对无限笼罩引理的一些了解

定理形容

无限笼罩原理又称为博雷尔 - 勒贝格原理 ¹, 在卓里奇的 << 数学分析 >> 中是这样形容的:

在笼罩一个闭区间的任何开区间族中都有笼罩该闭区间的无限子族. ¹

在菲赫金哥茨的 << 微积分学教程 >> 中是这样形容的:

在闭区间 $[a, b]$ 被一个开区间的无穷系 $\Sigma = \{\sigma\}$ 所笼罩, 则恒能从 $\Sigma$ 里选出无限的子系 $\Sigma^* = \{\sigma_1, \sigma_2,\dots, \sigma_n\}$ 它同样能笼罩全区间. ²

证实办法

我所知的对这个定理进行的证实办法有两个.(请原谅我的见多识广)

证法一:

前提: $X_k\,(k \in Z)$ 是一开区间, 现有有限个开区间的汇合 $S = \{X_k\}$, 并集 $P = {\displaystyle \cup \atop {X_k \in S}} {X_k}$ 笼罩闭区间 $[a, b]$.

1. 现假如存在一个区域 $({a}^{‘}, \, {b}^{‘})$ , 无论都无奈从 $S$ 中选出无限的 $X$ 集 $U$ 齐全笼罩此区域.
2. 既然 $({a}^{‘}, \, {b}^{‘})$ 没有被齐全笼罩, 那么其中定然存在一个更小的区域 ${({a}^{”}, \, {b}^{”})} \subset {({a}^{‘}, \, {b}^{‘})}$ , 即 $({a}^{”}, \, {b}^{”})$ 中所有的点都不被无限的 $X$ 笼罩. 假如 $\lambda \in {({a}^{“}, \, {b}^{“})}$ , 那么 $\lambda$ 必然也没有被笼罩.
3. 然而依据条件, 存在确定的 $p\,\,(p \in Z)$ 使 $\lambda \in X_p$ 成立, 将 $X_p$ 退出到选出的无限汇合 $U$ 中, $U$ 还是无限的, 而 $\lambda$ 被笼罩了, 与假如矛盾.

证法二:

前提: $X_k\,(k \in Z)$ 是一开区间, 现有有限个开区间的汇合 $S = \{X_k\}$, 并集 $P = {\displaystyle \cup \atop {X_k \in S}} {X_k}$ 笼罩闭区间 $[a, b]$.

1. 能够必定 $[a, b]$ 中存在一个蕴含 $a$ 的闭区间能够被无限的 $X$ 汇合笼罩, 假如 $x^*$ 是这个区间的最大值, 即 $[a, x^*] \,\, ([a, x^*] \subset [a, b])$ 被无限的 $X$ 汇合, 且 $x^* \leq b$.
2. 因为 $x^* \in X_k$, 且 $X_k$ 是开区间, 那么存在 $\epsilon > 0$ 使 $(x + \epsilon) \in X_k$ 成立, 简略的说就是肯定还存在 $x^{‘} > x^*, x^{‘} \in X_k$. 因而 $x^* = b$

困惑

尽管以上两个证实过程看起来都很简略, 然而我最后还是很难了解这里边的情理, 次要疑难有以下几个:

1. 证法一中的第 3 步, 尽管在无限集 $U$ 中退出新的 $X_k$ 后, 可将未被蕴含的点 $\lambda$ 也退出进来, 可是如何了解只须要再减少无限个 $X_k$ 就能笼罩结束所有的剩下的其余相似的肯能是有限多的 $\lambda$ 点.
2. 证法二中的第 2 步, 表明 $\exists x \in X_k , x \in (a, b) \Rightarrow \exists x^{‘}, x^{‘} > x, x^{‘} \in (a, b), x^{‘} \in X_k$, 这个能够了解为一种相似 ” 传递性 ” 的成果. 可是这个 ” 传递性 ” 如何体现出 ” 无限 ” 性呢? 算句话说通过一个 $x \,\, (x < b)$ 能够推导出 $b$ 也被笼罩, 可是如何了解 $x$ 与 $b$ 之间只差了无限个 $X_k$ , 为什么不是有限个 $X$ ?
3. 为什么被笼罩区域要求是闭区间, 而笼罩区域是开区间, 否则该定理不肯定成立呢? (这一点很多书籍的作者会强调)

本人的一些了解

以上困惑始终困扰者我, 尤其是前两点. 认真思考, 其实我的次要困惑就是一个, 在这个定理中, 有限 跨向 无限 的桥梁到底是如何建设的?

