4:FindMedianSortedArrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

一、按时间复杂度 O（m+n）解

先来解释一下什么是中位数

如下：[3，4，5] , 那么这组数的中位数就是 4
[3，4，5，6] , 那么这组数的中位数就是（4+5）/2 = 4.5

开始没有注意到时间复杂度，但按照 O（m+n）解，也花了我不少时间，可能是很久没有接触算法的缘故。

二、二分法求解

根据上面对中位数的解释，以及对于题目中给出的有序数组 nums1[m]，nums2[n]。可以想到，最后肯定是 nums1 的一部分在中位数的左边，一部分数在中位数的右边，nums2 同理。

所以咱们可以将 nums1 和 nums2，合并后划分成，左右两个数组。

nums1[0],...,nums1[i-1] | nums1[i] ... nums1[m-1]
nums2[0],...,nums2[j-1] | nums2[j] ... nums2[m-1]

也可以看成是下面这种

nums1[0],...,nums1[i-1]，nums2[0],...,nums2[j-1] | nums1[i] ... nums1[m-1]，nums2[j] ... nums2[m-1]

左右两个数组的总数可能是奇数，也可能是偶数。所以规定，如果是 奇数 ，那么左边比右边多一个，如果是 偶数，那么左右两边相等。

这里来说一下 i 和 j 的关系
左边数组的个数 t =（int)(m+n+1)/2
j = t – i.

理解清楚了 i 和 j 的关系之后，那么接下来就要判断中位数了
抓住数组有序这个条件。
可知如果满足中位数的条件左边最大的数 leftMax 小于 右边最小的数 rightMin
并且左边数组个数一定是等于右边数组个数，或者是比右边数组个数多 1 个。

最重要的来了
根据上面一系列的条件，那么现在要做的就是通过二分法选出合适的 i，进而得到中位数

还得考虑边界问题，这个在下面代码中给出注释

代码如下：

class Solution{
/**
 * @param Integer[] $nums1
 * @param Integer[] $nums2
 * @return Float
 */
function findMedianSortedArrays($nums1, $nums2) {$m = count($nums1);
    $n = count($nums2);
    // 如果 $m>$n 时，后面的 $j 会可能小于 0。也就是上面提到的不等式（t =（int)(m+n+1)/2。j = t - i.）if($m>$n) return $this->findMedianSortedArrays($nums2,$nums1);
    
    $t = (int)(($m+$n+1)/2);
    $i = 0;
    $j = 0;
    
    /** 要理解清楚下面两组 max，min 的意思 */
    $leftMax = 0;// 左边数组的最大值
    $rightMin = 0;// 右边数组的最小值
    $iMax = $m;// 二分法的右边界
    $iMin = 0;// 二分法的左边界
    
    while($iMax >= $iMin){
        // 二分法
        $i = (int)(($iMax+$iMin)/2);
        $j = $t-$i;
        if ($i>0 && $j<$n && $nums1[$i-1] > $nums2[$j]){// 利用数组有序，可以只比较一次
            $iMax=$i-1;
        }elseif ($j>0 && $i<$m && $nums1[$i] < $nums2[$j-1]){// 利用数组有序，可以只比较一次
            $iMin=$i+1;
        }else{// 二分到最后 最佳位置
            if ($i==0){$leftMax = $nums2[$j-1];
            }elseif ($j==0){$leftMax = $nums1[$i-1];
            }else {$leftMax = max($nums2[$j-1],$nums1[$i-1]);
            }
            if(($m+$n)%2 == 1){// 数组和是奇数
                return $leftMax;
            }
            // 数组和是奇数
            if ($i == $m){$rightMin = $nums2[$j];
            }elseif ($j == $n){$rightMin = $nums1[$i];
            }else {$rightMin = min($nums2[$j],$nums1[$i]);
            }
            return ($leftMax+$rightMin)/2;
        }
    }        
}
}

讲解问题的能力还有待进一步提高。如果有问题欢迎私聊。