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最近咱们被客户要求撰写对于 ARIMA-ARCH / GARCH 模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
工夫序列剖析是统计学中的一个次要分支，次要侧重于剖析数据集以钻研数据的特色并提取有意义的统计信息来预测序列的将来值
简介
时序剖析有两种办法，即频域和时域。前者次要基于傅立叶变换，而后者则钻研序列的自相干，并且应用 Box-Jenkins 和 ARCH / GARCH 办法进行序列的预测。
本文将提供应用时域办法对 R 环境中的金融工夫序列进行剖析和建模的过程。第一局部涵盖了安稳的工夫序列。第二局部为 ARIMA 和 ARCH / GARCH 建模提供了指南。接下来，它将钻研组合模型及其在建模和预测工夫序列方面的性能和有效性。最初，将对工夫序列分析方法进行总结。
工夫序列数据集的平稳性和差别：
1. 平稳性：
对工夫序列数据建模的第一步是将非安稳工夫序列转换为安稳工夫序列。这是很重要的，因为许多统计和计量经济学办法都基于此假如，并且只能利用于安稳工夫序列。非安稳工夫序列是不稳固且不可预测的，而安稳过程是均值回复的，即它围绕具备恒定方差的恒定均值稳定。此外，随机变量的平稳性和独立性密切相关，因为许多实用于独立随机变量的实践也实用于须要独立性的安稳工夫序列。这些办法大多数都假如随机变量是独立的（或不相干的）。噪声是独立的（或不相干的）；变量和噪声彼此独立（或不相干）。那么什么是安稳工夫序列？
粗略地说，安稳工夫序列没有长期趋势，均值和方差不变。更具体地说，平稳性有两种定义：弱平稳性和严格平稳性。
a. 平稳性弱：如果满足以下条件，则称工夫序列{Xt，t∈Z}（其中 Z 是整数集）是安稳的
b. 严格安稳：如果（Xt1，Xt2，…，Xtk）的联结散布与（Xt1 + h，Xt2 + h）的联结散布雷同，则工夫序列 {Xt. ……Xtk + h），t∈Z} 被认为是严格安稳的。
通常在统计文献中，平稳性是指安稳工夫序列满足三个条件的弱平稳性：恒定均值，恒定方差和自协方差函数仅取决于（ts）（不取决于 t 或 s）。另一方面，严格平稳性意味着工夫序列的概率分布不会随工夫变动。
例如，白噪声是安稳的，意味着随机变量是不相干的，不肯定是独立的。然而，严格的白噪声示意变量之间的独立性。另外，因为高斯分布的特色是前两个时刻，所以高斯白噪声是严格安稳的，因而，不相干也意味着随机变量的独立性。
在严格的白噪声中，噪声项 {et} 不能线性或非线性地预测。在个别的白噪声中，可能无奈线性预测，但可由稍后探讨的 ARCH / GARCH 模型非线性预测。有三点须要留神：
•严格的平稳性并不意味着平稳性弱，因为它不须要无限的方差
•平稳性并不意味着严格的平稳性，因为严格的平稳性要求概率分布不会随工夫变动
•严格安稳序列的非线性函数也严格安稳，不适用于弱安稳
2. 区别：
为了将非安稳序列转换为安稳序列，能够应用差分办法，从原始序列中减去该序列滞后 1 期：例如：
在金融工夫序列中，通常会对序列进行转换，而后执行差分。这是因为金融工夫序列通常会经验指数增长，因而对数转换能够使工夫序列平滑（线性化），而差分将有助于稳固工夫序列的方差。以下是苹果股票价格的示例：
•左上方的图表是苹果股票价格从 2007 年 1 月 1 日到 2012 年 7 月 24 日的原始工夫序列，显示出指数级增长。
•左下方的图表显示了苹果股票价格的差分。能够看出，该系列是价格相干的。换句话说，序列的方差随着原始序列的级别减少而减少，因而不是安稳的
•右上角显示 Apple 的 log 价格图。与原始序列相比，该序列更线性。
•右下方显示了苹果 log 价格的差分。该系列仿佛更具备均值回复性，并且方差是恒定的，并且不会随着原始系列级别的变动而显着变动。
要执行 R 中的差分，请执行以下步骤：
•读取 R 中的数据文件并将其存储在变量中
appl.close=appl$Adjclose #在原始文件中读取并存储收盘价•绘制原始股票价格
plot(ap.close,type='l')•与原始序列不同
diff.appl=diff(ap.close)•原始序列的差分序列图
plot(diff.appl,type='l')•获取原始序列的对数并绘制对数价格
log.appl=log(appl.close)•不同的 log 价格和图
difflog.appl=diff(log.appl)log 价格的差分代表收益，与股票价格的百分比变动类似。
ARIMA 模型：
模型辨认：
