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Autoregressive 和 Autoencoding
假如输出序列为 $(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)$。
Autoregressive
autoregressive 模型应用前 t - 1 个单词预测第 t 个单词，指标函数如下，
$$\max_{\theta} \log p_{\theta}(\mathbf{x})=\sum_{t=1}^{T}\log p_{\theta}(x_t|\mathbf{x}_{<t})$$
长处：
- = 而非 $\approx$, 能够严格推到
- no discrependency
- 思考被预测单词之间的依赖关系
毛病：
- 不能同时思考双向信息（要么从左到右，要么从右到左）
Autoencoding
autoencoding 模型，应用未被 mask 掉的单词预测被 mask 掉的单词，指标函数如下，
$$\max_{\theta} \log p_{\theta}(\overline{\mathbf{x}})|\hat{\mathbf{x}})\approx\sum_{t=1}^T m_t \log p_{\theta}(x_t | \hat{\mathbf{x}}) $$
其中，$\overline{\mathbf{x}}$ 示意句子中被 mask 掉的单词，$\hat{\mathbf{x}}$ 示意句子中没有被 mask 掉的单词。$m_t$ 示意如果输出句子的第 t 个单词被 mask 掉，则为 1，否则为 0。
长处：
- 能同时思考双向信息
毛病：
- Independent Assumption 没有思考被 mask 掉的单词的相关性（即独自地思考被 mask 掉的单词）；
- Training 和 Testing 之间存在 Discrependency（在训练时，输出有 mask token，然而在预测时没有）。
两种模型取其精华，去其糟粕。
改良
使 Autoregressive model 能够同时思考双向信息
具体做法是应用Permutation Language Model。
对于长度为 $T$ 的序列，有 $T!$ 种排列。为了缩小计算复杂度，对所有的 permutation 进行采样，最初计算冀望。
$$\max_{\theta}\mathbb{E}_{z\sim \mathcal{Z}_T}[\sum_{t=1}^{T}\log p_{\theta}(x_t | \mathbf{x}_{<t})]$$
其中，$\mathcal{Z}_T$ 示意所有可能的 permutation。
训练时，还是应用一部分词去预测另一部分词，然而会思考相关性。
在具体实现时，输出单词的程序是不扭转的，通过引入 attention mask，起到 permutation 的成果。
图 2
例如，对于一个输出 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$，对单词 $x_3$ 进行预测，当 permutation 为 $(x_3,x_2,x_4,x_1)$ 时，通过 attention mask 使得 $h_3$ 只会思考 $mem$，即求 $p_{\theta}(x_3|mem)$；当 permutation 为 $(x_2,x_4,x_3,x_1)$ 时，$h_3$ 会思考 $mem$、$x_2$ 和 $x_4$ 的信息，即求概率 $p_{\theta}(mem,x_2,x_4)$。
target aware
假如应用规范的 softmax 来示意 next-token 的散布，即给定前 t - 1 个单词，第 t 的单词的概率 $p_\theta(x_{z_t}|\mathbf{x}_{z_{<t}})$，
$$p_\theta(x_{z_t}=x|\mathbf{x}_{z_{<t}})=\frac{exp(e(x)^Th_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}}))}{\sum_{x^{‘}}exp(e(x^{‘})^Th_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}}))}$$
其中，$h_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}})$ 示意 permutation z 种前 t - 1 个单词的组成的序列的 hidden representation。显然，$h_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}})$ 不蕴含 predict word $x_{z_t}$ 的地位信息，这样就会造成在预测 predict word 的散布时，没有思考它在句子中的地位信息，从而使得如果两个不同的单词，在句子中的地位不同，然而在不同 permutation 中的地位雷同（sequence position 不同然而 factorization position 雷同），则这两个单词预测的概率分布也会雷同。例如，
存在两个不同的 permutation $z^{(1)}$ 和 $z^{(2)}$，满足 $z^{(1)}_{<t}=z^{(2)}_{<t}=z_{<t}$，然而 $z^{(1)}_t = i \neq j=z^{(2)}_t$，尽管单词 $x_i$ 和 $x_j$ 不同，然而却具备雷同的预测值，这显然是不正确的。
为此，xlnet 提出了 target position aware next-token distribution。
$$p_\theta(x_{z_t}=x|\mathbf{x}_{z_{<t}})=\frac{exp(e(x)^T g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t))}{\sum_{x^{‘}}exp(e(x^{‘})^Tg_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t))}$$
其中，$g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$ 额定思考了 taget position $z_t$。
地位信息