为了弄清楚定理背地的 情理, 我从新对定理进行思考, 为了便于前面的叙述, 我采纳 << 微积分学教程 >> 中对于该定理的形容:

在闭区间 $[a, b]$ 被一个开区间的无穷系 $\Sigma = \{\sigma_k\} \, (k = 1, 2, 3, \dots)$ 所笼罩, 则恒能从 $\Sigma$ 里选出无限的子系 $\Sigma^* = \{\sigma_{k_1^{‘}}, \sigma_{k_2^{‘}},\dots, \sigma_{k_n^{‘}}\}$ 它同样能笼罩全区间.

其中的每个 $\sigma_k \, (k \in Z)$ 其实也可视为一个 邻域 , 假如 $\sigma_k = (a_k, b_k)$, 令其中心点为 $c_k = \dfrac{(a_k + b_k)}{2}$;
再令其半径为 $\epsilon_k = \dfrac{b_k – a_k}{2}$, 那么邻域也可示意为 $\sigma_k = (c_k – \epsilon_k, \, c_k + \epsilon_k)$.

[思考 1] 一个开区间笼罩一个闭区间和多个开区间合起来笼罩一个闭区间意味着什么?

如果 $[a, b] \subset (a^{‘}, b^{‘})$ 那么 $a^{‘} < a \,\wedge \, b^{‘} > b$.

假如有两个开区间 $\sigma_1 = [a_1, b_1], \, \sigma_2 = [a_2, b_2], \, a_2 > a_1, \, b_2 > b_1$, 如果这两个开区间都无奈独自笼罩闭区间 $[a, b]$, 但合起来却能够, 则 $a_1 < a, \, b_2 > b$ 且 $\sigma_1 \cap \sigma_2 \neq \varnothing \, (b_1 > a_2)$.

总结: 如果多个开区间须要合起来能力笼罩一个闭区间, 那么对于每个开区间都有其余开区间与之相交, 以防止出现 ” 缝隙 ”, 且这些开区间合并后还是开区间; 必须被笼罩的闭区间的终点被蕴含在某个开区间中, 起点亦是如此, 即在合并后的开区间中存在有数的 $a^{*} \, (a^{*} < a)$ 和 $b^{*} \, (b^{*} > b)$.

[思考 2] 定理不太好了解, 那么能不能减少一些条件让定理变得更不言而喻一些?

试着给邻域核心间隔加上最小值的限度, 定理仿佛就比拟好了解了.
假如任意不同的邻域的中点的间隔 $|c_k – c_{k^{‘}}|$ 有非零最小值 $d_{min}$, 则任意邻域的半径最小值必须满足 $\epsilon_{min} > \dfrac{d_{min}}{2}$ .
用以下方法能够选出不超过 $\dfrac{(a + b)}{d_{min}} + 2$ 个 $\sigma_k$ 组成的区域就能够笼罩整个 $[a, b]$:

先做一个不便的假如, 如果 $k < k^{‘}$ 那么 $c_k < c_{k^{‘}}$, 即下标越大的邻域 $\sigma_k$ 的中心点越大. 下边咱们来选出咱们须要的 $\sigma$ 并一直的退出 $\Sigma^*$:

步骤 1 往 $\Sigma^*$ 中退出一个蕴含 $a$ 点的邻域 $\sigma_r$ , 此时 $\Sigma^* = \{\sigma_r\}$. 如果 $b \in \sigma_r$, 则完结这个过程, 否则进行步骤二.

步骤 2 在所有 $\sigma_k \ (k > r)$ 中选出与 $\sigma_r$ 相交 (依据[思考 1] 的论断, 这样的开区间是存在的), 且 $c_k – c_r$ 最大的邻域, 假如为 $\sigma_t$, 则把 $\sigma_t$ 退出 $\Sigma^*$ 中, 此时 $\Sigma^* = \{\sigma_r, \sigma_t\}$ . 如果 $b \in \sigma_p, \sigma_p \in \Sigma^{*}$ 成立(即 $b$ 被选出的区间蕴含), 则完结抉择过程, 否则以最新退出的区域为根底, 重复本步骤.

这样选出的邻域个数不会超过 $\dfrac{(a + b)}{d_{min}} + 2$ 个.

[思考 3] 在 [思考 2] 的根底上想想去掉限度条件, 如何让定理成立?

当初思考将 “ 任意不同的邻域的中点的间隔 $|c_k – c_{k^{‘}}|$ 有非零最小值 $d_{min}$” 这个条件去掉, 为了不便, 咱们假如 $k \to \infty$ 时, $d_k = |c_{k} – c_{k-1}| \to 0$.

剖析这样一个例子, 设邻域 $\sigma_k$ 的核心 $c_k = – \dfrac{1}{k} ,\, (k = 1, 2, 3, \dots)$ , 这样的邻域如何能齐全笼罩闭区间 $[-1, 0]$ 呢?

1. 咱们首先思考如果 $\sigma_1$ 的半径足够大的状况.