通过观察工夫序列的自相干建设并实现时域办法。因而，自相干和偏自相干是 ARIMA 模型的外围。BoxJenkins 办法提供了一种依据序列的自相干和偏自相干图来辨认 ARIMA 模型的办法。ARIMA 的参数由三局部组成：p（自回归参数），d（差分数）和 q（挪动均匀参数）。
辨认 ARIMA 模型有以下三个规定：
•如果滞后 n 后 ACF（自相干图）被切断，则 PACF（偏自相干图）隐没：ARIMA（0，d，n）确定 MA（q）
•如果 ACF 降落，则滞后 n 阶后 PACF 切断：ARIMA（n，d，0）, 辨认 AR（p）
•如果 ACF 和 PACF 生效：混合 ARIMA 模型，须要区别
留神，即便援用雷同的模型，ARIMA 中的差别数也用不同的形式书写。例如，原始序列的 ARIMA（1,1,0）能够写为差分序列的 ARIMA（1,0,0）。同样，有必要查看滞后 1 阶自相干为负（通常小于 -0.5）的过差分。差分过大会导致标准偏差减少。
以下是 Apple 工夫序列中的一个示例：
•左上方以对数苹果股票价格的 ACF 示意，显示 ACF 迟缓降落（而不是降落）。该模型可能须要差分。
•左下角是 Log Apple 的 PACF，示意滞后 1 处的有效值，而后 PACF 截止。因而，Log Apple 股票价格的模型可能是 ARIMA（1,0,0）
•右上方显示对数 Apple 的差分的 ACF，无显著滞后（不思考滞后 0）
•右下角是对数 Apple 差分的 PACF，无显著滞后。因而，差分对数 Apple 序列的模型是白噪声，原始模型相似于随机游走模型 ARIMA（0,1,0）
在拟合 ARIMA 模型中，简洁的思维很重要，在该模型中，模型应具备尽可能小的参数，但依然可能解释级数（p 和 q 应该小于或等于 2，或者参数总数应小于等于鉴于 Box-Jenkins 办法 3）。参数越多，可引入模型的噪声越大，因而标准差也越大。
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R 语言 ARMA-GARCH-COPULA 模型和金融工夫序列案例
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因而，当查看模型的 AICc 时，能够查看 p 和 q 为 2 或更小的模型。要在 R 中执行 ACF 和 PACF，以下代码：
•对数的 ACF 和 PACF
acf.appl=acf(log.appl)
pacf.appl=pacf(log.appl,main='PACF Apple',lag.max=100•差分对数的 ACF 和 PACF
acf.appl=acf(difflog.appl,main='ACF Diffe
pacf.appl=pacf(difflog.appl,main='PACF D除了 Box-Jenkins 办法外，AICc 还提供了另一种检查和辨认模型的办法。AICc 为赤池信息准则，能够通过以下公式计算：
AICC = N log（SS / N）+ 2（p + q + 1） N /（N – p – q – 2），如果模型中没有常数项
AICC = N log（SS / N）+ 2（p + q + 2） N /（N – p – q – 3），如果模型中为常数项
N：求异后的项目数（N = n – d）
SS：差平方和
p&q：自回归模型和挪动均匀模型的程序
依据这种办法，将抉择具备最低 AICc 的模型。在 R 中执行工夫序列剖析时，程序将提供 AICc 作为后果的一部分。然而，在其他软件中，可能须要通过计算平方和并遵循上述公式来手动计算数字。当应用不同的软件时，数字可能会略有不同。
Model AICc
0 1 0 -6493
1 1 0 -6491.02
0 1 1 -6493.02
1 1 1 -6489.01
0 1 2 -6492.84
1 1 2 -6488.89
2 1 0 -6491.1
2 1 1 -6489.14
2 1 2 -6501.86基于 AICc，咱们应该抉择 ARIMA（2,1,2）。这两种办法有时可能会得出不同的后果，因而，一旦取得所有预计，就必须检查和测试模型。以下是在 R 中执行 ARIMA 的代码：
summary(arima212)参数估计
要估算参数，请执行与先前所示雷同的代码。后果将提供模型每个元素的预计。应用 ARIMA（2,1,2）作为选定模型，后果如下：
Series: log.appl
ARIMA(2,1,2)
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
-0.0015 -0.9231 0.0032 0.8803
