算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度

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算法的时间复杂度

时间频度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的 语句执行次数 称为 语句频度 或时间频度。

时间复杂度

一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n) )，称O(f(n) ) 为算法的 渐进时间复杂度 ，简称 时间复杂度。

计算时间复杂度的方法

• 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数
• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 去除最高阶项的系数

常见的时间复杂度

常数阶 O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是 O(1)

int i = 1;
int j = 2;
i++;
j++;

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用 O(1)来表示它的时间复杂度。

对数阶 O(log2n)

int i = 1;
while(i<n){i = i * 2;}

在 while 循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环 x 次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n 也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)。O(log2n) 的这个 2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3，则是 O(log3n)

线性阶 O(n)

for(i = 1; i <= n; i++){j = i;}

这段代码，for 循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此这类代码都可以用 O(n)来表示它的时间复杂度

线性对数阶 O(nlog2n)

for(m =1;m<n;m++){
 i = 1;
 while(i<n){i = i * 2;}
}

线性对数阶 O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为 O(logn)的代码循环 N 遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了 O(nlogN)

平方阶 O(n^2)

for(j=1;j<n;j++){for(i=1;i<n;i++){m = j+i;}
}

平方阶 O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了 2 层 n 循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的 n 改成 m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

立方阶 O(n^3)

三层循环

k 次方阶 O(n^k)

k 层循环

指数阶 O(2^n)

常见的算法时间复杂度大小

由小到大依次为：Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n)，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，

建议

尽可能避免使用指数阶的算法

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

• 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
• 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
• 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关

算法的空间复杂度

• 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度 (Space Complexity) 定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
• 空间复杂度 (Space Complexity) 是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
• 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品 (redis, memcache) 和算法 (基数排序) 本质就是用空间换时间.

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