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最近咱们被客户要求撰写对于 copula 的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
你可能会问，为什么是 copulas？咱们指的是数学上的概念。简略地说，copulas 是具备平均边缘散布的联结散布函数。
最重要的是，它们容许你将依赖关系与边缘散布离开钻研。有时你对边缘散布的信息比对数据集的联结函数的信息更多，而 copulas 容许你建设对于依赖关系的 “ 假如 “ 情景。copulas 能够通过将一个联结散布拟合到均匀分布的边缘散布上而失去，这个边缘散布是通过对你感兴趣的变量的 cdf 进行量化转换而失去的。
这篇文章是对于 Python 的（有 numpy、scipy、scikit-learn、StatsModels 和其余你能在 Anaconda 找到的好货色），然而 R 对于统计学来说是十分棒的。我反复一遍，R 对统计学来说是十分棒的。如果你是认真从事统计工作的，不论你是否喜爱 R，你至多应该看看它，看看有哪些包能够帮忙你。很有可能，有人曾经建设了你所须要的货色。而且你能够从 python 中应用 R（须要一些设置）。
说了这么多对于 R 的益处，咱们还是要发一篇对于如何在 python 中应用一个特定的数学工具的文章。因为尽管 R 很牛，但 python 的确有令人难以置信的灵活性，能够用来解决其余事务。
这篇文章中行将呈现的大部分内容都会用 Jupyter Notebooks 来构建。
软件
我很诧异，scikit-learn 或 scipy 中没有明确的 copula 包的实现。
2D 数据的 Frank、Clayton 和 Gumbel copula
测试
第一个样本（x）是从一个 β 散布中产生的，（y）是从一个对数正态中产生的。β 散布的反对度是无限的，而对数正态的右侧反对度是无穷大的。对数的一个乏味的属性。两个边缘散布都被转换到了单位范畴。
咱们对样本 x 和 y 拟合了三个族（Frank, Clayton, Gumbel）的 copulas，而后从拟合的 copulas 中提取了一些样本，并将采样输入与原始样本绘制在一起，以察看它们之间的比拟。
#等同于 ppf，但间接从数据中构建
sortedvar=np.sort(var)
#绘制
for index,family in enumerate(['Frank', 'clayton', 'gumbel']):
#取得伪观测值
u,v = copula_f.generate_uv(howmany)
#画出伪观测值
axs[index][0].scatter(u,v,marker='o',alpha=0.7)
plt.show()
#总样本与伪观测值的比照
sz=300
loc=0.0 #对大多数散布来说是须要的
sc=0.5
y=lognorm.rvs(sc,loc=loc, size=sz)独立（不相干）数据
咱们将从 β 散布中抽取（x）的样本，从对数正态中抽取（y）的样本。这些样本是伪独立的（咱们晓得，如果你用计算机来抽取样本，就不会有真正的独立，但好在是正当的独立）。
# 不相干的数据：一个 β 值（x）和一个对数正态（y）。a= 0.45#2. #alpha
b=0.25#5. #beta
#画出不相干的 x 和 y
plt.plot(t, beta.pdf(t,a,b), lw=5, alpha=0.6, label='x:beta')
#绘制由不相干的 x 和 y 建设的共线性图
title=' 来自不相干数据的共线性 x: beta, alpha {} beta {}, y: lognormal, mu {}, sigma dPlot(title,x,y,pseudoobs)
相依性（相干）数据
自变量将是一个对数正态（y），变量（x）取决于（y），关系如下。初始值为 1（独立）。而后，对于每一个点 i, 如果 , 那么 , 其中 c 是从 1 的分数列表中对立抉择的，否则, .
# 相干数据：一个对数正态（y）。#画出相干数据
np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)
plt.plot(t, gkxx.pdf(t), lw=5, alpha=0.6,拟合 copula 参数
没有内置的办法来计算 archimedean copulas 的参数，也没有椭圆 elliptic copulas 的办法。然而能够本人实现。抉择将一些参数拟合到一个 scipy 散布上，而后在一些样本上应用该函数的 CDF 办法，或者用一个教训 CDF 工作。这两种办法在笔记本中都有实现。
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R 语言实现 COPULA 算法建模相依性案例剖析
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因而，你必须本人写代码来为 archimedean 获取参数，将变量转化为对立的边缘散布，并对 copula 进行实际操作。它是相当灵便的。
# 用于拟合 copula 参数的办法
# === Frank 参数拟合
"""对这个函数的优化将给出参数"""
#一阶 debye 函数的积分值 int_debye = lambda t: t/(npexp(t)-1.)
debye = lambda alphaquad(int_debye ,
alpha
)[0]/alpha
diff = (1.-kTau)/4.0-(debye(-alpha)-1.)/alpha
#================
#clayton 参数办法
def Clayton(kTau):
try:
return 2.*kTau/(1.-kTau)
#Gumbel 参数办法
def Gumbel(kTau):
try:
return 1./(1.-kTau)
#================
#copula 生成
#失去协方差矩阵 P
#x1=norm.ppf(x,loc=0,scale=1)
#y1=norm.ppf(y,loc=0,scale=1)
#return norm.cdf((x1,y1),loc=0,scale=P)
#================
#copula 绘图
fig = pylab.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.text2D(0.05, 0.95, label, transform=ax.transAxes)
ax.set_xlabel('X: {}'.format(xlabel))
ax.set_ylabel('Y: {}'.format(ylabel))
#sample 是一个来自 U,V 的索引列表。这样，咱们就不会绘制整个 copula 曲线。if plot:
print "绘制 copula {} 的样本".format(copulaName)
returnable[copulaName]=copulapoints
if plot:
zeFigure=plot3d(U[ 样本],V[样本],copulapoints[样本], label=copulaName,生成一些输出数据
在这个例子中，咱们应用的是与之前雷同的散布，摸索 copula。如果你想把这段代码改编成你本人的实在数据。
t = np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)
#从一些 df 中抽取一些样本
X=beta.rvs(a,b,size=sz)
Y=lognorm.rvs(sc,size=sz)
#通过对样本中的数值利用 CDF 来实现边缘散布
U=beta.cdf(X,a,b)
V=lognorm.cdf(Y,sc)
#画出它们直观地查看独立性
plt.scatter(U,V,marker='o',alpha=0.7)
plt.show()可视化 Copulas
没有间接的构造函数用于高斯或 t_Copulas_，能够为椭圆_Copulas_(_Elliptic_ _Copulas_) 建设一个更通用的函数。
Samples=700
#抉择用于抽样的 copula 指数
np.random.choice(range(len(U)),Samples)
Plot(U,V)<IPython.core.display.Javascript object>Frechét-Höffding 边界可视化
依据定理，咱们将 copula 画在一起，失去了 Frechét-Höffding 边界。
# 建设边界为 copula 的区域
plot_trisurf(U[ 样本],V[样本],copula['min'][样本],
c='red') #下限
plot_trisurf(U[ 样本],V[样本],copula['max'][样本],
c='green') #上限 点击文末 “浏览原文”
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本文选自《python 中的 copula：Frank、Clayton 和 Gumbel copula 模型预计与可视化》。
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