关于机器学习:机器学习算法系列八对数几率回归算法二Logistic-Regression-Algorithm

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浏览本文须要的背景知识点：对数几率回归算法（一）、共轭梯度法、一点点编程常识

接上一篇对数几率回归算法（一），其中介绍了优化对数几率回归代价函数的两种办法——梯度降落法（Gradient descent）与牛顿法（Newton’s method）。但当应用一些第三方机器学习库时会发现，个别都不会简略的间接应用上述两种办法，而是用的是一些优化版本或是算法的变体。例如后面介绍的在 scikit-learn 中可选的求解器如下表所示：

求解器 /solver	算法
sag	随机均匀梯度降落法（Stochastic Average Gradient/SAG）
saga	随机均匀梯度降落减速法（SAGA）
lbfgs	L-BFGS 算法（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno/L-BFGS）
newton-cg	牛顿 - 共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient）

上面就来一一介绍上述的这些算法，为什么个别第三方库中不间接梯度降落法与牛顿法，这两个原始算法存在什么缺点？因为笔者能力无限，上面算法只给出了迭代公式，其迭代公式的起源无奈在此具体推导进去，感兴趣的读者可参考对应论文中的证实。

梯度降落法（Gradient Descent/GD）

梯度降落原始算法，也被称为批量梯度降落法（Batch gradient descent/BGD），将整个数据集作为输出来计算梯度。

$$
w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}(w)
$$

该算法的次要毛病是应用了整个数据集，当数据集很大的时候，计算梯度时可能会异样的耗时。

随机梯度降落法（Stochastic Gradient Descent/SGD）

每次迭代更新只随机的解决某一个数据，而不是整个数据集。

$$
w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{i}, y_{i}\right) \quad i \in[1, N]
$$

该算法因为是随机一个数据点，代价函数并不是始终降落，而是会上下稳定，调整步长使得代价函数的后果整体呈降落趋势，所以收敛速率没有批量梯度降落快。

小批量梯度降落法（Mini-batch Gradient Descent/MBGD）

小批量梯度降落法联合了下面两种算法，在计算梯度是既不是应用整个数据集，也不是每次随机选其中一个数据，而是一次应用一部分数据来更新。

$$
w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{(i: i+k)}, y_{(i: i+k)}\right) \quad i \in[1, N]
$$

随机均匀梯度降落法 ¹（Stochastic Average Gradient/SAG）

随机均匀梯度降落法是对随机梯度降落法的优化，因为 SGD 的随机性，导致其收敛速度较迟缓。SAG 则是通过记录上一次地位的梯度记录，使得可能看到更多的信息。

$$
\begin{aligned}
w_{k+1} &=w_{k}-\frac{\eta}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(d_{i}\right)_{k} \\
d_{k} &=\left\{\begin{array}{ll}
\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right) & i=i_{k} \\
d_{k-1} & i \neq i_{k}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

方差缩减随机梯度降落法 ²（Stochastic Variance Reduced Gradient/SVRG）

方差缩减随机梯度降落法是对随机梯度降落法的另一种优化，因为 SGD 的收敛问题是因为梯度的方差假如有一个常数的上界，SVRG 的做法是通过减小这个方差来使得收敛过程更加稳固。

$$
w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right)-\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(\hat{w}, X_{i}, y_{i}\right)+\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(\hat{w}, X_{j}, y_{j}\right)\right)
$$

随机均匀梯度降落法变体 ³（SAGA）

SAGA 是对随机均匀梯度降落法的优化，联合了方差缩减随机梯度降落法的办法。

$$
w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right)-\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k-1}, X_{i}, y_{i}\right)+\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{j}, y_{j}\right)\right)
$$

牛顿法（Newton Method）

牛顿法原始版本，将整个数据集作为输出来计算出梯度和黑塞矩阵后求出降落的方向

$$
w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(H^{-1} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right)\right)
$$

