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一、QPSK 背景
略
二、原理概述
2.1 PSK 调制
发送端发送的是一连串离散而随机的二进制比特流，应用 PSK 载波相位调制的办法，这样发送端发送的音讯便蕴含在了相位中，此种调制办法能够非常无效地节约带宽。
$$
u_{m}(t)=A g_{T}(t) \cos (2 \pi f_{c} t+\frac{2 \pi m}{M}), m=0,1, \ldots, M-1
$$
其中, $g_{T}(t)$ 是发送滤波器的脉冲形态, 传输信号的频谱个性由它决定。A 则是信号 的幅度。在 psk 调制中, 所有的 psk 信号对于所有的 $\mathrm{m}$ 都具备雷同的能量。能量为:
$$
\varepsilon_{m}=\int_{-\infty}^{+\infty} u_{m}^{2}(t) d t=\varepsilon_{s}
$$
$ \varepsilon_{s}$ 代表每个传输符号的能量。
在本次试验中, 为了不便剖析, 咱们令 $\mathrm{A}=1$, $g_{T}(t)=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}}, 0 \leq t \leq T$ , 那么, 相应的 $\mathrm{psk}$ 调制信号的波形为
$$
\begin{array}{c}
u_{m}(t)=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}} \cos (2 \pi f_{c} t+\frac{2 \pi m}{M})=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s}}{T}}(A_{m c} \cos 2 \pi f_{c} t-A_{m s} \cos 2 \pi f_{c} t), \\
m=0,1, \ldots, M-1,0 \leq t \leq T
\end{array}
$$
咱们规定:
$$
\{\begin{array}{l}
A_{m c}=\cos \frac{2 \pi m}{M} \\
A_{m s}=\sin \frac{2 \pi m}{M}
\end{array}, m=0,1, \ldots, M-1.
$$
通过上述剖析, 咱们不难得出, 这样一个相位调制信号能够看作两个正交载波, 因而, 数字相位调制信号能够在几何上可用二维向量的模式来示意, 即
$$
\vec{s}_{m}=(\sqrt{\varepsilon_{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M})
$$
正交基函数为:
$$
\{\begin{array}{l}
\psi_{1}(t)=g_{T}(t) \cos 2 \pi f_{c} t \\
\psi_{2}(t)=-g_{T}(t) \sin 2 \pi f_{c} t
\end{array}.
$$
2.2 信号传输
调制信号在 AWGN 信道传输的时候, 会有噪声混淆进来, 此时输入信号变为:
$$
r(t)=u_{m}(t)+n_{c}(t) \cos (2 \pi f_{c} t)-n_{s}(t) \sin (2 \pi f_{c} t)
$$
其中, n_{c}(t) 和 n_{s}(t) 别离是加性噪声的同相重量和正交重量, 之后, 咱们将输入信号和 给出的基函数作相干, 则两个相关器的输入为:
$$
r=s_{m}+n=(\sqrt{\varepsilon_{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}+n_{c}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M}+n_{s})
$$
须要留神的是 $n_{c}(t)$ 和 $n_{s}(t)$ 这两个正交噪声的重量是零均值, 互不相干的高斯随机过程。
2.3 解调形式
（1）最小欧式间隔准则裁决
最小欧式间隔准则裁决：求出接管到的信号向量与 M 个传输向量的欧式间隔，选取对应的最小欧式间隔的向量，该向量对应的符号即为裁决输入符号。此种办法须要把握间隔度量的概念并纯熟使用，上面给出对于间隔度量具体的实践剖析：
在接管音讯尚不确定 (即还没有接管到矢量 $\vec{r}$ ) 的状况下, 要使得先验概率为最大, 最好的裁决办法就是抉择具备最高先验概率 $P(\vec{s}_{m})$ 的信号; 承受到矢量 $\vec{r}$ 后, 其办法与 前者相似, 前者是寻找先验概率的最大值, 此时是寻找后验概率的最大值, 换言之, 选 择使 $P(\vec{s}_{m} \mid \vec{r})$ 最大的 $\vec{s}_{m}$，这个裁决准则称为最大后验概率 (MAP) 准则。
依据贝叶斯公式, 后验概率可示意为:
$$
P(\vec{s}_{m} \mid \vec{r})=\frac{f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m}) P(\vec{s}_{m})}{f(\vec{r})}
$$
