关于数学:图解AI数学基础-线性代数与矩阵论

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作者：韩信子 @ShowMeAI
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一个标量就是一个独自的数。只具备数值大小，没有方向（局部有正负之分），运算遵循个别的代数法令。

个别用小写的变量名称示意。
品质 $m $、速率 $v $、工夫 $t $、电阻 $\rho $ 等物理量，都是数据标量。

向量指具备大小和方向的量，状态上看就是一列数。

通常赋予向量 粗体小写 的名称；手写体则在字母上加一个向右的箭头。
向量中的元素是有序排列的，通过索引能够确定每个元素。
以下两种形式，能够明确示意向量中的元素时（留神用方括号）。
能够把向量看作空间中的有向线段，向量的每个组成元素，对应向量在不同的坐标轴上的投影长度。

AI 中的利用：在机器学习中，单条数据样本的表征都是以向量化的模式来实现的。向量化的形式能够帮忙 AI 算法在迭代与计算过程中，以更高效的形式实现。

矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引确定。矩阵在机器学习中至关重要，无处不在。

通常会赋予矩阵粗体大写的变量名称。

AI 中的利用 ：样本以矩阵状态示意：$m $ 条数据 / 样本，$n $个特色的数据集，就是一个 $m \times n $的矩阵。

几何代数中定义的张量，是基于向量和矩阵的推广。

标量，能够视为零阶张量
向量，能够视为一阶张量
矩阵，能够视为二阶张量

图片以矩阵状态示意：将一张彩色图片示意成一个 $H \times W \times C $的三阶张量，其中 $H $是高，$W $是宽，$C $通常取 3，示意黑白图 3 个色彩通道。
在这个例子的根底上，将这一定义持续扩大，即：用四阶张量（样本，高度，宽度，通道）示意一个蕴含多张图片的数据集，其中，样本示意图片在数据集中的编号。
用五阶张量（样本，帧速，高度，宽度，通道）示意视频。

AI 中的利用：张量是深度学习中一个十分重要的概念，大部分的数据和权重都是以张量的状态存储的，后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。

范数是一种强化了的间隔概念；简略来说，能够把『范数』了解为『间隔』。

在数学上，范数包含『向量范数』和『矩阵范数』：

向量范数（Vector Norm），表征向量空间中向量的大小。向量空间中的向量都是有大小的，这个大小就是用范数来度量。不同的范数都能够来度量这个大小，就好比米和尺都能够来度量远近一样。
矩阵范数（Matrix Norm），表征矩阵引起变动的大小。比方，通过运算 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B} $，能够将向量 $\boldsymbol{X} $变动为 $\boldsymbol{B} $，矩阵范数就能够度量这个变动的大小。

向量范数的计算：

对于 $\mathrm{p} – $范数，如果 $\boldsymbol{x}=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{\mathrm{T}} $，那么向量 $\boldsymbol{x} $的 $\mathrm{p} – $范数就是 $|\boldsymbol{x}|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} $。

L1 范数：$|| \boldsymbol{x}||_{1}=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\cdots+\left|x_{n}\right| $

$\mathrm{p} =1 $时，就是 L1 范数，是 $\boldsymbol{x} $向量各个元素的绝对值之和。
L1 范数有很多的名字，例如咱们相熟的曼哈顿间隔、最小绝对误差等。

L2 范数：$|\boldsymbol{x}|_{2}=\left(\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\left|x_{3}\right|^{2}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{2}\right)^{1 / 2} $

$\mathrm{p} =2 $时，就是 L2 范数，是 $\boldsymbol{x} $向量各个元素平方和的开方。
L2 范数是咱们最罕用的范数，欧氏间隔就是一种 L2 范数。

AI 中的利用 ：在机器学习中，L1 范数和 L2 范数很常见，比方『 评估准则的计算 』、『 损失函数中用于限度模型复杂度的正则化项』等。

将数学对象分解成多个组成部分，能够找到他们的一些属性，或者能更洼地了解他们。例如，整数能够合成为质因数，通过 $12=2 \times 3 \times 3 $能够失去『12 的倍数能够被 3 整除，或者 12 不能被 5 整除』。