该算法的次要毛病是需要求黑塞矩阵和它的逆矩阵，当 x 的维度过多的时候，求黑塞矩阵的过程会异样的艰难。

DFP 法 ⁴（Davidon–Fletcher–Powell）

DFP 法是一个拟牛顿法，算法如下：

$$
\begin{aligned}
g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\
d_{k} &=-D_{k} g_{k} \\
s_{k} &=\eta d_{k} \\
w_{k+1} &=w_{k}+s_{k} \\
g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\
y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\
D_{k+1} &=D_{k}+\frac{s_{k} s_{k}^{T}}{s_{k}^{T} y_{k}}-\frac{D_{k} y_{k} y_{k}^{T} D_{K}}{y_{k}^{T} D_{k} y_{k}}
\end{aligned}
$$

能够看到 DFP 不再间接求黑塞矩阵，而是通过一次一次的迭代来失去近似值，其中 D 为黑塞矩阵的逆矩阵的近似。

BFGS 法 ⁵（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）

BFGS 法同样是一个拟牛顿法，根本步骤与 DFP 法截然不同，算法如下：

$$
\begin{aligned}
g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\
d_{k} &=-D_{k} g_{k} \\
s_{k} &=\eta d_{k} \\
w_{k+1} &=w_{k}+s_{k+1} \\
g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\
y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\
D_{k+1} &=\left(I-\frac{s_{k} y_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}}\right) D_{k}\left(I-\frac{y_{k} s_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}}\right)+\frac{s_{k} s_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}}
\end{aligned}
$$

能够看到 BFGS 法的惟一区别只是对黑塞矩阵的近似办法不同，其中 D 为黑塞矩阵的逆矩阵的近似。

L-BFGS 法 ⁶（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）

因为 BFGS 法须要存储一个近似的黑塞矩阵，当 x 的维度过多的时候，这个黑塞矩阵的占用内存会异样的大，L-BFGS 法令是对 BFGS 法再一次的近似，算法如下：

$$
\begin{aligned}
g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\
d_{k} &=-\operatorname{calcDirection}\left(s_{k-m: k-1}, y_{k-m: k-1}, \rho_{k-m: k-1}, g_{k}\right) \\
s_{k} &=\eta d_{k} \\
w_{k+1} &=w_{k}+s_{k} \\
g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\
y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\
\rho_{k} &=\frac{1}{y_{k}^{T} s_{k}}
\end{aligned}
$$

能够看到 L -BFGS 法不再间接保留这个近似的黑塞矩阵，而是当要用到时间接通过一组向量计算出来，达到节俭内存的目标。计算方向的办法可参考上面代码中的实现。

牛顿共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient/Newton-CG）

牛顿共轭梯度法是对牛顿法的优化，算法如下：

$$
\begin{aligned}
g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\
H_{k} &=\nabla_{w}^{2} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\
\Delta w &=c g\left(g_{k}, H_{k}\right) \\
w_{k+1} &=w_{k}-\Delta w
\end{aligned}
$$

能够看到牛顿共轭梯度法不再求黑塞矩阵的逆矩阵，而是通过共轭梯度法（Conjugate Gradient）间接求出 Δw。对于共轭梯度法举荐看参考文献中的文章 ⁷，具体介绍了该算法的原理与利用。

应用 Python 实现对数几率回归算法（随机梯度降落法）：

import numpy as np

def logisticRegressionSGD(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
   w = np.zeros(X.shape[1])
   xy = np.c_[X.reshape(X.shape[0], -1), y.reshape(X.shape[0], 1)]
   for it in range(max_iter):
       s = step / (np.sqrt(it + 1))
       np.random.shuffle(xy)
       X_new, y_new = xy[:, :-1], xy[:, -1:].ravel()
       for i in range(0, X.shape[0]):
           d = dcost(X_new[i], y_new[i], w)
           if (np.linalg.norm(d) <= tol):
               return w
           w = w - s * d
   return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（批量随机梯度降落法）：

import numpy as np

def logisticRegressionMBGD(X, y, batch_size=50, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
    w = np.zeros(X.shape[1])
    xy = np.c_[X.reshape(X.shape[0], -1), y.reshape(X.shape[0], 1)]
    for it in range(max_iter):
        s = step / (np.sqrt(it + 1))
        np.random.shuffle(xy)
        for start in range(0, X.shape[0], batch_size):
            stop = start + batch_size
            X_batch, y_batch = xy[start:stop, :-1], xy[start:stop, -1:].ravel()
            d = dcost(X_batch, y_batch, w)
            if (np.linalg.norm(p_avg) <= tol):
                return w
            w = w - s * d
    return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（随机均匀梯度降落法）：