当 M 个信号先验概率相等, 因为 $f(\vec{r})$ 和 $P(\vec{s}_{m})$ 均为确定的值 $(P(\vec{s}_{m})=\frac{1}{M})$。则寻找 $P(\vec{s}_{m} \mid \vec{r})$ 的最大值就等价于寻找 $f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})$ 的最大值。此时 MAP 准则简化为 $\mathrm{ML}$ 准则。
咱们无妨对接管到的矢量 $\vec{r}$ 进行简要的剖析, $\vec{r}=\vec{s}_{m}+\vec{n}, \vec{s}_{m}$ 是信号矢量, $\vec{n}$ 是 AWGN 信道中的噪声矢量, 噪声矢量的重量 $n_{k}$ 遵从散布 $N(0, \frac{N_{o}}{2})$ , 则 $r_{k}$ 遵从散布 $N(s_{m k}, \frac{N_{o}}{2})$。
因而
$$
\begin{aligned}
f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m}) & =\prod_{k=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{\pi N_{0}}} \mathrm{e}^{-\frac{(r_{k}-s_{m k})^{2}}{N_{0}}} \\
& =\frac{1}{(\pi N_{0})^{\frac{N}{2}}} e^{\frac{|\vec{r}-\vec{s}_{m}|^{2}}{N_{0}}}, m=1,2, \ldots, M
\end{aligned}
$$
右端取对数有:
$$
\ln f(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})=-\frac{N}{2} \ln (\pi N_{0})-\frac{1}{N_{0}} \sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}
$$
上式若要获得最大值, 不言而喻 $\sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}$ 须要取最小值。这也是合乎咱们直观印象的, 信号空间里两个信号点的欧氏间隔越小, 阐明它们越靠近。
因而，定义间隔度量 $D(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})$ 如下:
$$
D(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})=\sum_{k=1}^{N}(r_{k}-s_{m k})^{2}, m=1,2, \ldots, M
$$
(2) 最佳检测器
最佳检测器将收到的信号向量 $\mathrm{r}$ 投射到 M 个可能的传输信号向量 $\{s_{m}\}$ 之一下来, 并 选取对应与最大投影的向量。将上述定义的间隔度量开展:
$$
D(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})=|\vec{r}|^{2}-2 \vec{r} \cdot \vec{s}_{m}+|\vec{s}_{m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M
$$
其中, $|\vec{r}|^{2}$ 项对所有的裁决度量是等价的的, 咱们疏忽这一项, 则失去相干度量:
$$
C(\vec{r} \mid \vec{s}_{m})=2 \vec{r} \cdot \vec{s}_{m}-|\vec{s}_{m}|^{2}, m=1,2, \ldots, M
$$
能够看出, 间隔度量越小, 则相干度量越大。即相干度量与间隔度量是齐全等价的。
2.4 谬误概率
实践谬误概率:
$$
\begin{array}{l}
\text {8PSK:} \operatorname{erfc}(\sqrt{3 \times 10^{\frac{S N R}{10}}} \times \sin (\frac{\pi}{8})) ; \\
\text {QPSK:} \operatorname{erfc}(\sqrt{10^{\frac{S N R}{10}}}) \times(1-0.25 \times \operatorname{erfc} \sqrt{10^{\frac{S N R}{10}}})
\end{array}
$$
理论谬误概率:
误码率: 错误码元 / 传输总码元
误比特率: 谬误比特 / 传输总比特
三、零碎框图
8PSK:
四、子函数设计
4.1 随机比特序列的产生
1. 设计原理：
应用函数 rand 随机产生 0 到 1 之间的一串数，且依照 0.5 的裁决门限标准化为 0 和 1。
2. 代码实现
function[a1]=bit(N)%N 为想生成的随机序列的长度
y=rand(1,N);% 生成一行 N 列在 0~1 之间的随机数
a1=zeros(1,N);
for i=1:N
if y(i)>=0.5
a1(i)=1;
else
