关于算法:树状数组模板与练习

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树状数组

留神：树状数组的坐标肯定要从 1 开始！

树状数组的利用次要是：疾速（在 O(logn)的复杂度内）：

• 在某个地位上加上一个数（单点批改）
• 求某一个的前缀和（区间查问）

其余的变式都是由这两个基本功能转换而来，例如单点查问，区间批改等等。

它与纯前缀和的区别在于能够单点批改。如果间接用前缀和进行单点批改，则它每次都会更新批改值前面的前缀和，因而会导致每个都更新一遍，复杂度为 O(n)了。

简略的比拟：

根本思维

其中原数组为 A，树状数组为 C。每一层的关系如上所示, 能够发现，雷同个数的后缀 0 的数在同一层，比方 2 —>10, 6 —> 110。

其中：

• C[1] = A[1]
• C[2] = A[2] + C[1] = A[2] + A[1]
• C[3] = A[3]
• C[4] = A[4] + C[3] + C[2] = A[4] + A[3] + A[2] + A[1]
• …

外围：C[x] = (x – lowbit(x), x]

lowbit = x & -x = $2 ^ k$ 作用是统计二进制数字中后缀 0 的个数。

模板

在某个地位上加上一个数（单点批改）

// a[x] + v
// x 的父节点是 x + lowbit(x)
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(x))
    c[x] += v;

求某一个的前缀和（区间查问）

int res = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
    res += c[i];
return res

外围函数

// lowbit 函数
int lowbit(int x)
{return x & -x;}

void add(int x, int v)
{// i 节点的父节点是 i + lowbit(i), 每个父节点都要进行批改
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    // 递归的形式
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

模板题：动静求间断区间和

给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是批改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的间断和。

输出格局

第一行蕴含两个整数 n 和 m，别离示意数的个数和操作次数。第二行蕴含 n 个整数，示意残缺数列。

接下来 m 行，每行蕴含三个整数 k, a, b（k=0，示意求子数列 [a,b] 的和；k=1，示意第 a 个数加 b）。数列从 1 开始计数。

输入格局

输入若干行数字，示意 k=0 时，对应的子数列 [a,b] 的间断和。

数据范畴

$1≤n≤100000$,
$1≤m≤100000$，
$1≤a≤b≤n$,
数据保障在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范畴内。

输出样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输入样例：

11
30
35

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], tr[N];

// 外围操作
int lowbit(int x)
{return x & -x;}

void add(int x, int v)
{// i 节点的父节点是 i + lowbit(i), 每个父节点都要进行批改
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    // 递归的形式
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);
    // 初始化原数组
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    // 初始化树状数组
    for (int i = 1; i <= n; i ++) add(i, a[i]);

    while (m --)
    {
        int k, x, y;
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);
        if (k == 0) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1));
        else add(x, y);
    }

    return 0;
}

数星星

天空中有一些星星，这些星星都在不同的地位，每个星星有个坐标。

如果一个星星的左下方（蕴含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。

例如，上图中星星 5 是 3 级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。

例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级，1 个 2 级，1 个 3 级的星星。给定星星的地位，输入各级星星的数目。

换句话说，给定 N 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。

输出格局

第一行一个整数 N，示意星星的数目；

接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y 示意；

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标雷同的按 x 坐标增序给出。

输入格局

N 行，每行一个整数，别离是 0 级，1 级，2 级，……，N−1 级的星星的数目。

数据范畴

$1≤N≤15000$,
$0≤x,y≤32000$

输出样例：

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

输入样例：

1
2
1
1
0

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 32010;

int n;
// tr[i]统计 x 坐标为 i 的个数
int tr[N], level[N];

int lowbit(int x)
{return x & -x;}

void add(int x)
{for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] ++ ;
}
// 查问 x≤i 的坐标的数，即以后星星的等级
int sum(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main()
{scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        // 树状数组的下标必须从 1 开始，因而须要先执行 x ++, 把所有坐标同一向右平移 1 即可
        x ++ ;
        // 为了防止查到本人，在 add 之前就先查问一下
        level[sum(x)] ++ ;
        // 而后再增加本人即可
        add(x);
    }

    for (int i = 0; i < n; i ++) printf("%d\n", level[i]);

    return 0;
}