import numpy as np

def logisticRegressionSAG(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
   w = np.zeros(X.shape[1])
   p = np.zeros(X.shape[1])
   d_prev = np.zeros(X.shape)
   for it in range(max_iter):
       s = step / (np.sqrt(it + 1))
       for it in range(X.shape[0]):
           i = np.random.randint(0, X.shape[0])
           d = dcost(X[i], y[i], w)
           p = p - d_prev[i] + d
           d_prev[i] = d
           p_avg = p / X.shape[0]
           if (np.linalg.norm(p_avg) <= tol):
               return w
           w = w - s * p_avg
   return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（方差缩减随机梯度降落法）：

import numpy as np

def logisticRegressionSVRG(X, y, max_iter=100, m = 100, tol=1e-4, step=1e-1):
    w = np.zeros(X.shape[1])
    for it in range(max_iter):
        s = step / (np.sqrt(it + 1))
        g = np.zeros(X.shape[1])
        for i in range(X.shape[0]): 
            g = g + dcost(X[i], y[i], w)
        g = g / X.shape[0]
        tempw = w
        for it in range(m):
            i = np.random.randint(0, X.shape[0])
            d_tempw = dcost(X[i], y[i], tempw)
            d_w = dcost(X[i], y[i], w)
            d = d_tempw - d_w + g
            if (np.linalg.norm(d) <= tol):
                break
            tempw = tempw - s * d
        w = tempw
    return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（SAGA）：

import numpy as np

def logisticRegressionSAGA(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
   w = np.zeros(X.shape[1])
   p = np.zeros(X.shape[1])
   d_prev = np.zeros(X.shape)
   for i in range(X.shape[0]): 
       d_prev[i] = dcost(X[i], y[i], w)
   for it in range(max_iter):
       s = step / (np.sqrt(it + 1))
       for it in range(X.shape[0]):
           i = np.random.randint(0, X.shape[0])
           d = dcost(X[i], y[i], w)
           p = d - d_prev[i] + np.mean(d_prev, axis=0) 
           d_prev[i] = d
           if (np.linalg.norm(p) <= tol):
               return w
           w = w - s * p
   return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（DFP）：

import numpy as np

def logisticRegressionDPF(X, y, max_iter=100, tol=1e-4):
   w = np.zeros(X.shape[1])
   D_k = np.eye(X.shape[1])
   g_k = dcost(X, y, w)
   for it in range(max_iter):
       d_k = -D_k.dot(g_k)
       s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 10)
       s_k = s * d_k
       w = w + s_k
       g_k_1 = dcost(X, y, w)
       if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
           return w
       y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
       s_k = s_k.reshape(-1, 1)
       D_k = D_k + s_k.dot(s_k.T) / s_k.T.dot(y_k) - D_k.dot(y_k).dot(y_k.T).dot(D_k) / y_k.T.dot(D_k).dot(y_k)
       g_k = g_k_1
   return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（BFGS）：

import numpy as np

def logisticRegressionBFGS(X, y, max_iter=100, tol=1e-4):
    w = np.zeros(X.shape[1])
    D_k = np.eye(X.shape[1])
    g_k = dcost(X, y, w)
    for it in range(max_iter):
        d_k = -D_k.dot(g_k)
        s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 10)
        s_k = s * d_k
        w = w + s_k
        g_k_1 = dcost(X, y, w)
        if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
            return w
        y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
        s_k = s_k.reshape(-1, 1)
        a = s_k.dot(y_k.T)
        b = y_k.T.dot(s_k)
        c = s_k.dot(s_k.T)
        D_k = (np.eye(X.shape[1]) - a / b).dot(D_k).dot((np.eye(X.shape[1]) - a.T / b)) + c / b
        g_k = g_k_1
    return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（L-BFGS）：