s.e. 0.0532 0.0400 0.0661 0.0488
sigma^2 estimated as 0.000559: log likelihood=3255.95
AIC=-6501.9 AICc=-6501.86 BIC=-6475.68残缺模型：
（Yt –Yt-1）= -0.0015（Yt-1 – Yt-2）-0.9231（Yt-2 – Yt-3）+0.0032εt-1+0.8803εt-2+εt
留神，当执行带差分的 ARIMA 模型时，R 将疏忽均值。以下是 Minitab 的输入：
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P
AR 1 0.0007 0.0430 0.02 0.988
AR 2 -0.9259 0.0640 -14.47 0.000
MA 1 0.0002 0.0534 0.00 0.998
MA 2 -0.8829 0.0768 -11.50 0.000
Constant 0.002721 0.001189 2.29 0.022
Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 1401, after differencing 1400
Residuals: SS = 0.779616 (backforecasts excluded)
MS = 0.000559 DF = 1395
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 6.8 21.2 31.9 42.0
DF 7 19 31 43
P-Value 0.452 0.328 0.419 0.516请留神，依据咱们编写代码的形式，R 将对同一模型给出不同的预计。例如：arima（log.appl，order = c（2,1,2））
arima（difflog.appl，order = c（2,0,2））从这两条代码行得出的 ARIMA（2,1,2）的参数估计值在 R 中将有所不同，即便它援用的是同一模型。然而，在 Minitab 中，后果是类似的，因而对用户的混同较少。
诊断查看
该过程包含察看残差图及其 ACF 和 PACF 图，并查看 Ljung-Box 后果。
如果模型残差的 ACF 和 PACF 没有显着滞后，则抉择适合的模型。
残差图 ACF 和 PACF 没有任何显著的滞后，表明 ARIMA（2,1,2）是示意该序列的良好模型。
此外，Ljung-Box 测试还提供了另一种办法来仔细检查模型。基本上，Ljung-Box 是一种自相干测验，其中它测验工夫序列的自相干是否不同于 0。换句话说，如果后果回绝了假如，则意味着数据是独立且不相干的；否则，序列中依然存在序列相关性，须要批改模型。
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48
Chi-Square 6.8 21.2 31.9 42.0
DF 7 19 31 43
P-Value 0.452 0.328 0.419 0.516Minitab 的输入显示 p 值均大于 0.05，因而咱们不能回绝自相关性不同于 0 的假如。因而，所选模型是 Apple 股票价格的适合模型之一。
ARCH / GARCH 模型
只管残差的 ACF 和 PACF 没有显著的滞后，然而残差的工夫序列图显示出一些波动性。重要的是要记住，ARIMA 是一种对数据进行线性建模且预测放弃不变的办法，因为该模型无奈反映最近的变动或合并新信息。换句话说，它为序列提供了最佳的线性预测，因而在非线性模型预测中简直没有作用。为了建模稳定，须要用到 ARCH / GARCH 办法。咱们如何晓得所关注的工夫序列是否须要 ARCH / GARCH？
首先，查看残差图是否显示任何波动性。接下来，察看残差平方。如果存在波动性，则应应用 ARCH / GARCH 对系列的波动性建模，以反映该系列中更多的近期变动和稳定。最初，平方残差的 ACF 和 PACF 将有助于确认残差（噪声项）是否独立且能够预测。如前所述，严格的白噪声不能线性或非线性地预测，而一般的白噪声可能不能线性地预测但仍不能非线性地预测。如果残差是严格的白噪声，则它们与零均值，正态分布无关，并且平方残差的 ACF 和 PACF 没有显著的滞后。
以下是平方残差的图：
•残差平方图显示了某些工夫点的波动性
•滞后 10 时，PACF 仍会截断，即便有些滞后依然很大
因而，残差显示了一些能够建模的模式。ARCH / GARCH 对模型稳定率建模很有必要。顾名思义，此办法与序列的条件方差无关。ARCH（q）的个别模式：