a1(i)=0;% 以 0.5 为门限对信号进行裁决
end
end
end4.2 比特序列进行格雷编码转换成四进制符号序列
1. 设计原理
利用函数 f(xy)=|3x-y| 可将相应的比特序列 xy 用格雷码映射成对应的四进制符号。8psk 中也能够用相似的函数将比特序列 xyz 用格雷码映射成对应的八进制符号。
2. 代码实现
% 四进制格雷码转换
function[a1,a2]= GrayEncode(N)
%a1 是二进制随机比特序列，a2 是四进制符号序列
a1=bit(2*N);%2L 长度的随机比特序列
a2=zeros(1,N);% a2 用来寄存长度为 L 的码元序列
for i=1:2:2*N-1
a2((i+1)/2)=abs(a1(i)*3-a1(i+1));% 将比特序列用格雷码映射转换成四进制数
end
end
% 八进制格雷码转换
function[a1,a2]=GrayEncode8(N)
%a1 是二进制随机比特序列，a2 是八进制符号序列
a1=bit(3*N);%3L 长度的随机比特序列
a2=zeros(1,N);%a2 用来寄存长度为 L 的码元序列
for i=1:3:3*N-2
a2((i+2)/3)=abs(a1(i)*7-abs(a1(i+1)*3-a1(i+2)));
% 将二进制比特序列进行格雷编码码转换成八进制序列
end
end4.3 映射函数
1. 设计原理
利用原比特序列求出码元能量，之后依据
$$
\vec{s}_{m}=(\sqrt{\varepsilon_{s}} \cos \frac{2 \pi m}{M}, \sqrt{\varepsilon_{s}} \sin \frac{2 \pi m}{M})
$$
用 for 循环遍历，对横纵坐标别离进行映射即可。
2. 代码实现
%QPSK 坐标映射
function [y2]=ShineUpon(x,bit)
%x 是编码后的四进制序列,bit 是原来生成的二进制随机序列
N=length(x);
Es=bit*bit'/N;
y2=zeros(2,N);%y2 的第一行用来存储横坐标，第二行用来存储纵坐标
for i=1:N% 实现坐标映射
y2(1,i)=sqrt(Es)*cos(pi/2*x(i));
y2(2,i)=sqrt(Es)*sin(pi/2*x(i));
end
end
%8PSK 坐标映射
function [y3]=ShineUpon8(x1,bit)
%x1 是编码后的八进制序列,bit 是原来生成的二进制随机序列
N=length(x1);
Es=bit*bit'/N;
y3=zeros(2,N);%y3 的第一行用来存储横坐标，第二行用来存储纵坐标
for i=1:N% 坐标映射
y3(1,i)=sqrt(Es)*cos(pi/4*x1(i)+pi/8);
y3(2,i)=sqrt(Es)*sin(pi/4*x1(i)+pi/8);
end
end4.4 噪声生成函数
1. 设计原理
不再赘述。
2. 代码实现
function [n]=NoiseOutput(N,sigma)
% 产生高斯随机噪声的子函数，sigma 为标准差，N 为噪声序列的长度
nc=zeros(1,N);
ns=zeros(1,N);
for i=1:N
u=rand;
z=sigma*sqrt(2*log(1/(1-u)));
u=rand;
nc(i)=z*cos(2*pi*u);
ns(i)=z*sin(2*pi*u);
end
n=zeros(2,N);
n(1,:)=nc;
n(2,:)=ns; % 输入两路互相正交的高斯信号
end4.5 信道输入函数
1. 设计原理
行将映射后的信号的横纵坐标别离叠加输入的两路正交噪声。
2. 代码实现
function[y]=ChannelOutput(y1,n)
y=zeros(2,length(y1));
y(1,:)=y1(1,:)+n(1,:);
y(2,:)=y1(2,:)+n(2,:);
end4.6 裁决函数
1. 设计原理
通过不同的裁决办法对加噪信号进行裁决：
最大投影准则求加噪信号在各发送信号的投影值求最大值。将最大值对应的发送信号作为此接管信号的发送信号。
最小欧式间隔求各加噪信号和各发送信号之间的间隔求最小值。将最小值对应的发送信号作为此接管信号的发送信号。
记录裁决后的发送信号对应的点（0 到 M -1），依照格雷码编码规定，不同的点对应不同的比特组合，最初将各个点的比特组合连接成裁决之后的比特流。
2. 代码实现
%QPSK 最小间隔裁决函数
function [y4]=MinDistance(y,Es)
%Es 是每码元的能量，y 是 AWGN 信道输入函数，a 是裁决之后失去的序列
N=length(y);
y4=zeros(1,N);
b=zeros(4,N);
c=zeros(1,N);
for i=1:N % 最小间隔裁决
b(1,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(0))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(0))^2;
