=1.86 \%
\end{aligned}
$$

贝叶斯公式贯通了机器学习中随机问题剖析的全过程。从文本分类到概率图模型，其根本分类都是贝叶斯公式。

冀望、方差、协方差等次要反映数据的统计特色。机器学习的一个很大利用就是数据挖掘等，因而这些根本的统计概念也是很有必要把握。另外，像前面的 EM 算法中，就须要用到冀望的相干概念和性质。

7. 冀望（Expectation）

在概率论和统计学中，数学冀望是试验中每次可能后果的概率乘以其后果的总和。冀望是最根本的数学特色之一，反映随机变量平均值的大小。

假如 \(X \)是一个离散型随机变量，其可能的取值有

$$
\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}
$$

各取值对应的概率取值为 \(P\left(x_{k}\right) \)，\(k=1, 2, \ldots, n \)。其数学冀望被定义为：

$$E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} P\left(x_{k}\right)$$

假如 \(x \)是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x) \)，其数学冀望被定义为：

$$E(x)=\int_{-\boldsymbol{\omega}}^{+\boldsymbol{w}} x f(x) d x$$

8. 方差（Variance）

在概率论和统计学中，样本方差，是各个样本数据别离与其平均数之差的平方和的平均数。方差用来掂量随机变量与其数学冀望之间的偏离水平。

离散型 ：（\(\mu \) 示意冀望）

$$D(X)=\sum_{k=1}^{n} \left(x_{k}-\mu\right)^{2}$$

一个疾速计算方差的公式（即平方的冀望减去冀望的平方）：

$$D(X)=E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$$

连续型 ：（\(\mu \) 示意冀望）

$$
D(x)=\int(x-\mu)^{2} f(x) dx
$$

9. 协方差（Covariance）

在概率论和统计学中，协方差被用于掂量两个随机变量 \(X \)和 \(Y \)之间的总体误差。期望值别离为 \(E[X] \)与 \(E[Y] \)的两个实随机变量 \(X \)与 \(Y \)之间的协方差为：

$$
Cov(X,Y) =E {[X-E(X)][Y-E(Y)] } =E(XY)-E(X)E(Y)
$$

以下是几个罕用等式：
\(Cov(X, Y)=Cov(Y, X) \)
\(Cov(X, X)=D(X) \)
\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y) \)
\(Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y) \)

10. 相关系数（Correlation coefficient）

相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，用以钻研变量之间线性相关水平。相关系数有多种定义形式，较为罕用的是皮尔逊相关系数。从协方差中会失去引申，就是关联系数，即：（\(\sigma \)是标准差）

$$
\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma _{x} \sigma _{y}}
$$

这个公式还有另外的一个表达形式：

$$
\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}
$$

11. 常见散布函数

1）伯努利散布（Bernoulli Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，伯努利散布也叫 0 - 1 散布，是单个二值型离散随机变量的散布。

• 概率分布函数：\(P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k} \)
• 冀望：\(E(X)=p \)
• 方差：\(D(X)=p(1-p) \)

2）几何散布（Geometric Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，几何散布是离散型概率分布，数学符号为 \(X\sim G(p) \)。其定义为：在 \(n \)次伯努利试验中，试验 \(k \)次才失去第一次胜利的机率（即前 \(k-1 \)次皆失败，第 \(k \)次胜利的概率）

• 概率分布函数：\(P(X=k)=(1-p)^{k-1} p \)
• 冀望：\(E(X)=\frac{1}{p} \)
• 方差：\(D(X)=\frac{1-p}{p^{2}} \)

3）二项分布（Binomial Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，二项分布即反复 \(n \)次伯努利试验，各次试验之间都互相独立，并且每次试验中只有两种可能的后果，而且这两种后果产生与否互相对抗，数学符号为 \(X∼B(n,p) \)。