特征向量 ：方阵 $\boldsymbol{A} $ 的特征向量，是指与 $\boldsymbol{A} $相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量，即 $\boldsymbol{A}\nu =\lambda \nu $。
特征值 ：标量 $\lambda $ 被称为这个特征向量对应的特征值。

应用特色合成去剖析矩阵 $\boldsymbol{A} $时，失去特征向量 $\nu $形成的矩阵 $\boldsymbol{Q} $和特征值形成的向量 $\boldsymbol{\Lambda} $，咱们能够从新将 $\boldsymbol{A} $写作：$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1} $

矩阵的特色合成是有前提条件的。只有可对角化的矩阵，才能够进行特色合成。理论很多矩阵不满足这一条件，这时候怎么办呢？

将矩阵 $\boldsymbol{A} $分解成三个矩阵的乘积 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{U} \boldsymbol{D} \boldsymbol{V}^{-1} $。

假如 $\boldsymbol{A} $是一个 $mn $矩阵，那么 $\boldsymbol{U} $是一个 $mm $矩阵，$D $是一个 $mn $矩阵，$V $是一个 $nn $矩阵。
$\boldsymbol{U} \boldsymbol{V} \boldsymbol{D} $这几个矩阵都领有非凡的构造：
- $\boldsymbol{U} $和 $\boldsymbol{V} $都是正交矩阵，矩阵 $\boldsymbol{U} $的列向量被称为左奇怪向量，矩阵 $\boldsymbol{V} $ 的列向量被称右奇怪向量。
- $\boldsymbol{D} $是对角矩阵（留神，$\boldsymbol{D} $不肯定是方阵）。对角矩阵 $\boldsymbol{D} $对角线上的元素被称为矩阵 $\boldsymbol{A} $的奇怪值。

AI 中的利用：SVD 最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。而且大家在举荐零碎中也会见到基于 SVD 的算法利用。

假如在上面问题中，咱们想通过矩阵 $\boldsymbol{A} $的左逆 $\boldsymbol{B} $来求解线性方程：$\boldsymbol{A} x=y $，等式两边同时左乘左逆 B 后，失去：$x=\boldsymbol{B} y $。是否存在惟一的映射将 $\boldsymbol{A} $映射到 $\boldsymbol{B} $，取决于问题的模式：

如果矩阵 $\boldsymbol{A} $的行数大于列数，那么上述方程可能没有解；
如果矩阵 $\boldsymbol{A} $的行数小于列数，那么上述方程可能有多个解。

Moore-Penrose 伪逆使咱们可能解决这种状况，矩阵 $\boldsymbol{A} $的伪逆定义为：

$$\boldsymbol{A}^{+}=\lim _{a \rightarrow 0}\left(\boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{A}+\alpha \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{A}^{T}$$

然而计算伪逆的理论算法没有基于这个式子，而是应用上面的公式：

$$
\boldsymbol{A}^{+}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{+} \boldsymbol{V}^{T}
$$

矩阵 $\boldsymbol{U} $、$\boldsymbol{D} $和 $\boldsymbol{V}^{T} $是矩阵 $\boldsymbol{A} $奇怪值合成后失去的矩阵；
对角矩阵 $\boldsymbol{D} $的伪逆 $\boldsymbol{D}^{+} $是其非零元素取倒之后再转置失去的。

在机器学习里，大部分运算都是基于向量的，一份数据集蕴含 n 个特色字段，那每一条样本就能够示意为 n 维的向量，通过计算两个样本对应向量之间的间隔值大小，有些场景下能反映出这两个样本的类似水平。还有一些算法，像 KNN 和 K -means，十分依赖间隔度量。

设有两个 $n $维变量：

$$A=[x_{11}, x_{12},…,x_{1n} ] ^{T}$$

$$B=[x_{21} ,x_{22} ,…,x_{2n} ] ^{T}$$

一些罕用的间隔公式定义如下：

曼哈顿间隔也称为城市街区间隔，数学定义如下：

$$d_{12} =\sum_{k=1}^{n}{| x_{1k}-x_{2k} | }$$

曼哈顿间隔的 Python 实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

manhaton_dist = np.sum(np.abs(vector1-vector2))
print("曼哈顿间隔为", manhaton_dist)

欧氏间隔其实就是 L2 范数，数学定义如下：

$$d_{12} =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{(x_{1k} -x_{2k} ) ^{2} } }$$

