63. 不同路径 II

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start”）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

图源来自：LeetCode 63. 不同路径 II

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

说明： m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入:
[[0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

解题思路

思路：动态规划

先看题目，题目中说明【机器人每次只能向下或者向右移动一步 】。也就是说，假设我们能够到达右下角终点（ 坐标 (m,n)）的路径为 f(m,n)，那么能到到达这里的路径只能是从上方或者左方的格子走过来。那么，也就能得到这样的公式：

f(m,n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)

在上面公式的基础上，加上递归终止的条件。但是这种递归属于自底向上的递归，考虑将其改为自顶向下的递归，即：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

这里我们先进行状态定义：设 dp[i][j] 表示走到格子 (i, j) 的路径数。

如果格子 (i, j) 有障碍物的话，那么就表示无法通过，也就表示走到该格子的路径数为 0。此时 dp[i][j] = 0。

如果格子 (i, j) 没有障碍物的话，根据前面的分析，那么走到 (i, j) 格子的路径就来自于上方或者左方。那么到达该点的路径数也就等于上方的路径数加上左方的路径数之和。即：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

那么状态转移方程如下：

提前补充：在实现代码执行的过程中，发现有个用例无法通过，就是 [[1, 0]]。这个表示当出发位置即为障碍物时，后续无法通过。

对 dp 数组进行初始化，因为机器人只能往右往下移动。在网格当中，第一列的格子，机器人只能从上往下移动（不存在从左往右），而第一行的格子，机器人只能从左往右（不存在从上往下）。先定义 dp 数组，设值为 0，对第一列和第一行进行初始化。（结合上面的补充）即是：

• 对于第一列，无障碍物时初始化 dp[i][0] = 1，如果有障碍物则表示后续的无法通过，此处后续不做处理；
• 对于第一行，无障碍物时初始化 dp[0][j] = 1，如果有障碍物则，同上对此处后续不作处理。

具体的代码实现如下。

代码实现

from typing import List

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        if len(obstacleGrid) == 0 or not obstacleGrid:
            return 0

        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])

        # 先定义 dp 数组
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]

        # 对第一列和第一行进行初始化
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 1:
                break
            dp[i][0] = 1

        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 1:
                break
            dp[0][j] = 1
        
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

        return dp[m-1][n-1]

实现结果

总结

• 审题可得，机器人只能往右往下移动。那么到达终点 (i,j) 此处，只能是从上方或者左方过来。那么设 f(m, n) 为到达终点的路径数，那么 f(m, n) = f(m-1, n) + f(m, n-1)；
• 上面的公式加上递归属于自底向上的递归，存在重复计算。那么将其转换为自顶向下的递归，即是：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
• 先进行状态定义：dp[i][j] 表示到达 (i, j) 的路径数。

• 求状态转移方程：

  • 如果 (i, j) 此处存在障碍物，那么表示没有路径能够到达此处，所以 dp[i][j]=0；
  • 如果 (i, j) 此处不存在障碍物，那么根据上面的分析，此时到达该点的路径数为左方的路径数加上上方的路径数之和，即是：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

• 进行初始化，对第一行和第一列单独进行处理（先初始化 dp 数组的值为 0）。

  • 因为第一行不存在从上往下的路径，所以初始化 dp[0][j] = 1，如果有障碍物则表示后续的无法通过，此处后续不做处理；
  • 同样第一列不存在从左往右的路径，所以初始化 dp[i][0] = 1，如果有障碍物同上，此处后续不做处理。

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