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大部分程序员因为理工科的背景，有一些高数、线性代数、概率论与数理统计的数学根底。所以当机器学习的热潮降临的时候，都蠢蠢欲动，对机器学习的算法以及背地的数学思维有比拟强烈的摸索欲望。
本文的作者就是其中的一位。然而实际的过程中，又发现数学知识的了解深度有些欠缺，在了解一些公式背地的意义时，有些力不从心的感觉。因而梳理了一些数学上的常识盲点，理顺本人的常识脉络，顺便分享给有须要的人。
本文次要解说余弦类似度的相干知识点。类似度计算用处相当宽泛，是搜索引擎、举荐引擎、分类聚类等业务场景的外围点。为了了解分明余弦类似度的前因后果，我将会从最简略的初中数学动手，逐渐推导出余弦公式。而后基于余弦公式串讲一些实际的例子。
一、业务背景
通常咱们日常开发中，可能会遇到如下的业务场景。
精准营销，图像处理，搜索引擎 这三个看似驴唇不对马嘴的业务场景，其实面临一个独特的问题就是类似度的计算。例如精准营销中的人群扩量波及用户类似度的计算；图像分类问题波及图像类似度的计算，搜索引擎波及查问词和文档的类似度计算。类似度计算中，可能因为《数学之美》的影响，大家最相熟的应该是余弦类似度。那么余弦类似度是怎么推导进去的呢？
二、数学根底
了解余弦类似度，要从了解金字塔开始。咱们晓得金字塔的底座是一个微小的正方形。例如吉萨大金字塔的边长超过 230m。结构这样一个微小的正方形，如何保障结构进去的图形不走样呢？比方如何确保结构的后果不是菱形或者梯形。
1、勾股定理
要保障结构进去的四边形是正方形，须要保障两个点：其一是四边形的边长相等；其二是四边形的角是直角。四边形的边长相等很容易解决，在工程实际中，取一根定长的绳子作为边长就能够了。如何保障直角呢？今人是利用勾股定理解决的，更切确地说是勾股定理的逆定理。
结构一个三角形，保障三角形的三边长别离是 3,4,5。那么边长为 5 的边对应的角为直角。中国有个成语“无规矩不成方圆”，其中的矩，就是直角的尺。
勾股证实是初中数学的常识，了解很容易。证实也很简略，据说爱因斯坦 11 岁就发现了一种证实办法。勾股定理的证实办法据统计有超过 400 种，感兴趣的同学能够自行理解。另勾股定理也是费马大定理的灵感起源，费马大定理困扰了世间智者 300 多年，也诞生了很多的逸闻趣事，这里不赘述。
2、余弦定理
勾股定理存在着一个很大的限度，就是要求三角形必须是直角三角形。那么对于一般的三角形，三个边存在什么样的关系呢？这就引出了余弦定理。
余弦定理指出了任意三角形三边的关系，也是初中就能够了解的数学知识，证实也比较简单，这里就略过了。
其实对于三角形，了解了勾股定理和余弦定理。就曾经把握了三角形的很多个性和机密了。比方依据等边三角形，能够推导出 cos(60)=1/2。然而如果想了解几何更多的机密，就须要进入解析几何的世界。这个数学知识也不算很浅近，高中数学常识。
这里咱们了解最简略就能够了，那就是三角形在直角坐标系中的示意。所谓“横看成岭侧成峰，远近高下各不同”，咱们能够了解为三角形的另一种表现形式。
比方咱们能够用 a,b,c 三个边形容一个三角形；在立体直角坐标系中，咱们能够用两个向量示意一个三角形。
3、余弦类似度
当咱们引入了直角坐标系后，三角形的示意就进入了更灵便、更弱小和更形象的境界了。几何图形能够用代数的办法来计算，代数能够用几何图形形象化示意，大大降低了解难度。比方咱们用一个向量来示意三角形的一个边，就能够从二维空间间接扩大到高维空间。
这里，向量的定义跟点是一样的；向量的乘法也只是各个维度值相乘累加；向量的长度看似是新的货色，其实绕了一个圈，实质上还是勾股定理，只是勾股定理从二维空间扩大到了 N 维空间而已。而且向量长度又是两个雷同向量乘法的特例。数学的严谨性在这里体现得酣畅淋漓。
联合勾股定理，余弦定理，直角坐标系，向量。咱们就能够很天然地推导出余弦公式了，这里惟一的了解难点就是勾股定理和余弦定理都是用向量来示意。
失去了余弦公式后，咱们该怎么了解余弦公式呢？
极其状况下，两个向量重合了，就代表两个向量齐全类似。然而这里的齐全类似，其实是指向量的方向。向量有方向和长度两个因素，这里只应用方向这一个因素，在实践中就埋下了隐患。然而毕竟一个数学模型建设起来了。咱们能够用这个模型解决一些理论中的问题了。
所谓数学模型，有可能并不需要浅近的数学知识，对外的体现也仅仅是一个数学公式。比方余弦定理这个数学模型，高中数学常识就足够了解了。而且对于模型，有这样一个很有意思的阐述：“所有的数学模型都是错的，然而有些是有用的”。这里咱们更多关注其有用的一面。
了解了向量夹角，那么该怎么了解向量呢？它仅仅是三角形的一条边吗？
人生有几何，万物皆向量。向量在数学上是简略的形象，这个形象咱们能够用太多理论的场景来使它落地。比方用向量来指代用户标签，用向量来指代色彩，用向量来指代搜索引擎的逻辑 …
三、业务实际
了解了余弦定理，了解了数学建模的形式。接下来咱们就能够做一些有意思的事件了。比方后面提到的三个业务场景，咱们能够看看如何用余弦类似度来解决。当然理论问题必定远远要简单得多，然而外围的思维都是相似的。
案例 1：精准营销
假如一次经营打算，比方咱们圈定了 1w 的用户，如何扩大到 10 万人呢？
利用余弦类似度，咱们这里其实最外围的问题就是：如何将用户向量化？
将每个用户视为一个向量，用户的每个标签值视为向量的一个维度。当然这里理论工程中还有特色归一化，特色加权等细节。咱们这里仅作为演示，不陷入到细节中。
对于人群，咱们能够取人群中，所有用户维度值的平均值，作为人群向量。这样解决后，就能够应用余弦公式计算用户的类似度了。