res.arima212=arima212$res
squared.res.arima212=res.arima212^2依据 AICc 抉择 ARCH / GARCH 阶数和参数，如下所示：
AICC = -2 log+ 2（q + 1） N /（N – q – 2），如果模型中没有常数项
AICC = -2 log+ 2（q + 2） N /（N – q – 3），如果模型中为常数项
要计算 AICc，咱们须要将 ARCH / GARCH 模型拟合到残差，而后应用 R 中的 logLik 函数计算对数似然。请留神，因为咱们只心愿对 ARIMA 模型的噪声建模，因而咱们将 ARCH 拟合到先前抉择的 ARIMA 模型的残差，而不拟合原始序列或对数或差分对数序列。
Model N q Log&likelihood AICc&no&const AICc&const
ARCH(0) 1400 0 3256.488 ,6510.973139 ,6508.96741
ARCH(1) 1400 1 3314.55 ,6625.09141 ,6623.082808
ARCH(2) 1400 2 3331.168 ,6656.318808 ,6654.307326
ARCH(3) 1400 3 3355.06 ,6702.091326 ,6700.076958
ARCH(4) 1400 4 3370.881 ,6731.718958 ,6729.701698
ARCH(5) 1400 5 3394.885 ,6777.709698 ,6775.68954
ARCH(6) 1400 6 3396.683 ,6779.28554 ,6777.262477
ARCH(7) 1400 7 3403.227 ,6790.350477 ,6788.324504
ARCH(8) 1400 8 3410.242 =6802.354504 =6800.325613
ARCH(9) 1400 9 3405.803 ,6791.447613 ,6789.415798
ARCH(10) 1400 10 3409.187 ,6796.183798 ,6794.149054
GARCH(1,"1) 1400 2 3425.365 ,6844.712808 ,6842.701326下面提供了恒定和非恒定状况的 AICc 表。请留神，从 ARCH 1 到 ARCH 8 的 AICc 缩小，而后在 ARCH 9 和 ARCH 10 中 AICc 减少。为什么会产生？示意咱们须要查看模型的收敛性，在前 7 种状况下，R 中的输入给出“绝对函数收敛”，而 ARCH 9 和 ARCH 10 具备“假收敛”。当输入蕴含 False 收敛时，该模型的预测能力值得狐疑，咱们应该从抉择中排除这些模型；只管 GARCH 1,1 的 AICc 也最低，然而该模型被谬误地收敛，因而被排除在外。ARCH 8 是所选模型。
此外，咱们在剖析中还包含 ARCH 0，因为它能够用作查看是否存在任何 ARCH 效应或残差是否独立。
执行 ARCH / GARCH 模型的 R 代码：
loglik08=logLik(arch08)
summary(arch08)留神，R 不容许 q = 0 的阶数，因而咱们无奈从 R 取得 ARCH 0 的对数似然；然而咱们须要通过公式进行计算：−.5 N 1 + log 2 pi mean(x) ˆ2
N：相差后的观测次数 N = n – d
X：在此思考的数据集状况，残差
ARCH 8 的输入：
Call:
Model:
GARCH(0,8)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.40329 -0.48569 0.08897 0.69723 4.07181
Coefficient(s):
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
a0 1.472e-04 1.432e-05 10.282 < 2e-16 ***
a1 1.284e-01 3.532e-02 3.636 0.000277 ***
a2 1.335e-01 2.839e-02 4.701 2.59e-06 ***
a3 9.388e-02 3.688e-02 2.545 0.010917 *
a4 8.678e-02 2.824e-02 3.073 0.002116 **
a5 5.667e-02 2.431e-02 2.331 0.019732 *
a6 3.972e-02 2.383e-02 1.667 0.095550 .
