关于算法:树状数组模板与练习

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树状数组

留神:树状数组的坐标肯定要从 1 开始!

树状数组的利用次要是:疾速(在 O(logn)的复杂度内):

  • 在某个地位上加上一个数(单点批改)
  • 求某一个的前缀和(区间查问)

其余的变式都是由这两个基本功能转换而来,例如单点查问,区间批改等等。

它与纯前缀和的区别在于能够单点批改。如果间接用前缀和进行单点批改,则它每次都会更新批改值前面的前缀和,因而会导致每个都更新一遍,复杂度为 O(n)了。

简略的比拟:

单点批改 区间查问 综合
前缀和 O(n) O(1) (O(n) + O(1)) / 2 = O(n)
线段数组 O(logn) O(logn) O(logn)

根本思维

其中原数组为 A,树状数组为 C。每一层的关系如上所示, 能够发现,雷同个数的后缀 0 的数在同一层,比方 2 —>10, 6 —> 110。

其中:

  • C[1] = A[1]
  • C[2] = A[2] + C[1] = A[2] + A[1]
  • C[3] = A[3]
  • C[4] = A[4] + C[3] + C[2] = A[4] + A[3] + A[2] + A[1]

外围:C[x] = (x – lowbit(x), x]

lowbit = x & -x = $2 ^ k$ 作用是统计二进制数字中后缀 0 的个数。

模板

在某个地位上加上一个数(单点批改)

// a[x] + v
// x 的父节点是 x + lowbit(x)
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(x))
    c[x] += v;

求某一个的前缀和(区间查问)

int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
    res += c[i];
return res

外围函数

// lowbit 函数
int lowbit(int x)
{return x & -x;}
void add(int x, int v)
{// i 节点的父节点是 i + lowbit(i), 每个父节点都要进行批改
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}
int query(int x)
{
    int res = 0;
    // 递归的形式
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

模板题:动静求间断区间和

给定 n 个数组成的一个数列,规定有两种操作,一是批改某个元素,二是求子数列 [a,b] 的间断和。

输出格局

第一行蕴含两个整数 n 和 m,别离示意数的个数和操作次数。第二行蕴含 n 个整数,示意残缺数列。

接下来 m 行,每行蕴含三个整数 k, a, b(k=0,示意求子数列 [a,b] 的和;k=1,示意第 a 个数加 b)。数列从 1 开始计数。

输入格局

输入若干行数字,示意 k=0 时,对应的子数列 [a,b] 的间断和。

数据范畴

$1≤n≤100000$,
$1≤m≤100000$,
$1≤a≤b≤n$,
数据保障在任何时候,数列中所有元素之和均在 int 范畴内。

输出样例:

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输入样例:

11
30
35

code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], tr[N];

// 外围操作
int lowbit(int x)
{return x & -x;}

void add(int x, int v)
{// i 节点的父节点是 i + lowbit(i), 每个父节点都要进行批改
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    // 递归的形式
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);
    // 初始化原数组
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    // 初始化树状数组
    for (int i = 1; i <= n; i ++) add(i, a[i]);

    while (m --)
    {
        int k, x, y;
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);
        if (k == 0) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1));
        else add(x, y);
    }

    return 0;
}

数星星

天空中有一些星星,这些星星都在不同的地位,每个星星有个坐标。

如果一个星星的左下方(蕴含正左和正下)有 k 颗星星,就说这颗星星是 k 级的。

例如,上图中星星 5 是 3 级的(1,2,4 在它左下),星星 2,4 是 1 级的。

例图中有 1 个 0 级,2 个 1 级,1 个 2 级,1 个 3 级的星星。给定星星的地位,输入各级星星的数目。

换句话说,给定 N 个点,定义每个点的等级是在该点左下方(含正左、正下)的点的数目,试统计每个等级有多少个点。

输出格局

第一行一个整数 N,示意星星的数目;

接下来 N 行给出每颗星星的坐标,坐标用两个整数 x,y 示意;

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出,y 坐标雷同的按 x 坐标增序给出。

输入格局

N 行,每行一个整数,别离是 0 级,1 级,2 级,……,N−1 级的星星的数目。

数据范畴

$1≤N≤15000$,
$0≤x,y≤32000$

输出样例:

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

输入样例:

1
2
1
1
0

code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 32010;

int n;
// tr[i]统计 x 坐标为 i 的个数
int tr[N], level[N];

int lowbit(int x)
{return x & -x;}

void add(int x)
{for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] ++ ;
}
// 查问 x≤i 的坐标的数,即以后星星的等级
int sum(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        // 树状数组的下标必须从 1 开始,因而须要先执行 x ++, 把所有坐标同一向右平移 1 即可
        x ++ ;
        // 为了防止查到本人,在 add 之前就先查问一下
        level[sum(x)] ++ ;
        // 而后再增加本人即可
        add(x);
    }

    for (int i = 0; i < n; i ++) printf("%d\n", level[i]);

    return 0;
}
正文完
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