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贝塞尔曲线又叫贝兹曲线，在大学高数中一度让我非常头疼。前阵子练手写动画的时候，发现贝塞尔曲线可以应用于轨迹的绘制以及定义动画曲线。
本文就来探究一下，贝塞尔曲线到底是个什么样的存在。
贝塞尔曲线原理
贝塞尔曲线由 n 个点来决定，其曲线轨迹可以由一个公式来得出：
其中 n 就代表了贝塞尔曲线是几阶曲线，该公式描述了曲线运动的路径。
以下我们来讨论一下，贝塞尔公式如何推导。
一阶贝塞尔曲线
设定图中运动的点为 Pt，t 为运动时间，t∈(0,1)，可得如下公式
二阶贝塞尔曲线
在二阶贝塞尔曲线中，已知三点恒定（P0,P1,P2），设定在 P0P1 中的点为 Pa，在 P1P2 中的点为 Pb，Pt 在 PaPb 上的点，这三点都在相同时间 t 内做匀速运动。
由公式 (1) 可知
将公式 (2)(3) 代入公式 (4) 中，可得
三阶贝塞尔曲线
同理，根据以上的推导过程可得
由此可以推导
n 阶贝塞尔曲线
放上一个网址，随意感受一下贝塞尔曲线的绘制过程：
http://myst729.github.io/bezi…
实际应用
贝塞尔曲线在前端中主要有两方面的应用，一方面可以作为动画曲线应用于 CSS3 动画中；另一方面可以通过 canvas 来绘制曲线达到需要的效果。
CSS3 中贝塞尔曲线的应用
在 CSS3 中，有两属性经常被用到：transition-timing-function 和 animation-timing-function, 这两个分别代表了过渡的速度和动画的速度。CSS3 为我们提供了一个新的工具——cubic-bezier(x1,y1,x2,y2)。这个工具能够生成一个速度曲线，使我们的元素按照该曲线来调节速度。
在上面的推导中，我们知道在贝塞尔公式中，有两个点的位置恒定——P0 和 P1，cubic-bezier 中定义了两个控制点的位置，所以该曲线为三阶贝塞尔曲线。
有个网站可以方便我们快速建立一个贝塞尔曲线：cubic-bezier
贝塞尔曲线与动画曲线的关联
先来一波动图简单粗暴的感受一下：例一：
例二：
例三：
左边的是贝塞尔曲线，横轴代表了事件，竖轴代表了进度，无法直观得感受出速度的变化。
右边的曲线是控制面板中的动画曲线，横轴是时间，竖轴是速度，可以方面地看出速度的变化。
上述例子中，以前进反向为速度正方向，后退方向为速度反方向。
如何得知速度的变化
推导
例一中，贝塞尔曲线为一条直线，当时间均匀变化时，进度也在均匀变大，由此可知速度恒定不变，时间和进度之间的关系可以用一个线性方程来表示：
y=ax+b (a=1,b=0)
其中 x 为时间，y 为进度，a 即为速度。
推导案例一
从上面结论中启发，去观察其他贝塞尔曲线，
图中是一段变化的曲线，我们取其中一小段，将其看作稳定不变的一段直线，通过下面的线性方程来表示，并通过红线标注在图中：
y=ax+b
根据初中数学的内容，我们知道，当 a >1 时，与 x 轴的夹角∈（45°,90°)；当 a∈(0,1)时，与 x 轴的夹角在 (0,45°) 之间。相同的时间内，与 x 轴的夹角越大，a 越大，速度越快。
观察上图的夹角变化趋势，夹角逐渐变小趋向于 0，而后逐渐变大，趋向于 90°，对应速度应是速度逐渐变慢趋向于 0，之后逐渐变快。
放上动画曲线以及动图来验证一下我们的推测：
推导案例二
下图中的曲线部分在第四象限，部分在第一象限，这时对应的动画曲线该如何推导呢。
同样将该曲线视为由 n 段平滑的直线构成，由线性方程来表示直线的趋势，可知速度 a 方向一开始为负，之后慢慢向正方靠近，a 的速率也在由大变小，当为 0 时，再向正方慢慢变大。即该曲线表示元素一开始在朝反方向减速运动，当速度为 0 后，向正方向作加速运动。
通过动画曲线及动图来验证上述推导：
验证
用两个曲线来验证一下上面的结论：
曲线一：
曲线二：
从结果可以判断，用上述推导方法可以正确得出贝塞尔曲线与动画曲线之间的关系。
动画曲线的应用
了解了如何用贝塞尔曲线来指定动画曲线后，很多动画涉及到速度方面的效果就可以实现了，例如小车加速刹车，弹簧动画等速度轨迹都可以根据自己的需要来进行定制。
放上一个缓动函数速查网址，可以让自己的动效更加真实：缓动函数
放一个小例子：
该动画模拟了小球落下回弹的过程
代码如下：
<div class=”ground”>
<div class=”ball” id=”ball”></div>
</div>
.ball {
width: 30px;
height: 30px;
background: #000000;
border-radius: 50%;
position: absolute;
top: 0;
left: 50%;
animation: move 4s cubic-bezier(0.36, 1.7, 0.26, 0.61) 1s infinite;
}
@keyframes move {
0% {
top: 0;
}
100% {
top: 90%;
}
}
这类动画可以参考网上大大们的案例：
贝塞尔曲线与 CSS3 动画、SVG 和 canvas 的应用
理解与运用贝塞尔曲线
利用 canvas 绘制贝塞尔曲线
canvas 中提供了 api 可以快速绘制一条贝塞尔曲线，来达到需要的效果：
二阶贝塞尔曲线
quadraticCurveTo(x1,y1,x2,y2)
var c=document.getElementById(“myCanvas”);
var ctx=c.getContext(“2d”);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(20,20);
ctx.quadraticCurveTo(40,200,200,20);
ctx.stroke();
其中 moveTo 定义了起始点，quadraticCurveTo(x1,y1,x2,y2)中的 (x1,y1) 为控制点，(x2,y2)为终点
三阶贝塞尔曲线
bezierCurveTo(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
var c=document.getElementById(“myCanvas”);
var ctx=c.getContext(“2d”);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(20,20);
ctx.bezierCurveTo(40,100,200,150,200,20);
ctx.stroke();
其中 moveTo 定义了起始点，bezierCurveTo(x1,y1,x2,y2)中的 (x1,y1),(x2,y2) 为控制点，(x3,y3)为终点
总结
为了弄清贝塞尔曲线是个什么东西，和动画曲线、速度又有什么关联，作者跑去复习了一下那些早扔给老师的东西，有说错的请轻拍 /(ㄒ o ㄒ)/~~
广而告之
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