关于数学:21根灵感棒的组合分析

1、准备常识

如上图所示依据灵感棒的长短对灵感棒进行编号。

• 盒中共有 3 层，每层有 3 个仓位，一共有 9 个仓位。
• 如果一个仓位满了，咱们称为 满仓位 ；如果一个仓位不满(大概残余一个圆柱的直径)，咱们称为 半仓位。
• 咱们称 1、2 和 3 号位 为长棒，残余为短棒。9 个仓位中至多有一根长棒。

Remark： 半仓位 + 半仓位 ≠ 满仓位 。 半仓位 并不是残余一半仓位的意思，而是大概残余一个圆柱的直径那个长的间隔。

2、次要内容

固定搭配

• 3 根 1 号位 有 2 种搭配。 1 号位 + 6 号位= 半仓位、 1 号位+ 7 号位+ 8 号位= 满仓位。因为 7 号位 只有一根，所以至多会有 2 根 1 号位 别离和两根 6 号位 组合，因而盒中至多会有两个半仓位。
• 4 根 2 号位 有 3 种搭配。 2 号位 + 4 号位= 满仓位、 2 号位+ 5 号位= 半仓位、 2 号位+ 8 号位×2= 半仓位、 2 号位+ 6 号位+ 8 号位= 满仓位。因为 4 号位 只会和 2 号位 搭配，所以至多有 2 根 2 号位 别离和 2 根 4 号位 搭配。
• 4 根 3 号位 只有 1 种搭配。 3 号位 + 3 号位= 满仓位。4 根 3 号位 占据两个满仓位，那么 3 根 1 号位、4 根 2 号位 再加上占据两个满仓位的 3 号位 刚好为 9 个仓位(3+4+2)。
• 2 根 4 号位 只有 1 种搭配。 2 号位+ 4 号位= 满仓位。
• 2 根 5 号位 有 1 种搭配或用于填充 3 个 半仓位 。 2 号位+ 5 号位= 半仓位。用于填充 半仓位 时有两种形式：竖着或横着，因为 5 号位 的长度大概等于 3 个圆柱的直径，因而刚好能够竖在或横在盒子里。
• 3 根 6 号位 有 2 种搭配。 1 号位 + 6 号位= 半仓位、 2 号位+ 6 号位+ 8 号位= 满仓位。依据上诉剖析，肯定会有两根 6 号位 别离和 2 根 1 号位 组合，所以只剩下 1 根 6 号位 可自在搭配。
• 1 根 7 号位 有 1 种搭配或用于填充 2 个 半仓位 。 1 号位+ 7 号位+ 8 号位= 满仓位。用于填充 半仓位 时有两种形式：竖着或横着，因为 7 号位 的长度大概等于 2 个圆柱的直径，因而能够竖在或横在盒子里（不是刚好，因而会留下一个半仓位的空间）。
• 2 根 8 号位 有 3 种搭配或用于填充 3 个 半仓位 。 1 号位+ 7 号位+ 8 号位= 满仓位、 2 号位+ 6 号位+ 8 号位= 满仓位、 2 号位+ 8 号位×2= 半仓位。用于填充 半仓位 时 2 根 8 号位 必须是搭配着，且有两种形式：竖着或横着，因为 2 根 8 号位 的长度大概等于 3 个圆柱的直径，因而刚好能够竖在或横在盒子里，所以如果 8 号位 去填充仓位时，必须两根都用上。因而能够看作： 8 号位+ 8 号位= 5 号位。

组合分析

根据上诉剖析，咱们能够整顿出一些没法自在搭配的组合：

1. ( 1 号位 + 6 号位)×2= 半仓位×2。有 4 根 3 号位 共占据 2 个满仓位。
2. ( 2 号位 + 4 号位)×2= 满仓位×2。有 2 根 2 号位 共占据 2 个满仓位。
3. ( 3 号位 + 3 号位)×2= 满仓位×2。有 4 根 3 号位 共占据 2 个满仓位。