咱们通过计算大盘用户中每个用户跟圈定人群的类似度，取 topN 即可实现人群的扩量。
间接“show me the code”吧！
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
def cos_similarity(v1, v2):
num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B
denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
if denom > 0:
cos = num / denom # 余弦值
sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化
return sim
return 0
if __name__ == '__main__':
u_tag_list = [["女", "26", "是", "白领"],
["女", "35", "是", "白领"],
["女", "30", "是", "白领"],
["女", "22", "是", "白领"],
["女", "20", "是", "白领"]
]
new_user = ["女", "20", "是", "白领"]
u_tag_vector = np.array([[1, 26, 1, 1],
[1, 35, 1, 1],
[1, 30, 1, 1],
[1, 22, 1, 1],
[1, 20, 1, 1]
])
c1 = u_tag_vector[0]
c1 += u_tag_vector[1]
c1 += u_tag_vector[2]
c1 += u_tag_vector[3]
c1 += u_tag_vector[4]
c1 = c1/5
new_user_v1 = np.array([1, 36, 1, 1])
new_user_v2 = np.array([-1, 20, 0, 1])
print("vector-u1:", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v1.tolist()[0:10])))
print("vector-u2:", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v2.tolist()[0:10])))
print("vector-c1:", list(map(lambda x: '%.2f' % x, c1.tolist()[0:10])))
print("sim<u1,c1>:", cos_similarity(c1, new_user_v1))
print("sim<u2,c1>:", cos_similarity(c1, new_user_v2))案例 2：图像分类
有两类图片，美食和萌宠。对于新的图片，如何主动分类呢？
这里咱们的外围问题是：图片如何向量化？
图片由像素形成，每个像素有 RGB 三个通道。因为像素粒度太细，将图片宰割成大小绝对的格子，每个格子定义 3 个维度，维度值取格子内像素均值。
参考博客：图像根底 7 图像分类——余弦类似度
上面也是给出样例代码:
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
import cv2
def cos_similarity(v1, v2):
num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B
denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
if denom > 0:
cos = num / denom # 余弦值
sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化
return sim
return 0
def build_image_vector(im):
"""
:param im:
:return:
"""
im_vector = []
im2 = cv2.resize(im, (500, 300))
w = im2.shape[1]
h = im2.shape[0]
h_step = 30
w_step = 50
for i in range(0, w, w_step):
for j in range(0, h, h_step):
each = im2[j:j+h_step, i:i+w_step]
b, g, r = each[:, :, 0], each[:, :, 1], each[:, :, 2]
im_vector.append(np.mean(b))
im_vector.append(np.mean(g))
im_vector.append(np.mean(r))
return np.array(im_vector)
def show(imm):
imm2 = cv2.resize(imm, (510, 300))
print(imm2.shape)
imm3 = imm2[0:50, 0:30]
cv2.imshow("aa", imm3)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()
imm4 = imm2[51:100, 0:30]