如果每次试验时，事件产生的概率为 \(p \)，不产生的概率为 \(1-p \)，则 \(n \)次反复独立试验中产生 \(k \)次的概率为：\(P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \)

• 冀望：\(E(X)=n p \)
• 方差：\(D(X)=n p(1-p) \)

4）泊松散布（Poisson Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，泊松散布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，用于形容某段时间内事件具体的产生概率，数学符号为 \(X∼\pi \left ( \lambda \right) \)。

泊松散布的参数 \(\lambda \)示意单位工夫 (或单位面积) 内随机事件的均匀产生次数，其概率分布函数为：\(P(X=k)=\frac{(\lambda)^{k} e^{-\lambda}}{k !} \)

• 冀望：\(E(X)=\lambda \)
• 方差：\(D(X) = \lambda \)

例如，某医院均匀每小时出世 2.5 个婴儿（λ=2.5），那么接下来一个小时，会出世几个婴儿？

• 没有婴儿出世（\(k=0 \)）的概率为：\(P(X=0)=\frac{(2.5)^{0} \cdot e^{-2.5}}{0 !} \approx 0.082 \)
• 有 1 个婴儿出世（\(k=1 \)）的概率为：\(P(X=1)=\frac{(2.5)^{1} \cdot e^{-2.5}}{1 !} \approx 0.205 \)
• 有 2 个婴儿出世（\(k=2 \)）的概率为：\(P(X=2)=\frac{(2.5)^{2} \cdot e^{-2.5}}{2 !} \approx 0.257 \)

通常，柏松散布也叫期待概率，是一种比二项分布利用场景更为丰盛的概率模型，在数控、电商优化中也常常能见到它的影子。

5）正态分布（Normal Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，正态分布又叫高斯分布（Gaussian Distribution），其曲线呈钟型，中间低，两头高，左右对称因其曲线呈钟形。数学符号为 \(X∼N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \)。

若随机变量 \(X \)遵从一个数学冀望为 \(\mu \)、方差为 \(\sigma^{2} \)的正态分布，其概率分布函数：\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \)

• 冀望：\(E(X)=\mu \)
• 方差：\(D(X)=\sigma^{2} \)

6）均匀分布（Uniform Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形散布，它是对称概率分布，在雷同长度距离的散布概率是等可能的。

均匀分布由两个参数 \(a \)和 \(b \)定义，数学符号为 \(X∼U (a, b) \)（其中，\(a \)为数轴上较小值，\(b \)为数轴上较大值）。

其概率分布函数：\(f(x)=\frac{1}{b-a} , a<x<b \)

• 冀望：\(E(X)=\frac{a+b}{2} \)
• 方差：\(D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12} \)

7）指数分布（Exponential Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，指数分布与其余散布的最大不同之处在于，随机变量 \(X \)指的是不同独立事件产生的工夫距离值，工夫越长事件产生的概率指数型增大(减小)，数学符号为 \(X∼E(\lambda) \)。

指数分布的参数 \(\lambda \)示意单位工夫 (或单位面积) 内随机事件的均匀产生次数，其概率分布函数为：\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0 \)

• 冀望：\(E(X)=\frac{1}{\lambda} \)
• 方差：\(D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}} \)

在咱们日常的生产畛域，通常的目标是求出在某个工夫区间内，会产生随机事件的概率有多大。如：银行窗口服务、交通管理、火车票售票零碎、消费市场钻研报告中被宽泛使用。

例如：某医院均匀每小时出世 2.5 个婴儿（λ=2.5）。如果到下一个婴儿出世须要的间隔时间为 t (即工夫 t 内没有任何婴儿出世）。

• 距离 15 分钟（\(X=\frac{1}{4} \)）后才有婴儿出世的概率为：\(f(\frac{1}{4}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.9197 \)
• 距离 30 分钟（\(X=\frac{1}{2} \)）后才有婴儿出世的概率为：\(f(\frac{1}{2}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.7163 \)

一些总结：

12. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）

在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和 KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最罕用的办法。

