四阶矩阵的变换

一，原理

1. 四阶矩阵运算的原理和定义

• 在变换操作中，w 默认为 1
• 变换基点：x,y,z 构成的点位 point(x,y,z)，这是变换的基点
• a,b,c,…,p，每个因子都会和基点某一属性（比如 x）相乘，然后得到相应属性变换后的值。
• 矩阵因子结构：对应不同的变换方式，矩阵因子的函数体会不同

2. 顶点的变换方式有三种：

• 移动：距离
• 旋转：弧度
• 缩放：比例，一般是 (0-1)

3. 物体变换的本质：物体的变换就是对架构了物体的所有顶点进行变换

4. 顶点变换的本质：顶点位置的改变

• 顶点的移动是其基于某一基点的移动
• 顶点的缩放是其到某一基点的距离的改变
• 顶点的缩放是其围绕某一基点，在某一个方向上，做弧形移动

5. 变换矩阵的作用：在对顶点的进行多种方式的复杂变换时，使程序简洁明了

二，顶点变换的运算规则

1. 移动：已知顶点的移动距离 distance 为 (dx,dy,dz)，求用于计算移动点位的矩阵因子结构

• 移动的表达式为：

x'=x+dx
y'=y+dy
z'=z+dz

• 根据表达式推导矩阵的因子结构

2. 旋转：已知顶点绕 x 轴旋转的弧度 radian 为 θ，求用于计算旋转点位矩阵因子结构

• 绕 x 轴旋转的表达式为：

y'=y*cos(θ)-z*sin(θ)
z'=y*sin(θ)+z*cos(θ)

• 根据表达式推导矩阵因子结构

1     0            0              0
0     cos(θ)    -sin(θ)           0
0     sin(θ)     cos(θ)           0
0     0            0              1

• 同理可以推导出绕 y 轴和 z 轴旋转的矩阵因子结构

y 轴：

cos(θ)     0      sin(θ)       0
0          1      0            0
-sin(θ)    0      cos(θ)       0
0          0      0            1

z 轴：

cos(θ)      -sin(θ)      0      0
sin(θ)       cos(θ)      0      0
0            0           1       0
0            0           0      1

3. 缩放，矩阵因子结构的推导原理同上

x     0     0     0
0     y     0     0
0     0     z     0
0     0     0     1

4. 矩阵默认的因子结构一般为：基点在零点，缩放为 1，如下

1     0     0     0
0     1     0     0
0     0     1     0
0     0     0     1

注：
以上几种矩阵因子结构是比较基础和常用的。
矩阵因子还有许多其它的结构，比如欧拉 euler，四元数 quaternion，转置矩阵 transpose 等等。
详情可参考：https://threejs.org/docs/inde…