则残余的灵感棒： 1 号位 ×1、 2 号位×2、 5 号位×2、 6 号位×1、 7 号位×1、 8 号位×2。
残余的仓位：空仓位 ×3、 半仓位×2。

接下来的问题就是如何应用残余的灵感棒填充残余的仓位了。因为可填充仓位的只有 5 号位、 7 号位 和 8 号位 ，其中 5 号位 和 8 号位 可填充 3 个 半仓位 ， 7 号位 可填充 2 个 半仓位 。因为只残余 3 个 空仓位 ，即便全副变为 半仓位 ， 半仓位 的数量最多就 5 个，因为可填充 2 个 半仓位 的 7 号位 只有 1 根，所以 半仓位 的数量不可能为 4 个。综上所述 半仓位 的数量只能为 3 个或 5 个。

状况 1：半仓位 为 3 个

残余的 3 个 空仓位 调配为：2 个满仓位和 1 个半仓位，则残余的仓位安顿为：满仓位 ×2、 半仓位×3。依据残余的 1 个半仓位的安顿状况可分为如下几种状况：

• 如果残余的 1 个半仓位由 1 号位 提供，可搭配的组合为： 1 号位 + 6 号位= 半仓位，则残余的 7 号位 没有可搭配的组合。不可行！
• 如果残余的 1 个半仓位由 2 号位 提供，可搭配的组合为： 2 号位 + 5 号位= 半仓位，残余的灵感棒： 1 号位×1、 2 号位×1、 5 号位×1、 6 号位×1、 7 号位×1、 8 号位×2。3 个半仓位填充计划有 2 个，1. 由 1 根 5 号位 填充。残余的灵感棒： 1 号位 ×1、 2 号位×1、 6 号位×1、 7 号位×1、 8 号位×2。两个满仓位的搭配计划： 1 号位+ 7 号位+ 8 号位= 满仓位、 2 号位+ 6 号位+ 8 号位= 满仓位。可行！2. 由 2 根 8 号位 填充。残余的灵感棒： 1 号位 ×1、 2 号位×1、 5 号位×1、 6 号位×1、 7 号位×1。此时不满足 半仓位 为 3 个的条件。不可行！

状况 2：半仓位 为 5 个

残余的 3 个 空仓位 调配为：3 个半仓位，则残余的仓位安顿为：半仓位 ×5。此时 1 个 1 号位 和 2 个 2 号位 都提供半仓位，所以 1 号位 的搭配就能够固定下来： 1 号位 + 6 号位= 半仓位。残余的灵感棒： 2 号位×2、 5 号位×2、 7 号位×1、 8 号位×2。 2 号位 的半仓位提供状况可分为以下 2 种：

1. 2 号位 + 5 号位= 半仓位。残余的灵感棒： 7 号位×1、 8 号位×2。1 个 7 号位 和 2 个 8 号位 刚好填充 5 个半仓位。可行！
2. 2 号位 + 8 号位×2= 半仓位和 2 号位+ 5 号位= 半仓位。残余的灵感棒： 5 号位×1、 7 号位×1。1 个 5 号位 和 1 个 7 号位 刚好填充 5 个半仓位。可行！

3、总结

综上所述搭配计划共有如下几种：

1. ( 1 号位 + 6 号位)×2= 半仓位×2、( 2 号位+ 4 号位)×2= 满仓位×2、( 3 号位+ 3 号位)×2= 满仓位×2、 1 号位+ 7 号位+ 8 号位= 满仓位、 2 号位+ 6 号位+ 8 号位= 满仓位、 2 号位+ 5 号位= 半仓位，残余 3 个半仓位由 5 号位 填充。组合形式：\(C_6^1C_3^1C_6^2C_4^2C_2^1=3240 \)种。
2. ( 1 号位 + 6 号位)×3= 半仓位×2、( 2 号位+ 4 号位)×2= 满仓位×2、( 3 号位+ 3 号位)×2= 满仓位×2、( 2 号位+ 5 号位)×3= 半仓位×3，残余 5 个半仓位由 1 个 7 号位 和 2 个 8 号位 填充。组合形式：\(C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。
3. ( 1 号位 + 6 号位)×3= 半仓位×3、( 2 号位+ 4 号位)×2= 满仓位×2、( 3 号位+ 3 号位)×2= 满仓位×2、 2 号位+ 8 号位×2= 半仓位、 2 号位+ 5 号位= 半仓位，残余 5 个半仓位由 1 个 5 号位 和 1 个 7 号位 填充。组合形式：\(C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。

总计共有 6600 种排列形式。