b(2,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/2))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/2))^2;
b(3,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi))^2;
b(4,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(3*pi/2))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(3*pi/2))^2;
c(i)=min([b(1,i),b(2,i),b(3,i),b(4,i)]);
% 找出最小间隔度量
switch c(i)% 裁决并恢复原序列
case{b(1,i)}
y4(i)=0;
case{b(2,i)}
y4(i)=1;
case{b(3,i)}
y4(i)=2;
case{b(4,i)}
y4(i)=3;
end
end
end
%8PSK 最小间隔裁决函数
function [y4]=MinDistance8(y,Es)
%Es 是每码元的能量，y 是 AWGN 信道输入函数，a 是裁决之后失去的序列
N=length(y);
y4=zeros(1,N);
b=zeros(8,N);
c=zeros(1,N);
for i=1:N % 最小间隔裁决
b(1,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8))^2;
b(2,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+pi/4))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+pi/4))^2;
b(3,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+pi/2))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+pi/2))^2;
b(4,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+3*pi/4))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+3*pi/4))^2;
b(5,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+pi))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+pi))^2;
b(6,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+5*pi/4))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+5*pi/4))^2;
b(7,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+6*pi/4))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+6*pi/4))^2;
b(8,i)=(y(1,i)-sqrt(Es)*cos(pi/8+7*pi/4))^2+(y(2,i)-sqrt(Es)*sin(pi/8+7*pi/4))^2;
c(i)=min([b(1,i),b(2,i),b(3,i),b(4,i),b(5,i),b(6,i),b(7,i),b(8,i)]);% 找出最小间隔度量
switch c(i)% 裁决并恢复原序列
case{b(1,i)}
y4(i)=0;
case{b(2,i)}
y4(i)=1;
case{b(3,i)}
y4(i)=2;
case{b(4,i)}
y4(i)=3;
case{b(5,i)}
y4(i)=4;
case{b(6,i)}
y4(i)=5;
case{b(7,i)}
y4(i)=6;
case{b(8,i)}
y4(i)=7;
end
end
end
%QPSK 最大投影裁决函数
function [y4]=MaxProjection(y,Es)
%Es 是每码元的能量，y 是 AWGN 信道输入函数，a 是裁决之后失去的序列
N=length(y);
y4=zeros(1,N);
b=zeros(4,N);
c=zeros(1,N);
for i=1:N % 最大投影裁决
b(1,i)=y(1,i)*sqrt(Es)*cos(0)+y(2,i)*sqrt(Es)*sin(0);
b(2,i)=y(1,i)*sqrt(Es)*cos(pi/2)+y(2,i)*sqrt(Es)*sin(pi/2);
b(3,i)=y(1,i)*sqrt(Es)*cos(pi)+y(2,i)*sqrt(Es)*sin(pi);
b(4,i)=y(1,i)*sqrt(Es)*cos(3*pi/2)+y(2,i)*sqrt(Es)*sin(3*pi/2);
c(i)=max([b(1,i),b(2,i),b(3,i),b(4,i)]);
% 找出最大投影度量
switch c(i)% 裁决并恢复原序列