import numpy as np

def calcDirection(ss, ys, rhos, g_k, m, k):
    delta = 0
    L = k
    q = g_k.reshape(-1, 1)
    if k > m:
        delta = k - m
        L = m
    alphas = np.zeros(L)
    for i in range(L - 1, -1, -1):
        j = i + delta
        alpha = rhos[j].dot(ss[j].T).dot(q)
        alphas[i] = alpha
        q = q - alpha * ys[j]
    r = np.eye(g_k.shape[0]).dot(q)
    for i in range(0, L):
        j = i + delta
        beta = rhos[j].dot(ys[j].T).dot(r)
        r = r + (alphas[i] - beta) * ss[j]
    return -r.ravel()

def logisticRegressionLBFGS(X, y, m=100, max_iter=100, tol=1e-4):
    w = np.zeros(X.shape[1])
    g_k = dcost(X, y, w)
    d_k = -np.eye(X.shape[1]).dot(g_k)
    ss = []
    ys = []
    rhos = []
    for it in range(max_iter):
        d_k = calcDirection(ss, ys, rhos, g_k, m, it)
        s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 1)
        s_k = s * d_k
        w = w + s_k
        g_k_1 = dcost(X, y, w)
        if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
            return w
        y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
        s_k = s_k.reshape(-1, 1)
        ss.append(s_k)
        ys.append(y_k)
        rhos.append(1 / (y_k.T.dot(s_k)))
        g_k = g_k_1
    return w

应用 Python 实现对数几率回归算法（牛顿共轭梯度法）：

import numpy as np

def cg(H, g, max_iter=100, tol=1e-4):
   """
   共轭梯度法
   H * deltaw = g
   """
   deltaw = np.zeros(g.shape[0])
   i = 0
   r = g
   d = r
   delta = np.dot(r, r)
   delta_0 = delta
   while i < max_iter:
       q = H.dot(d)
       alpha = delta / (np.dot(d, q))
       deltaw = deltaw + alpha * d
       r = r - alpha * q
       delta_prev = delta
       delta = np.dot(r, r)
       if delta <= tol * tol * delta_0:
           break
       beta = delta / delta_prev
       d = r + beta * d
       i = i + 1
   return deltaw

def logisticRegressionNewtonCG(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step = 1.0):
   """
   对数几率回归，应用牛顿共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient）args:
       X - 训练数据集
       y - 指标标签值
       max_iter - 最大迭代次数
       tol - 变动量容忍值
   return:
       w - 权重系数
   """
   # 初始化 w 为零向量
   w = np.zeros(X.shape[1])
   # 开始迭代
   for it in range(max_iter):
       # 计算梯度
       d = dcost(X, y, w)
       # 当梯度足够小时，完结迭代
       if np.linalg.norm(d) <= tol:
           break
       # 计算黑塞矩阵
       H = ddcost(X, y, w)
       # 应用共轭梯度法计算 Δw 
       deltaw = cg(H, d)
       w = w - step * deltaw
   return w

scikit-learn⁸ 实现对数几率回归（随机均匀梯度降落法）：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="sag")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn⁸ 实现对数几率回归（SAGA）：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="saga")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn⁸ 实现对数几率回归（L-BFGS）：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="lbfgs")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn⁸ 实现对数几率回归（牛顿共轭梯度法）：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="newton-cg")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

https://hal.inria.fr/hal-0086…
https://harkiratbehl.github.i…
https://arxiv.org/pdf/1407.02…
https://en.wikipedia.org/wiki…
https://en.wikipedia.org/wiki…
https://en.wikipedia.org/wiki…
https://flat2010.github.io/20…
https://scikit-learn.org/stab…

残缺演示请点击这里

注：本文力求精确并通俗易懂，但因为笔者也是初学者，程度无限，如文中存在谬误或脱漏之处，恳请读者通过留言的形式批评指正

本文首发于——AI 导图 ，欢送关注

正文完

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发表至：机器学习

2022-01-11

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一、引言

二、梯度降落法

三、牛顿法

四、代码实现

五、第三方库实现

七、思维导图

八、参考文献

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