a7 9.034e-02 2.907e-02 3.108 0.001885 **
a8 1.126e-01 2.072e-02 5.437 5.41e-08 ***
---
Signif. codes: 0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1
Diagnostic Tests:
Jarque Bera Test
data: Residuals
X-squared = 75.0928, df = 2, p-value < 2.2e-16
Box-Ljung test
data: Squared.Residuals
X-squared = 0.1124, df = 1, p-value = 0.7374除第六个参数外，所有参数的 p“值均小于 0.05，表明 它们具备统计学意义。此外，Box”Ljung 测验的 p“值大于 0.05，因而咱们不能回绝自相干的假如残差的值不同于 0。因而该模型足以示意残差。
残缺的 ARCH 8 模型：
ht = 1.472e-04 +1.284e-01ε2t“1 +1.335e-01ε2t”2 +9.388e-02ε2t“3 + 8.678 e-02ε2t“4 +
5.667e-02ε2t”5 +3.972e-02ε2t“6 +9.034e-02ε2t”7 +1.126e-01ε2t“8
ARIMA-ARCH / GARCH
在本节中，咱们将比拟 ARIMA 模型和组合的 ARIMAARCH / GARCH 模型的后果。如前所述，Apple Log 价格序列的 ARIMA 和 ARCH 模型别离为 ARIMA 2,1,2）和 ARCH 8）。此外，咱们还将查看 Minitab 的后果，并将其与 R 的后果进行比拟。请记住，在将 ARIMA 拟合所需的差分序列时，R 将排除常数。因而，咱们先前从 R 生成的后果是 ARIMA 2,1,2），没有常数。应用预测函数，依据 ARIMA 2,1,2）对系列进行 1 步预测
Point Forecast Lo 95 Hi 95
1402 6.399541 6.353201 6.445882ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）的残缺模型：
下表总结了所有模型，并在 Excel 中编辑和计算了点预测和预测区间：
95% Confident interval
Model Forecast Lower Upper Actual
ARIMA(2,1,2) in R 6.399541 6.353201 6.445882 6.354317866
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) 6.40099 6.35465 6.44734
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 6.39956 6.35314 6.44597
ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R 6.39974330 6.35340330 6.44608430
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8) 6.40119230 6.35485230 6.44754230
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant)
+ARCH(8) 6.39976230 6.35334230 6.44617230将对数价格转换为价格，咱们取得原始序列的预测：
95% Confident interval
Model Forecast Lower Upper Actual
ARIMA(2,1,2) in R 601.5688544 574.3281943 630.1021821 574.9700003
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) 602.4411595 575.1609991 631.0215411
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant) 601.5802843 574.2931614 630.1576335
ARIMA(2,1,2) + ARCH(8) in R 601.6905666 574.4443951 630.2296673
ARIMA(2,1,2) in Minitab (constant) +ARCH(8) 602.5630482 575.2773683 631.1492123
ARIMA(2,1,2) in Minitab (no constant)
