换个姿势学数学:广义二次函数的致命魔术

UX006
在 UX005 中我们通过计算机成功的解决了,广义二次函数零点的计算问题,并且成功拆除了炸弹。
那么,人们到底是如何解决这个问题的呢? 其实就是:转换角度。
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。 — 苏轼《题西林壁》
神秘的“配方”
➣那没有计算机之前,人们到底是如何解方程的呢?
用的是一种叫做“配方法”的技巧。
什么叫做“配方”?
这个词不好理解,其实就是“多项式因式分解”。
一个多项式,可以看成系数和多项式乘积的形式。
其实这就是“乘法的分配律”:pa+pb+pc=p(a+b+c)。
广义二次函数的通式 ax^2+bx+c 也是可以这么搞的。
最终都可以分解成两种形式,一种是任意两个多项式乘积的形式A;另外一种是平方形式(两个相同的多项式乘积)和一个常数组成新的多项式B。
这个是很容易理解的,一定是可以这么分解成的,这种操作是一种计算技巧,有了计算机之后,其实就不是那么重要了。所以这里也不多介绍,对这种技巧感兴趣的可以搜一下“配方”或者“因式分解”。自己琢磨也行,鼓捣鼓捣基本上都能够分出来。另外,我在后面也会贴一张《普林斯顿微积分》中因式分解的简单介绍,作为参考。[1]
形式N(通式):f(x)ax^2+bx+c (a≠0)形式A(两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)形式B(顶点式):f(x)=a(x-m)^2+n (a≠0)
➣为什么,形式B后面还要加上一个常数项呢?
如果不加这个常数项的话,他是不能组成任意的形式N的。因为这种“平方”的形式,要求两个多形式是一致的,结果的多样性自然是不如任意组合的形式A,所以只能靠后期常数凑出来。
因式分解之后有什么好处呢?
分解之后,我们能够从另一个角度来看待这个解析式,而这个角度恰好是我们需要的。
两根式形式,能让我们一眼就看出当f(x)=0时的解,这个解就是(x1,x2)。这个自不必多言,想必大家一看就懂。
最重要的是这个“顶点式”,它代表着什么意思呢?为什么会这样呢?
非负次幂多项式函数
其实我们学的一次函数和二次函数都属于“非负次幂多项式函数”,这种函数经都是经过“幂函数”,变化得来的。

广义二次函数其实可以看成是零次函数+一次函数+二次函数这三种幂函数运算的产物。

这也正是我把二次函数定义收窄的原因,因为这个名字实在太基础了,这么用掉实在是太可惜。
函数的运算不只是加减乘除,之前我们说过,他还有一种运算叫做复合,所以还可以看成这种形式。
坐标系上的魔法师

重新回到广义二次函数通式。

在上一节中我们讲到,广义二次函数只是在二次函数的基础上经过位移得到的,基本上的形状并没有任何改变。
那么,理论上讲,我们可以通过任意的二次函数经过x轴和y轴的位移变成广义二次函数。
Y轴位移
➣那么怎么位移呢?
Y轴的位移是非常简单的,直接在Y上再加常数项就是了:因为Y其实就是输出值,所以从解析式来看,就是在解析式的末尾加了一个常数;从图像的角度来看,就相当于拽着整个图像,上下移动。
这个我们在一次函数上讲到过。二次函数完全同理。

X轴位移
➣X轴如何位移呢?
其实同理,就是在x上增减常数就是了。

所以两者一结合就可以形成一种任意移动的形式,这种形式就是所谓的“顶点式”。
其中,a负责二次函数开合角度和方向(a是二次函数放大系数),b负责X轴移动,c负责Y轴移动。

➣为什么叫做“顶点式”?
因为,从这个解析式中可以直观的看出顶点,坐标就是{-b, c}。
这个其实不难理解,因为一开始的时候b=0&c=0的时候,顶点是(0,0),形状不变的情况下,整个图形进行了移动,那么整个图形的移动和顶点的位移其实是一样的。
复合运算
其实,顶点式可以看成一次函数与二次函数以及零次函数的一种复合运算。

真实面目

总结

还没有计算机之前,人们通过“因式分解”,这种计算技巧,通过转换角度来解决函数零点的计算问题。
广义二次函数可以看成幂函数的运算结果。

注释
[1]

关于本文

该系列文章均采用 CC BY-NC-SA 3.0 协议授权。
欢迎您纠错和提出改进意见,您可以通过私信联系我。
批评之前,请先看常见问题解答(FQA)和该系列开篇词。类似质疑,可能早已回应。
文章的改进空间很大,内容可能会经常变化。
均在“简书”平台更新,其他平台上的是最初版,不更新。

作者信息
我是心如止水,欢迎你和我换个姿势学数学。

评论

发表回复

您的邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注

这个站点使用 Akismet 来减少垃圾评论。了解你的评论数据如何被处理