欧氏间隔的 Python 实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

eud_dist = np.sqrt(np.sum((vector1-vector2)**2))
print("欧式间隔为", eud_dist)

从严格意义上讲，闵可夫斯基间隔不是一种间隔，而是一组间隔的定义：

$$d_{12} =\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}{(x_{1k} -x_{2k} ) ^{p} } }$$

实际上，当 $p=1 $ 时，就是曼哈顿间隔；当 $p=2 $ 时，就是欧式间隔。

切比雪夫间隔就是无穷范数，数学表达式如下：

$$d_{12} =max(| x_{1k}-x_{2k} |)$$

切比雪夫间隔的 Python 实现如下：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cb_dist = np.max(np.abs(vector1-vector2))
print("切比雪夫间隔为", cb_dist)

余弦类似度的取值范畴为[-1,1]，能够用来掂量两个向量方向的差别：

夹角余弦越大，示意两个向量的夹角越小；
当两个向量的方向重合时，夹角余弦取最大值 1；
当两个向量的方向齐全相同时，夹角余弦取最小值 -1。

机器学习中用这一概念来掂量样本向量之间的差别，其数学表达式如下：

$$cos\theta =\frac{AB}{| A | |B |} =\frac{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}x_{2k} } }{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}^{2} } } \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{2k}^{2} } } }$$

夹角余弦的 Python 实现：

import numpy as np
vector1 = np.array([1,2,3])
vector2 = np.array([4,5,6])

cos_sim = np.dot(vector1, vector2)/(np.linalg.norm(vector1)*np.linalg.norm(vector2))
print("余弦类似度为", cos_sim)

汉明间隔定义的是两个字符串中不雷同位数的数目。例如，字符串‘1111’与‘1001’之间的汉明间隔为 2。信息编码中个别应使得编码间的汉明间隔尽可能的小。

$$d_{12} = \sum_{k=1}^{n} \left (x_{1k} \oplus x_{2k}\right )$$

汉明间隔的 Python 实现：

import numpy as np
a=np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0])
b=np.array([1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1])
hanm_dis = np.count_nonzero(a!=b)
print("汉明间隔为", hanm_dis)

两个汇合 \(A\( 和 \( B\( 的交加元素在 \( A\( 和 \( B\( 的并集中所占的比例称为两个汇合的杰卡德系数，用符号 \( J(A,B)\(示意，数学表达式为：

$$J(A,B) =\frac{| A\cap B|}{|A\cup B |}$$

杰卡德类似系数是掂量两个汇合的类似度的一种指标。个别能够将其用在掂量样本的类似度上。

与杰卡德系数相同的概念是杰卡德间隔，其定义式为：

$$J_{\sigma} =1-J(A,B) =\frac{| A\cup B | -| A\cap B |}{| A\cup B |}$$

杰卡德间隔的 Python 实现：

import numpy as np
vec1 = np.random.random(10)>0.5
vec2 = np.random.random(10)>0.5

vec1 = np.asarray(vec1, np.int32)
vec2 = np.asarray(vec2, np.int32)

up=np.double(np.bitwise_and((vec1 != vec2),np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0)).sum())
down=np.double(np.bitwise_or(vec1 != 0, vec2 != 0).sum())
jaccard_dis =1-(up/down)
print("杰卡德间隔为", jaccard_dis)

图解线性代数与矩阵论
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正文完

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发表至：数学

2022-02-24

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1. 标量（Scalar）

2. 向量（Vector）

3. 矩阵（Matrix）

4. 张量（Tensor）

5. 范数（Norm）

6. 特色合成（Eigen-decomposition）

7. 奇怪值合成（Singular Value Decomposition，SVD）

8.Moore-Penrose 狭义逆 / 伪逆（Moore-Penrose Pseudoinverse）

9. 罕用的间隔度量

1）曼哈顿间隔（Manhattan Distance）

2）欧氏间隔（Euclidean Distance）

3）闵氏间隔（Minkowski Distance）

4）切比雪夫间隔（Chebyshev Distance）

5）余弦类似度（Cosine Similarity）

6）汉明间隔（Hamming Distance）

7）杰卡德系数（Jaccard Index）

8）杰卡德间隔（Jaccard Distance）

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