接下来须要思考如何定义 $g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$。应用规范的 transformer 架构会有如下问题。
- 在预测单词 $x_{z_t}$ 时，$g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$ 该当晓得单词 $x_{z_t}$ 的地位信息 $z_t$ 然而不能晓得单词的内容；
- 当预测单词 $x_{z_j},(j>t)$，$g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$ 须要晓得单词 $x_{z_t}$ 的内容（因为单词 $x_{z_t}$ 是单词 $x_{z_j}$ 的上下文，对单词 $x_{z_j}$ 预测时，须要晓得其上下文的内容）。
这就产生了矛盾，举例来说。例如，输出序列为 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$，须要对 $x_2$ 和 $x_4$ 进行预测，此时 permutation 为 (3,2,4,1)。当预测 $x_2$，心愿模型只能晓得 $x_2$ 的地位信息然而不能晓得 $x_2$ 的内容，然而预测 $x_4$ 又心愿晓得 $x_2$ 的内容，即既不心愿 $g_2$ 蕴含 $x_2$ 的内容，又心愿 $g_2$ 蕴含 $x_2$ 的内容。这就产生了矛盾。
图 3
Two-Stream Self Attention
xlnet 的解决办法是，应用两种 hidden representation。
- content representation $h_{\theta}(\mathbf{x}_{\leq t})$
- query representation $g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$
其中，content representation $h_{\theta}(\mathbf{x}_{\leq t})$ 与规范的 transfomer 中的 hidden state 一样，都编码了单词 $x_{z_t}$ 本身的内容信息和其上下文的内容信息。query representation $g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$ 蕴含单词 $x_{z_t}$ 其上下文的内容信息和其地位信息。
能够将这两种 representation 类比 word2vec 模型中的 context embeding 和 target embedding。content representation $h_{\theta}(\mathbf{x}_{\leq t})$ 能够看作是单词 $x_{z_t}$ 作为其它单词的上下文（context）时，应用的 hidden state；query representation $g_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{<t}},z_t)$ 能够看作是单词 $x_{z_t}$ 作为被预测的 token（target）时，应用的 hidden state。
如图 4(c)所示，在输出层，$h^{(0)}$ 为单词的 embedding，$g^{(0)}$ 为随机初始化的向量。
图 4
图 5
图 6
query representaion 和 hidden representation 在前向流传中的计算形式为
$$g^{(m)}_{z_t}=Attention(Q=g^{(m-1)}_{z_t},KV=h^{(m-1)}_{z_{<t}};\theta)$$
$$h^{(m)}_{z_t}=Attention(Q=h^{(m-1)}_{z_t},KV=h^{(m-1)}_{z_{\leq t}};\theta)$$
如图 4(c)所示在计算 query representaion$g^{(m)}_{z_t}$ 时不会应用到单词本身的内容信息，对应的 attention mask，其主对角线上的值为 0；在计算 hidden representaion$h^{(m)}_{z_t}$ 时，会应用到单词本身的内容信息，对应的 attention mask，其主对角线上的值不为 0。
xlnet 抉择的 Autoregressive Model 时 Transfomer-XL，引入 Transfomer-XL 的两大个性：relative positional encoding schema 和segment recurrence mechanism。
对于 xlnet 的输出，假设又两个 segment，$\tilde{\mathbf{x}}$ 和 $\mathbf{x}$，别离对两个 segment 进行 permutation，并且前一个 segment 的 hidden state 会被后一个 segment 应用。
训练采纳 partial prediction
xlnet 通过应用 permutation language modeling，使得模型能够同时思考双向的信息（上下文），然而也带来了一些问题。（1）permuation 数量大，可通过采样解决；（2）在一个 permutation 中地位靠前的单词，其上下文的长度是很短的，对这些单词进行预测，收益不大，因而 xlnet 在训练模型时，只对 permutation 中靠后的单词进行预测，即采纳 partial prediction 的做法。
这样做的益处是，（1）靠后的单词，上下文长度较长，因而对样本的利用较为充沛；（2）只对虑靠后的大量单词进行预测（假如为后 $c$ 个的单词），因而没必要计算前 $c$ 个单词的 query representation（前 $c$ 个单词全副充当的是上下文的角色，因而只需计算 hidden representation），极大地缩小了计算量。
指标函数为，
$$\max_{\theta}\mathbb{E}_{z\sim \mathcal{Z}_T}[\log p_{\theta}(\mathbf{x}_{z_{>c}}|\mathbf{x}_{z_{\leq c}})]=\mathbb{E}_{z\sim \mathcal{Z}_T}[\sum_{t=c+1}^{|z|}\log p_{\theta}(x_{z_t})|\mathbf{x}_{z_{<t}}]$$