在机器学习的过程中，咱们常常遇到在有限度的状况下，最大化表达式的问题。如：
\(maxf(x,y）s.t. \quad g(x,y)=0 \)

此时咱们能够结构 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y) − \lambda \left (g(x,y) -c \right ) \)，其中 \(\lambda \)称为拉格朗日乘子。接下来要对拉格朗日函数 \(L(x,y,\lambda) \)求导，令其为 0，解方程即可。

以下是图文解释：

红线标出的是束缚 \(g(x,y)=c \)的点的轨迹。蓝线是 \(f(x,y) \)的等高线。箭头示意斜率，和等高线的法线平行，从梯度的方向上来看显然有 \(d_{1}>d_{2} \)。

红色的线是束缚。如果没有这条束缚，\(f(x,y) \)的最小值应该会落在最小那圈等高线外部的某一点上。当初加上了束缚，正好落在这条红线上的点才可能是满足要求的点。也就是说，应该是在 \(f(x,y) \)的等高线正好和束缚线 \(g(x,y) \)相切的地位。

对束缚也求梯度 \(\nabla g(x,y) \)（如图中红色箭头所示），能够看出要想让指标函数 \(f(x,y) \)的等高线和束缚相切 \(g(x,y) \)，则他们切点的梯度肯定在一条直线上。也即在最优化解的时候 \(\nabla f(x,y)=λ \nabla g(x,y)-C \)，即 \(\nabla [f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ≠0 \)。

那么拉格朗日函数 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y) − \lambda \left (g(x,y) -c \right ) \)在达到极值时与 \(f(x,y) \)相等，因为 \(F(x,y) \)达到极值时 \(g(x,y)−c \)总等于零。

简略的说，\(L(x,y,λ) \)获得最优化解的时候，也就是 \(L(x,y,λ) \)取极值的时候。此时 \(L(x,y,λ) \)的导数为 0，即 \(\nabla L(x,y,\lambda)=\nabla \left [f(x,y) − \lambda \left (g(x,y) -c \right ) \right ] =0 \)，能够得出 \(f(x,y) \)与 \(g(x,y) \)梯度共线，此时就是在条件束缚 \(g(x,y) \)下，\(f(x,y) \)的最优化解。

在反对向量机模型（SVM）的推导中，很要害的一步就是利用拉格朗日对偶性，将原问题转化为对偶问题。

13. 最大似然预计（Maximum Likelihood Estimate）

最大略似预计（MLE）是一种粗略的数学冀望，指在模型已定、参数 \(\theta \)未知的状况下，通过观测数据预计未知参数 \(\theta \)的一种思维或办法。

最大似然预计的哲学外延就是：咱们对某个事件产生的概率未知，但咱们做了一些试验，有过一些对这个事件的经验(教训)，那么咱们认为，这个事件的概率应该是可能与咱们做的试验后果最吻合。当然，前提是咱们做的试验次数该当足够多。

举个例子，假如咱们要统计全国人口的身高。首先假如这个身高遵从遵从正态分布，然而该散布的均值。咱们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，然而能够通过采样，获取局部人的身高，而后通过最大似然预计来获取上述假如中的正态分布的均值。

最大似然函数的求解思维 是：给定样本取值后，该样本最有可能来自参数 \(\theta \)为何值的总体。即：寻找 \(\bar{\theta}_{M LE} \)使得观测到样本数据的可能性最大。
最大似然函数估计值的个别求解步骤是：

• 写出似然函数

  $$
  L\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)=\left\{\begin{array}{l}
  \prod_{i=1}^{n} p\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \\
  \prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)
  \end{array}\right.
  $$

• 对似然函数取对数
• 两边同时求导数
• 令导数为 0 解出似然方程

在机器学习中也会常常见到极大似然的影子。比方前面的逻辑斯特回归模型（LR），其外围就是结构对数损失函数后使用极大似然预计。

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