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三方复制机密共享（二）
上次科普介绍了在布尔电路下的三方复制机密共享计划，这次科普介绍把它扩大到环 \(2^n \) 下的形式。
首先是在环 \(2^n \) 下生成三个随机数 \(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3 \)，并且满足 \(𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3=0 \)。上次科普曾经介绍过满足条件 \(𝑎_1⊕𝑎_2⊕𝑎_3=0 \) 的随机数生成形式，满足条件满足 \(𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3=0 \) 的只需对上次的形式进行一些小更改：
Alice、Bob、Candy 别离生成随机数𝜌1,𝜌2,𝜌3，Alice 将𝜌1 发送给 Bob，Bob 将𝜌2 发送给 Candy，Candy 将𝜌3 发送给 Alice。接着 Alice 计算𝑎1=𝜌1−𝜌3，Bob 计算𝑎2=𝜌2−𝜌1，Candy 计算𝑎3=𝜌3−𝜌2。
显然，\(𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3 \)= 𝜌1−𝜌3+𝜌2−𝜌1+𝜌3−𝜌2=0。
– 三方产生满足𝑎1+𝑎2+𝑎3= 0 的随机数 –
假如机密为𝑥, 𝑦，则 \(𝑥_1=𝑎_3−𝑥，𝑥_2=𝑎_1−𝑥，𝑥_3=𝑎_2−𝑥；𝑦_1=𝑏_3−𝑦，𝑦_2=𝑏_1−𝑦，𝑦_3=𝑏_2−𝑦 \)。Alice 持有 \((𝑥_1,𝑎_1), (𝑦_1,𝑏_1) \)，Bob 持有 \((𝑥_2,𝑎_2), (𝑦_2,𝑏_2) \)，Candy 持有 \((𝑥_3, 𝑎_3), (𝑦_3, 𝑏_3) \)。
加法的实现形式为：布尔电路上的加法原理雷同，Alice、Bob 和 Candy 在模下间接本地计算 \(𝑥_𝑖+𝑦_𝑖 \) 即可。如 Alice 计算
\(𝑧_1=𝑥_1+𝑦_1=𝑎_3−𝑥+𝑏_3−𝑦=(𝑎_3+𝑏_3)−(𝑥+𝑦)，𝑐_1=𝑎_1+𝑏_1 \)。同理 Bob 计算 \(𝑧_2=𝑥_2+𝑦_2=𝑎_1−𝑥+𝑏_1−𝑦=(𝑎_1+𝑏_1)−(𝑥+𝑦)，𝑐_2=𝑎_2+𝑏_2 \)；Candy 计算
\(𝑧_3=(𝑥_3+𝑦_3)=𝑎_2−𝑥+𝑏_2−𝑦=(𝑎_2+𝑏_2)−(𝑥+𝑦)，𝑐_3=𝑎_3+𝑏_3 \)。能够验证：
– 三方加法实现形式 –
乘法的实现形式为：
Alice、Bob 和 Candy 利用上述的随机数生成形式，生成满足𝛼+𝛽+𝛾=0，条件随机数𝛼, 𝛽, 𝛾。Alice 计算 \(r_{1}=\frac{x_{1} y_{1}-a_{1} b_{1}+\alpha}{3} \)，并且把𝑟1 发送给 Bob；Bob 计算 \(r_{2}=\frac{x_{2} y_{2}-a_{2} b_{2}+\beta}{3} \)，并且把𝑟2 发送给 Candy；Candy 计算 \(r_{3}=\frac{x_{3} y_{3}-a_{3} b_{3}+\gamma}{3} \)，并且把𝑟3 发送给 Alice。
Alice 让 \(𝑧_1=−2𝑟_3−𝑟_1，𝑐1=𝑟_3−𝑟_1 \)；
Bob 让 \(𝑧_2=−2𝑟_1−𝑟_2，𝑐2=𝑟_1−𝑟_2 \)；
Candy 让 \(𝑧_3=−2𝑟_2−𝑟_3，𝑐_3=𝑟_2−𝑟_3 \)。
显然：\(𝑐_1+𝑐_2+𝑐_3=𝑟_3−𝑟_1+𝑟_1−𝑟_2+𝑟_2−𝑟_3=0 \)，能够验证：
因而有：
同理可推导出，\(𝑧_2=𝑐_1−𝑥𝑦，𝑧_3=𝑐_2−𝑥𝑦 \)，正确性得证
– 三方乘法实现形式 –