case{b(1,i)}
y4(i)=0;
case{b(2,i)}
y4(i)=1;
case{b(3,i)}
y4(i)=2;
case{b(4,i)}
y4(i)=3;
end
end
end4.7 星座图绘制函数
1. 设计原理
通过码元个数 N 为基准循环相应的次数，并通过四进制码元序列的值将星座图中的点归类，QPSK 信号中应该有 4 种星座点，因而归为 4 类。归类结束后，应用 scatter 函数绘制星座图。
2. 代码实现
function Constellaion(y1,y2)
%y1 为四进制码元序列，y2 为有噪信道输入的信号
figure
for i=1:length(y1)
switch y1(i)
case {0}%0 信号的星座点
plot(y2(1,i),y2(2,i),'B.');hold on;grid on;
axis([-2 2 -2 2]);
line([2,-2],[0,0],'linewidth',1,'color','black');
line([0,0],[2,-2],'linewidth',1,'color','black');
case {1}%1 信号的星座点
plot(y2(1,i),y2(2,i),'Y.');hold on;grid on;
axis([-2 2 -2 2]);
line([2,-2],[0,0],'linewidth',1,'color','black');
line([0,0],[2,-2],'linewidth',1,'color','black');
case {2}%2 信号的星座点
plot(y2(1,i),y2(2,i),'R.');hold on;grid on;
axis([-2 2 -2 2]);
line([2,-2],[0,0],'linewidth',1,'color','black');
line([0,0],[2,-2],'linewidth',1,'color','black');
case {3}%3 信号的星座点
plot(y2(1,i),y2(2,i),'G.');hold on;grid on;
axis([-2 2 -2 2]);
line([2,-2],[0,0],'linewidth',1,'color','black');
line([0,0],[2,-2],'linewidth',1,'color','black');
end
end
hold off;
end4.8 误码率及误比特率计算函数
1. 设计原理
计算误码率应用矩阵转置相乘法，特点是代码简略，然而短少直观；计算误比特率采纳 for 循环中嵌套 switch 语句失去，特点是代码量繁冗，然而比拟直观。
2. 代码实现
% 误码率计算函数
function [Pe]=SER(y1,y2)
%y1 为原本输入的符号序列，y2 为裁决输入的符号序列，Pe 是计算出来的误码率
N=length(y2);%N 是裁决输入符号的长度
y3=(y1~=y2);%y1(i) 不等于 y2(i) 则为真，此时 y3(i) 等于 1
y3=double(y3);
error_num=y3*y3';%y3 和它的转置相乘，就可计算出总的误符号数
Pe=error_num/N;%Pe：误码率
end
% 误比特率计算函数
function [Pb]=BER(y1,y2)%y1 为原本输入的符号序列，y2 为裁决输入的符号序列，Pe 是计算出来的误比特率
N=length(y2);
k=zeros(1,2*N);t=zeros(1,2*N);
for i=1:N
switch y2(i)% 依据多进制信号的后果复原出原来的比特序列
case 0
k(2*i-1)=0;k(2*i)=0;
case 1
k(2*i-1)=0;k(2*i)=1;
case 2
k(2*i-1)=1;k(2*i)=1;
case 3
k(2*i-1)=1;k(2*i)=0;
end
end
for i=1:N
switch y1(i)
case 0
t(2*i-1)=0;t(2*i)=0;
case 1
t(2*i-1)=0;t(2*i)=1;
case 2
t(2*i-1)=1;t(2*i)=1;
case 3
t(2*i-1)=1;t(2*i)=0;
end
end
b=0;
for i=1:2*N
if k(i)~=t(i)
b=b+1;
end
end
Pb=b/(2*N);% 输入误比特率 五、主函数代码
5.1 星座图绘制主函数
1. 编程思路
采纳程序构造顺次调用 GrayEncode（比特序列生成与格雷编码函数），ShineUpon（坐标映射函数），再调用 ChannelOutput 函数叠加噪声，最初用 Constellaion 函数绘制出星座图即可。
2. 流程图
图 5.1 星座图绘制主函数流程图
3. 代码实现
clc;
close all;clear;
N=1000;% 传输码元个数
sigma2=0.5;
sigma=sqrt(sigma2);
[bit,source]=GrayEncode(N);%bit 为长度为 2N 的二进制随机比特序列，source 为长度为 N 的四进制码元序列
Es=bit*bit'/N;% 码元符号能量
symbol=ShineUpon(source,bit);% 四进制码元序列映射成坐标
