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原文出处：拓端数据部落公众号
本文模仿了在间断和离散工夫布朗演变一些简略的办法。
布朗运动的数学模型（也称为随机游动）也能够用来形容许多景象以及渺小颗粒的随机静止，如股市的稳定和在化石中的物理个性的演变。
布朗运动是随机模式，即扭转了从一次到下一个是随机从正态分布绘制均值为 0.0，方差为 σ2×ΔT。换句话说，依据布朗运动的预期方差通过工夫与刹时差 σ2 线性减少。
股市模仿
首先，模仿股市一个实例为 100 的离散工夫布朗运动，其中，扩散过程的方差为 σ2=0.01。
## 首先模仿随机数
x <- rnorm(n = length(t) - 1, sd = sqrt(sig2))
## 计算累加和
x <- c(0, cumsum(x))画图
咱们得出各 t 的工夫距离的随机正偏离扭转; 而后在每个工夫距离，咱们计算累积总和。从而能够看出布朗运动的变动的散布是不变的，并且不依赖于工夫的状态。
1)
X <- cbind(rep(0, nsim), t(apply(X, 1, cumsum)))
plot(t, X[1,], xlab = "time", ylab = "phenotype", ylim = c(-2, 2), typ为了看到这后果如何取决于 σ2，咱们比拟除以 10 的 SIG2 的后果：
X <- matrix(rnorm(n = nsim * (length(t) - 1), sd = sqrt(sig2/10)), nsim,而后，咱们应用 for 循环：
e = "l")
for (i in 1:nsim) lines(t, X[i,])如上所述，依据布朗运动的预期方差只是 σ2。而后，我将应用模仿 10000 个雷同的条件下的后果，以“理顺”咱们的后果是：
v <- apply(X, 2, var)
plot(t, v, type = "l", xlab = "time", ylab = "variance among simulation物种进化
而后，咱们尝试用布朗运动模仿物种进化树状图。查看数据的变动状况：
t <- 100 # 总工夫
n <- 30 # 总分支
b <- (log(n) - log(2))/t当初，来模仿树，咱们只须要别离模仿在每个分支的所有分支，而后由最终状态“转向”每个子分支它的父节点。因为在每个工夫步布朗进化的后果是独立于其它所有工夫步长。
沿着每条边模仿进化
yy <- sapply(yy, function(x, y) y[[x]][length(y[[x]])], y = X)
text(x = max(H), y = yy, tree$tip.label)在事实中，布朗运动的大部分模仿应用间断的而不是离散的工夫进行。这是因为布朗运动意味着不同物种之间的协方差之间的预期差别。
对于布朗进化的一些其余特点：
在某些状况下，在树的不同局部的布朗进化有可能存在不同的速率。因而能够简略的模拟不同部门的不同的速率布朗运动。
tree <- sim.history(tree, Q, anc = "1")els = TRUE,
spread.cost = c(1, 0))上面模仿不同的树从而通过散点图证实雷同的父节点产生的树领有类似的协方差。
plot(tree, edge.width = 2, direction = "downwards")rplotMatrix(t(X))布朗运动不假设在其下个体谱系挪动的过程是高斯过程。其后果将遵从高斯分布 – 和核心极限定理。
t <- 0:100
sig2 <- 0.01
nsim <- 1000二项分布的布朗运动
咱们模仿二项分布的布朗运动 并查看方差是否和之前一样等于 1
apply(X[2:nsim,], 1, function(x, t) lines(t, x), t = t)布朗运动，个别认为是没有趋势; 然而它（在某些状况下）能够模仿一个模型的趋势。这里是一个模仿（应用如上述雷同的个别办法）趋势的一个例子。
X <- matrix(rnorm(mean = 0.02, n = nsim * (length(t) - 1), sd = sqrt(sig2/4)),
nsim, length(t) - 1)对于布朗运动的数学模型的简略模式的模式：S_T= eS_t-1 其中 e 是从概率分布绘制。因而，后续还有更多的利用值得进一步钻研。
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