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往年的收益是否真的与典型年份的预期不同？差别实际上与典型年份的预期不同吗？这些都是相当轻的、容易答复的问题。咱们能够应用均值相等或方差相等的测试。
然而上面这个问题呢。
往年的收益详情与个别年份的预期状况是否不同？
这是一个更加广泛和重要的问题，因为它包含所有的时刻和尾部行为。而且它的答案也不那么简略。
当我写完那篇文章后，我在想肯定有一种办法能够正式测验收益密度之间的差别，而不仅仅是量化、可视化和用眼睛看。的确有这样的办法。这篇文章的目标是展现如何正式测验密度之间的平等。
事实上，至多有两种办法能够测验两个密度或两个散布之间的平等。第一种是比拟经典的。这种测验被称为 Kolmogorov-Smirnov 测验。另一种是比拟古代的，应用 Permutation Test 置换测验（须要模仿）。咱们展现这两种办法。让咱们先拉出一些价格数据。
end<- format(Sy.D, "%Y-%m-%d")
l = lenh
da0 <- lay
Time <- index
ret <- as.numeric/as.numeric -1
tail(rt)
# 失去直到 2018 年的指数。# 咱们随后将 2018 年与其余年份进行比拟
tid<- which(index)# 每日收益的平均值和 SD（2018 年除外）> mean(100*rt\[1:pd\])
> SD(100*retd\[1:tid\])
> # 2008 年（到目前为止）每日回报的平均值和 SD 值
> mean(100*rtd\[-c(1:tpd)\])
> SD(100*red\[-c(1:mid)\])
咱们能够看到，2018 年每日收益的均值和标准差与其余的均值和标准差略有不同。这是预计密度的样子：
Kolmogorov-Smirnov 测验
咱们能够做的是计算每个密度的累积散布函数 。2018 年的那个和不包含 2018 年的那个。说 散布是针对 2018 年的，散布是针对其余的。咱们计算每个 X 的差别。咱们晓得这些（相对）差别的最大值是如何散布的，所以咱们能够用这个最大值作为测试统计量，如果它在尾部的散布太远，咱们就认为这两个散布是不同的。从模式上看。
介于 0 和 1 之间（通过结构，因为咱们减去两个概率并取绝对值）。 是一个 Brownian bridge.（最大）差别具备已知散布。这是一个极限散布，所以咱们须要大量的观测值 n 能力对这个测验有信念。
Kolmogorov-Smirnov 测试 – R 代码
让咱们将 2018 年的每日收益与其余收益进行比拟，看看基于 Kolmogorov-Smirnov 测验的散布是否雷同：
# Kolmogorov-Smirnov 测试 ####
ks.test
咱们看到，最大值是 0.067，依据极限散布，P 值是 0.3891。所以没有证据表明 2018 年的散布与其余的散布有任何不同。
让咱们来看看置换测验。次要起因是，鉴于 Kolmogorov-Smirnov 测验是基于极限散布的，为了使其无效，咱们须要大量的察看后果。然而当初咱们不用像过来那样依赖渐进法，因为咱们能够应用计算机。
两个密度相等的置换测验 Permutation Test
直观地说，如果密度完全相同，咱们能够把它们放在一起，从 “ 捆绑数据 “ 中取样。在咱们的例子中，因为咱们把收益率汇集在一个向量中，对向量进行排列意味着 2018 年的每日收益率当初扩散在向量中，所以像下面的方程那样取一个差值，就像从一个无效假设中进行模仿：2018 年每日收益率的散布与其余的完全相同。当初，对于每个 x，咱们将有一个在原假如下的差别。咱们也有每个 x 的理论差别，来自咱们的察看数据。咱们当初能够将密度之间的理论差别（每个 x）平方（或取绝对值），并将其与咱们从 “ 数据 “ 生成的模仿后果进行比拟。通过观察理论差别落在模仿差别的哪个四分位数，能够预计出 p 值。如果理论数据远远超出了原假如下的散布范畴，那么咱们将回绝散布雷同的假如。
密度比拟置换测验 – R 代码
咱们来执行刚刚形容的操作。两个参数 boot 和grid 是您想要的模仿数量以及您在计算 x 时想要应用的网格点数 . 因而 ngrid=100。
# 咱们须要两组的索引，2018 年和其余的。id <- substr
tmnd <- i1 == 2018
sme
咱们能够看到 p 值与咱们应用 Kolmogorov-Smirnov 测验失去的值差异不大。这是它的样子：
等密度测验：p 值 = 0.326
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