noise=NoiseOutput(N,sigma2);% 两路正交噪声信号的生成
channel_out=ChannelOutput(symbol,noise);% 噪声叠加
Constellaion(source,channel_out);% 星座图绘制 5.2 QPSK 误比特率剖析主函数
1. 编程思路
前半部分和星座图绘制的思路大体一致，即噪声叠加子函数以及其之前的函数都顺次依照程序构造调用，后半局部使用抉择构造，若 flag=1，调用 MaxProjection（最大投影裁决）函数，否则调用 MinDistance（最小间隔裁决）函数。当然，整个主函数被嵌套进了一个 for 循环中，为了计算在多个不同信噪比下的误比特率，搭配 semilogy 函数画出咱们心愿的误比特率曲线来。
2. 流程图
图 5.2 qpsk 误比特率剖析主函数流程图
3. 代码实现
clc;close all;clear;
N=100000; 传输码元个数
flag=1;% 裁决形式：1. 最大投影法 0. 最小间隔法;
Pe=zeros(1,101);
theoretic_Pe=zeros(1,101);
SNR=0:0.1:10;
for i=1:101
[bit,source]=GrayEncode(N);% 产生二进制比特序列和四进制码元序列
Eb=bit*bit'/(2*N);
c=ShineUpon(source,bit);% 星座点映射
r=10^(SNR(i)/10);
sigma2=Eb/(2*r);% 噪声方差
sigma=sqrt(sigma2);
noise=NoiseOutput(N,sigma);% 产生两路正交的高斯噪声
cn=ChannelOutput(c,noise);% 噪声叠加
if flag==1
decision1=MaxProjection(cn,Eb*2);% 最大投影裁决
Pe(i)=BER(source,decision1);% 最大投影的误比特率
else
decision2=MinDistance(cn,Eb*2);% 最小间隔裁决后果
Pe(i)=BER(source,decision2);% 最小间隔的误比特率
end
% 实践误比特率
theoretic_Pe(i)=0.5*erfc(sqrt(r));
end
figure
semilogy(SNR,Pe,'-r*');% 仿真误码率曲线
hold on;
semilogy(SNR,theoretic_Pe,'-b.');% 实践误比特率曲线
legend('qpsk 仿真误比特率曲线','qpsk 实践误比特率曲线');
xlabel('Es/N0');ylabel('BER');grid on;
hold off;5.3 QPSK 与 8PSK 误码率比照主函数
1. 编程思路
将主函数嵌套进一个 for 循环中，为了计算在多个不同信噪比下的误比特率，搭配 semilogy 函数画出咱们心愿的误比特率曲线来。对于主函数而言，仅仅是依照程序构造顺次次调用咱们编写好的主函数即可，这里不再赘述。（这里波及到了 8PSK 的误码率剖析，所以调用了函数 MinDistance8，用于以最小间隔度量裁决 8PSK 信号）
2. 流程图
图 5.3 qpsk 与 8psk 误码率比照主函数流程图
3. 代码实现
clc;
close all;clear;
N=10000;
SNR=0:0.1:10;
Pe4=zeros(1,101);
Pe8=zeros(1,101);
theoreticPe4=zeros(1,101);
theoreticPe8=zeros(1,101);
for i=1:101
r=10^(SNR(i)/10);
[bit4,source4]=GrayEncode(N);% 产生长度为 2N 的二进制比特序列和长度为 N 的四进制码元序列
Eb4=bit4*bit4'/(2*N);
sigma2a=Eb4/(2*r);% 噪声方差
y4=ShineUpon(source4,bit4);% 星座点映射
[bit8,source8]=GrayEncode8(N);% 产生长度为 3N 的二进制比特序列和长度为 N 的八进制码元序列
Eb8=bit8*bit8'/(3*N);
sigma2b=Eb8/(2*r);% 噪声方差
y8=ShineUpon8(source8,bit8);% 星座点映射
noise4=NoiseOutput(N,sqrt(sigma2a));
% 产生两路正交的高斯噪声
noise8=NoiseOutput(N,sqrt(sigma2b));
r4=ChannelOutput(y4,noise4);% 噪声叠加
r8=ChannelOutput(y8,noise8);% 噪声叠加
decision4=MinDistance(r4,Eb4*2);%QPSK 最小间隔裁决
decision8= (r8,Eb8*3);%8PSK 最小间隔裁决
Pe4(i)=SER(source4,decision4);
%QPSK 仿真误码率
Pe8(i)=SER(source8,decision8);
%8PSK 仿真误码率
theoreticPe4(i)=erfc(sqrt(r));
%QPSK 实践误码率