例如设 $\epsilon_1 = 2$, 那么 $\sigma_1 = (-3, 1)$ 已齐全笼罩 $[-1, 0]$ , 可见如果邻域半径足够大, 那么必有无限的邻域可笼罩闭区间, 条件是存在 $p, q \in Z$, 使 $ c_p – \epsilon_p < a, c_q + \epsilon_q > b $ 成立. 定理成立.

2. 思考 $k \to \infty$ 时, $\epsilon_k \to 0$ 的状况.

首先 $\Sigma$ 不能在 $[a, b]$ 内有 ” 缝隙 ”, 因为 $c_{k+1} – c_k = \dfrac{1}{k(k+1)}$ , 无妨可设 $\epsilon_k = \dfrac{1}{k(k+1)} \Rightarrow \epsilon_k + \epsilon_{k+1} > c_{k+1} – c_k$, 如此就有 $\sigma_k \cap \sigma_{k+1} \neq \varnothing$ 保障了 $\Sigma$ 外部不会有 ” 缝隙 ”.
由上可得:
$$\sigma_k = (-\dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k(k+1)}, \, -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k(k+1)}) = (-\dfrac{k+2}{k(k+1)}, \, -\dfrac{1}{k+1})$$
$$\{\sigma_k\} = \{(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}), \, (-\dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}), \, (-\dfrac{5}{12}, -\dfrac{1}{4}), \dots \}$$ 能够看出 $\Sigma$ 不可能蕴含 $b$ 点, 因为 $k \to \infty$ 时 $b_k = -\dfrac{1}{k+1} \to 0$, 无论如何 $b_k$ 不可能大于 $0$ , 无奈满足使定理成立的前提条件.
如果咱们给 $\epsilon_k$ 加上一个小小常数, 状况将变得不一样, 设 $\epsilon_k = \dfrac{1}{k(k+1)} + \lambda$ , $\lambda$ 是一大于 0 的常数. 依据蕴含 $b$ 点的条件:
$$-\dfrac{1}{k+1} + \lambda > 0 \Rightarrow k < {\dfrac{1}{\lambda} – 1}$$
例如如果 $\lambda = \dfrac{1}{10000}$, 那么 $\Sigma$ 的前 10000 个邻域组成的汇合 $\Sigma^* = \{\sigma_1, \sigma_2, \dots , \sigma_{10000}\}$ 可笼罩 $[-1, 0]$

至此能够总结一下, 如果无穷系 $\Sigma$ 可能蕴含 $b$ 点, 那么 $k \to \infty$ 时, 有
$$b \in \sigma_k = (c_k – \epsilon_k, c_k + \epsilon_k) \Rightarrow c_k + \epsilon_k > b$$
那么肯定存在一个确定的整数 $k^*$, 满足 $c_k + \epsilon_k > c_{k^*} + \epsilon_{k^*} > b$ , 或者这样说假如 $k \to \infty$ 时, $c_k + \epsilon_k \to B$ , 那么对于任意确定的值 $p < B$, 存在确定的 $k^{‘}$, 对所有 $k > k^{‘}$ 有 $c_k + \epsilon_k > p$, $b$ 能够看成 $p$ 的一个特例.
依据无限极限的数列的定理(这里只是为了不便了解, 而不是用数列极限实践来证实无限笼罩定理):

若整序变量 $x_n$ 趋于极限 $a$, 又 $a > p \,\, (a < q)$, 则所有变量的数值, 从某项起, 将有 $x_n > p \,\, (x_n < q)$ . ²

联合后面所述, 设有一数列:
$$\{x_k\} = \{c_k + \epsilon_k\}, 且 \displaystyle \lim_{k \to \infty} x_k = B\label{eq:test}\tag{1}$$
因为 $B > b$, 依据数列的定理, 从某一项起, 有 $x_k > b$, 因而无限笼罩定理成立.

[思考 4] 为什么定理中规定用开区间去笼罩闭区间, 为什么不能用闭区间去笼罩闭区间?

如果 [思考 3] 的问题想通了, 这个问题天然就想通了. 如果 $[a, b] \subset [a^{‘}, b^{‘}] \Rightarrow a^{‘} \leq a \,\wedge \, b^{‘} \geq b$.
如果 $\Sigma$ 是闭区间的无穷系, 联合 $\eqref{eq:test}$ 式不能推导出 $B > b$, 因为有可能 $B = b$. 因为只有在 $k \to \infty$ 时才有 $x_k = b$, 因而无奈用无限的 $\sigma_k$ 去笼罩 $[a, b]$

参考

<div id=”refer-anchor-1″></div>
[1] B.A. 卓里奇: 数学分析(第一卷)(第七版). 李植译. 北京, 高等教育出版社

<div id=”refer-anchor-2″></div>
[2] Г. М. 菲赫金哥尔茨: 微积分学教程(第一卷)(第八版). 杨弢亮, 叶彦谦译. 北京: 高等教育出版社