+ARCH(8) 601.7019989 574.409355 630.285132012 年 7 月 25 日苹果公布了低于预期的收益报告，此布告影响了公司股价，导致该股票从 2012 年 7 月 24 日的 600.92 美元跌至 2012 年 7 月 24 日的 574.97 美元。公司公布侧面或负面新闻时，这是常常产生的意外危险。然而，因为理论价格在咱们 95%的置信区间内并且十分靠近上限，因而咱们的模型仿佛能够胜利预测该危险。
须要留神的是，ARIMA（2,1,2）的 95%置信区间比 ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）组合模型的置信区间宽。这是因为后者通过剖析残差及其条件方差（随着新信息的呈现而受到影响的方差）来反映并纳入股价的近期变动和稳定。
那么如何计算 ARCH（8）的条件方差 ht？
•生成 1 步预测，100 步预测，预测图：
forecast212step1=forecast(arima212,1,level=95)•计算 ht，条件方差：
ht.arch08=arch08$fit[,1]^2 #应用拟合的第一栏•生成对数价格，下限和上限 95%的图
plot(log.appl,type='l',main='Log Apple,Low,High')
lines(low,col='red')
lines(high,col='blue')为了计算 ht，咱们首先在一列中列出模型的所有参数，而后查找与这些系数关联的残差，将这些残差平方，将 ht 系数乘以残差平方，而后对这些数字求和以得出 ht。例如，要预计点 1402（咱们的数据集有 1401 个观测值），咱们须要最初 8 天的残差，因为咱们的模型是 ARCH（8）。以下是生成的表：
ht coeff res squared res ht components
const 1.47E-04 1.47E,04
a1 1.28E-01 ,5.18E,03 2.69E,05 3.45E,06
a2 1.34E-01 4.21E,04 1.77E,07 2.37E,08
a3 9.39E-02 ,1.68E,02 2.84E,04 2.66E,05
a4 8.68E-02 1.25E,02 1.57E,04 1.36E,05
a5 5.67E-02 ,7.41E,04 5.49E,07 3.11E,08
a6 3.97E-02 8.33E,04 6.93E,07 2.75E,08
a7 9.03E-02 2.92E,03 8.54E,06 7.72E,07
a8 1.13E-01 9.68E,03 9.37E,05 1.05E,05
ht 2.02E,04为了如上所述预计混合模型的 1 步预测和 95%置信区间，咱们应用从 R 或 Minitab 取得的 ARIMA 预测，而后将 ht 增加到 ARIMA 预测中。记录对数价格和条件方差：
•条件方差图胜利反映了整个工夫序列的波动性•高波动性与股价暴涨的期间密切相关
价格的 95%预测间隔：
对模型的最终查看是查看 ARIMA-ARCH 模型的残差的 QQ 图，即 et =εt/ sqrt（ht）= 残差 / sqrt（条件方差）。咱们能够间接从 R 计算出来，而后绘制 QQ 图以查看残差的正态性。以下是代码和 QQ 图：
qqline(archres)该图表明，残差仿佛大抵呈正态分布，只管有些点不在直线上。然而，与 ARIMA 模型的残差相比，混合模型的残差更靠近正态分布。
论断
时域办法是剖析金融工夫序列的有用办法。基于 ARIM-ARCH / GARCH 模型的预测中有一些须要思考的方面：
首先，ARIMA 模型专一于线性剖析工夫序列，并且因为新信息的存在，它无奈反映最近的变动。因而，为了更新模型，用户须要合并新数据并再次预计参数。ARIMA 模型中的方差是无条件方差，并且放弃恒定。ARIMA 实用于安稳序列，因而，应变换非安稳序列（例如对数变换）。
此外，ARIMA 通常与 ARCH / GARCH 模型一起应用。ARCH / GARCH 是一种测量序列波动性的办法，或更具体地说，是对 ARIMA 模型的噪声项建模的办法。ARCH / GARCH 联合了新信息，并依据条件方差分析了序列，用户能够应用最新信息来预测将来价值。混合模型的预测区间比纯 ARIMA 模型的预测区间短。
本文摘选 《 R 语言中的工夫序列分析模型：ARIMA-ARCH / GARCH 模型剖析股票价格 》，点击“ 浏览原文”获取全文残缺材料。
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R 语言用 Garch 模型和回归模型对股票价格剖析
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