theoreticPe8(i)=erfc(sqrt(3*r)*sin(pi/8));
%8PSK 实践误码率
end
figure
semilogy(SNR,Pe4,'-rx');%QPSK 仿真误码率曲线
hold on;
semilogy(SNR,theoreticPe4,'-gv');%QPSK 实践误码率曲线
hold on;
semilogy(SNR,Pe8,'-b.');%8PSK 仿真误码率曲线
hold on
semilogy(SNR,theoreticPe8,'-kd');%8PSK 实践误码率曲线
legend('QPSK 仿真误码率','QPSK 实践误码率','8PSK 仿真误码率','8PSK 实践误码率');
xlabel('Es/N0(dB)');ylabel('SER');
hold off;六、性能剖析与试验后果
6.1 未加信道纠错编码的 QPSK 调制通信零碎
1. 最大投影点准则进行裁决
a. 画出噪声方差 $\sigma^{2}$ 别离为 0，0.1，0.5，1 时在检测器输出端 1000 个接管到的信号加噪声的样本（星座图 )；
图 6.1 QPSK 星座图（L=1000,$\sigma^{2}$=0)
图 6.2 QPSK 星座图（L=1000,$\sigma^{2}$=0.1)
图 6.3 QPSK 星座图（L=1000,$\sigma^{2}$=0.5)
图 6.4 QPSK 星座图（L=1000,$\sigma^{2}$=1)
后果剖析：
比照图 5.1，5.2，5.3，5.4 中散点的离散水平，能够得出，随着噪声方差的增大，加噪信号星座图离散水平更大; 若高斯噪声减小，则加噪信号星座图离散水平更小。这合乎高斯噪声的特点。
b. 在 AWGN 信道下，别离画出数据点为 1000，10000，100000 时的 Monte Carlo 仿真误比特率曲线和实践误比特率曲线，比拟差异，剖析数据点的数量对仿真后果的影响（横坐标时 snr=Eb/N0 dB, 格雷码映射）
图 6.5 QPSK 仿真误码率和误符号率，实践误码率（1000 点）
图 6.6 QPSK 仿真误码率和误符号率，实践误码率（10000 点）
图 6.7 QPSK 最大投影准者仿真误码率和误符号率，实践误码率（100000 点）
比照图 5.5，5.6，5.7 中最大投影准则裁决条件下，各实践误比特率，仿真误比特率的图像，能够得出：随着数据点变多，曲线更加平滑，更加贴合理论值。另外，雷同的码元传输数量下实践误码率和仿真误码率大致相同，且信噪比越小，两者越统一。
2．将检测器的间隔改为最小间隔法
在 2.3 节的剖析中，咱们曾经证实了两种办法必然是等价的。因为这两种裁决办法基于的都是 ML 准则。上面，咱们用最小间隔法做出数据点为 100000 时的仿真误比特率曲线和实践误比特率曲线，并与应用最大投影点法做比拟，来更加直观地领会到两者的等价性。
图 6. 8 相干度量法（上）与最小欧氏间隔法（下）比拟
可实践证实 QPSK 的误比特率与 BPSK 的一样。
6.2 QPSK 与 8PSK 性能比拟
在 AWGN 信道下，未加信道纠错码的 8PSK 调制通信零碎检测器的裁决准则选为最小间隔法（星座图上符号间的间隔），格雷码映射，比拟数据点为 100000 时 8PSK 与 QPSK 的 Monte Carlo 仿真误符号率曲线，实践误符号率曲线，比拟差异（横坐标是 SNR=Eb/N0）。(一张图上出现 4 条曲线)
图 6. 9 QPSK 与 8PSK 性能比拟
QPSK 的误码率显著小于 8PSK 的误码率，这是因为 QPSK 发送信号只有四种可能，而 8PSK 有八种可能，反映在星座图上，QPSK 相邻两点的间隔更大，抗干扰能力更强。
不过，更高阶的 PSK 零碎能带来更高的带宽利用率。
七、问题回顾与总结
1. 对二进制序列进行格雷编码的问题
刚开始思路是先编写一个生成格雷码表的子函数，而后用原序列对码表逐行相减，检测全零行，用检测到的行数减去 1 就失去对应 M 进制的格雷编码。然而最初在实际的过程中，发现这种办法思路还是过于繁冗，短少直观，编写难度比拟大，容易出错；而且不知何故，用这种办法编成的零碎最初误码率的曲线与理论值偏差很大；还可在 QPSK 零碎中，利用函数可将相应的比特序列 xy 用格雷码映射成对应的四进制符号；在 8PSK 中也有一个相似的映射函数（见 4.2 中“八进制格雷码转换”）。这里不再赘述。
2. 在编写计算误码率的函数 SER 中，对办法进行简化的问题
其实谈到计算误码率，本来的第一反馈是利用 for 循环遍历不相等的码元并相加，除以传输码元的总数即可失去, 然而这种办法代码量微小，非常不节俭空间。回想到之前见到一种比拟奇异的办法，即矩阵转置相乘法（见 4.8 节“误码率计算函数”）。这种办法绝对 for 循环而言短少直观，然而在理论运行中的速度要快于 for 循环。
3. 对于用 Legend 函数增加图例的问题
在刚绘制完误码率曲线，应用 Legend 为绘图增加图例的时候，图例中所有的线形和色彩都是一样的。查找文档得悉，在建设相干的变量时，应用 zeros 函数为变量设置大小，参数设置谬误，建设的变量不是 1 维 N 列矩阵，而是 N 维 N 列的方阵，导致增加的图例的时候是每个点增加一个图例。改过 zeros 参数，使建设的矩阵为 1 维 N 列即可。