cv2.imshow("bb", imm4)
cv2.waitKey()
cv2.destroyAllWindows()
imm2.fill(0)
def build_image_collection_vector(p_name):
path = "D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\"
c1_vector = np.zeros(300)
for pic in p_name:
imm = cv2.imread(path + pic)
each_v = build_image_vector(imm)
a=list(map(lambda x:'%.2f' % x, each_v.tolist()[0:10]))
print("p1:", a)
c1_vector += each_v
return c1_vector/len(p_name)
if __name__ == '__main__':
v1 = build_image_collection_vector(["food1.jpg", "food2.jpg", "food3.jpg"])
v2 = build_image_collection_vector(["pet1.jpg", "pet2.jpg", "pet3.jpg"])
im = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\pet4.jpg")
v3 = build_image_vector(im)
print("v1,v3:", cos_similarity(v1,v3))
print("v2,v3:", cos_similarity(v2,v3))
a = list(map(lambda x: '%.2f' % x, v3.tolist()[0:10]))
print("p1:", a)
im2 = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\food4.jpg")
v4 = build_image_vector(im2)
print("v1,v4:", cos_similarity(v1, v4))
print("v2,v4:", cos_similarity(v2, v4))至于代码中用到的图片，用户能够自行收集即可。笔者也是间接从搜索引擎中截取的。程序计算的后果也是很直观的，V2(萌宠)跟图像 D1 的类似度为 0.956626，比 V1(美食)跟图像 D1 的类似度 0.942010 更高，所以后果也是很明确的。
案例 3：文本检索
假如有三个文档，形容的内容如下。一个是疫情背景下，苹果公司的资讯，另外两个是水果相干的信息。输出搜索词“苹果是我最喜爱的水果”，该怎么找到最相干的文档？
这里的外围问题也是文本和搜索词如何向量化？
这里其实能够把搜索词也视为文档，这样问题就简化成：文档如何向量化？
出于简化问题的角度，咱们能够给出最简略的答案: 文档由词组成，每个词作为一个维度；文档中词呈现的频率作为维度值。
当然，实际操作时咱们维度值的计算会更简单一些，比方用 TF-IDF。这里用词频 (TF) 并不影响演示成果，所以咱们从简。
将文本向量化后，剩下也是如法炮制，用余弦公式计算类似度, 流程如下：
最初，给出代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
import jieba
def cos_similarity(v1, v2):
num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若为行向量则 A.T * B
denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
if denom > 0:
cos = num / denom # 余弦值
sim = 0.5 + 0.5 * cos # 归一化
return sim
return 0
def build_doc_tf_vector(doc_list):
num = 0
doc_seg_list = []
word_dic = {}
for d in doc_list:
seg_list = jieba.cut(d, cut_all=False)
seg_filterd = filter(lambda x: len(x)>1, seg_list)
w_list = []
for w in seg_filterd:
w_list.append(w)
if w not in word_dic:
word_dic[w] = num
num+=1
doc_seg_list.append(w_list)
print(word_dic)
doc_vec = []
for d in doc_seg_list:
vi = [0] * len(word_dic)
for w in d:
vi[word_dic[w]] += 1
doc_vec.append(np.array(vi))
print(vi[0:40])
return doc_vec, word_dic
def build_query_tf_vector(query, word_dic):
seg_list = jieba.cut(query, cut_all=False)
vi = [0] * len(word_dic)
for w in seg_list:
if w in word_dic:
vi[word_dic[w]] += 1
return vi
if __name__ == '__main__':
doc_list = [
"""
受寰球疫情影响，3 月苹果发表敞开除大中华区之外数百家寰球门店，其宏大的供应链体系也受到冲击，只管目前富士康等代工厂曾经开足马力复原生产，但相比之前产能仍然受限。中国是 iPhone 生产的大本营，为了转移危险，iPhone 零部件是否实现印度制作？实现印度生产的最大难点就是，绝对中国，印度制造业依然欠发达
""","""
苹果是一种低热量的水果，每 100 克产生大概 60 千卡左右的热量。苹果中营养成分可溶性大，容易被人体排汇，故有“活水”之称。它有利于溶解硫元素，使皮肤光滑娇嫩。""","""
在生存当中，香蕉是一种很常见的水果，一年四季都能吃得着，因其肉质香甜软糯，且营养价值高，所以深受老百姓的青睐。那么香蕉有什么具体的效用，你理解吗？"""
]
query = "苹果是我喜爱的水果"
doc_vector, word_dic = build_doc_tf_vector(doc_list)
query_vector = build_query_tf_vector(query, word_dic)
print(query_vector[0:35])
for i, doc in enumerate(doc_vector):
si = cos_similarity(doc, query_vector)
print("doc", i, ":", si)咱们检索排序的后果如下：
文档 D2 是类似度最高的，合乎咱们的预期。这里咱们用最简略的办法，实现了一个搜寻打分排序的样例，尽管它并没有实用价值，然而演示出了搜索引擎的工作原理。
四、超过余弦
后面通过简略的 3 个案例，演示了余弦定理的用法，然而没有齐全开释出余弦定理的洪荒之力。接下来展现一下工业级的零碎中是如何应用余弦定理的。这里选取了开源搜索引擎数据库 ES 的内核 Lucene 作为钻研对象。钻研的问题是：Lucene 是如何应用余弦类似度进行文档类似度打分？
当然，对于 Lucene 的实现，它有另一个名字：向量空间模型。即许多向量化的文档汇合造成了向量空间。咱们首先间接看公式：
很显著，理论公式跟实践公式长相差别很大。那么咱们怎么了解呢？换言之，咱们怎么基于实践公式推导出理论公式呢？
首先须要留神的是，在 Lucene 中，文档向量的特色不再是咱们案例 3 中展现的，用的词频，而是 TF-IDF。对于 TF-IDF 相干的常识，比较简单，次要的思路在于：
如何量化一个词在文档中的要害水平？TF-IDF 给出的答案是综合思考词频 (词在以后文档中呈现的次数) 以及逆文档频率 (词呈现的文档个数) 两个因素。
- 词在以后文档中呈现次数 (TF) 越多，词越重要
- 词在其余文档呈现的次数 (IDF) 越少，词越独特
感兴趣的话，能够自行参考其余材料，这里不开展阐明。
回到咱们的外围问题: 咱们怎么基于实践公式推导出理论公式呢？
四步走就能够了，如下图：
第一步：计算向量乘法
向量乘法就是套用数学公式了。这里须要留神的是，这里有两个简化的思维：
- 查问语句中不存在的词 tf(t,q)=0
- 查问语句根本没有反复的词 tf(t,q)=1
所以咱们比较简单实现了第一步推导：
第二步: 计算查问语句向量长度 |V(q)|
计算向量长度，其实就是勾股定理的应用了。只不过这里是多维空间的勾股定理。
这里取名 queryNorm, 示意这个操作是对向量的归一化。这个其实是当向量乘以 queryNorm 后，就变成了单位向量。单位向量的长度为 1，所以称为归一化，也就是取名 norm。了解了这一层，看 lucene 源码的时候，就比拟容易了解了。这正如琅琊榜的台词一样：问题出自朝堂，答案却在江湖。这里是问题出自 Lucene 源码，答案却在数学。
第三步：计算文档向量长度 |V(d)|
这里其实是不能沿用第二步的做法的。后面曾经提到，向量有两大因素：方向和长度。余弦公式只思考了方向因素。这样在理论利用中，余弦类似度就是向量长度无关的了。
这在搜索引擎中，如果查问语句命中了长文档和短文档，依照余弦公式 TF-IDF 特色，偏差于对短小的文档打较高的分数。对长文档不偏心，所以须要优化一下。
这里的优化思路就是采纳文档词个数累积，从而升高长文档和短文档之间的差距。当然这里的业务诉求可能比拟多样，所以在源码实现的时候，凋谢了接口容许用户自定义。借以晋升灵便度。
第四步：混合用户权重和打分因子
所谓用户权重，就是指用户指定查问词的权重。例如典型地竞价排名就是人为晋升某些查问词的权重。所谓打分因子，即如果一个文档中相比其它的文档呈现了更多的查问关键词，那么其值越大。综合思考了多词查问的场景。通过 4 步，咱们再看推导进去的公式和理论公式，发现类似度十分高。
推导公式和官网公式根本就统一了。
五、总结
本文简略介绍了余弦类似度的数学背景。从埃及金字塔的建设问题登程，引出了勾股定理，进而引出了余弦定理。并基于向量推导进去了余弦公式。
接下来通过三个业务场景的例子，介绍余弦公式的利用，即数学模型如何落地到业务场景中。这三个简略的例子代码不过百行，可能帮忙读者更好地了解余弦类似度。
最初介绍了一个工业级的样例。基于 Lucene 构建的 ES 是以后最炽热的搜索引擎解决方案。学习余弦公式在 Lucene 中落地，有助于了解业界的实在玩法。进一步晋升对余弦公式的了解。
六、参考文献
- 书籍《数学之美》作者：吴军
- 图像根底 7 图像分类——余弦类似度
作者：Shuai Guangying
