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引言
在本文中，咱们将尝试为苹果公司的日收益率寻找一个适合的 GARCH 模型。稳定率建模须要两个次要步骤。
- 指定一个均值方程（例如 ARMA，AR，MA，ARIMA 等）。
- 建设一个稳定率方程（例如 GARCH, ARCH，这些方程是由 Robert Engle 首先开发的）。
要做(1)，你须要利用驰名的 Box-Jenkins 办法，它包含三个次要步骤。
- 辨认
- 估算
- 诊断查看
这三个步骤有时会有不同的名称，这取决于你读的是谁的书。在本文中，我将更多地关注（2）。
我将应用一个名为 quantmod 的软件包，它代表量化金融建模框架。这容许你在 R 中间接从各种在线资源中抓取金融数据。
#install.packages("quantmod") - 须要先装置该软件包
getSymbols(Symbols = "AAPL",
src="yahoo", #其余起源包含：谷歌、FRED 等。
收益通常有一个非常简单的平均数方程，这导致了简略的残差。
咱们首先要测试序列依赖性，这是条件异方差的一个指标（序列依赖性与序列相干不同）。这是通过对原始序列的平方 / 绝对值进行测试，并应用 Ljung 和 Box（1978）的 Ljung-Box 测试等联结假如进行测试，这是一个 Portmentau 测验，正式测验间断自相干，直到预约的滞后数，如下所示。
其中 T 是总的周期数，m 是你要测试的序列相干的滞后期数，ρ2k 是滞后期 k 的相关性，Q∗(m)∼χ2α 有 m 个自由度。
查看
上面是 AAPL 对数收益工夫序列及其 ACF，这里咱们要寻找显著的滞后期（也能够运行 pacf）或存在序列自相干。
通过观察 ACF，程度序列（对数收益）并不是真正的自相干，但当初让咱们看一下平方序列来查看序列依赖性。
咱们能够看到，平方序列的 ACF 显示出显著的滞后。这是一个信号，阐明咱们应该在某个时候测试 ARCH 效应。
平稳性
咱们能够看到，AAPL 的对数回报在某种程度上是一个安稳的过程，所以咱们将应用 Augmented Dicky-Fuller 测验（ADF）来正式测验平稳性。ADF 是一个宽泛应用的单位根测验，即平稳性。咱们将应用 12 个滞后期，因为依据文献的倡议，咱们有每日数据。何：存在单位根（系列是非安稳的
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 12
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -14.6203
## P VALUE:
## 0.01
##
## Description:
## Mon May 25 16:45:37 2020 by user: Florian下面的 P 值为 0.01，表明咱们应该回绝 Ho，因而，该系列是安稳的。
构造渐变_测验_
请留神，我从 2008 年底开始钻研 APPL 序列。以防止 08 年大消退，通常会在数据中产生结构性渐变（即趋势的重大降落 / 跳跃）。咱们将对结构性渐变 / 变动进行 Chow 测试。AAPL 的日收益率没有结构性渐变
该图显示，用于预计断点（BP）数量的 BIC（黑线）是 BIC 线的最小值，所以咱们能够确认没有结构性断点，因为最小值是零，即零断点。在预测工夫序列时，断点十分重要。
预计
在这一节中，咱们试图用 auto.arima 命令来拟合最佳 arima 模型，容许一个季节性差别和一个程度差别。
正如咱们所知，{Yt}的个别 ARIMA(p,d,q)。
依据 auto.arima，最佳模型是 ARIMA(3,0,2)，平均数为非零，AIC 为 -14781.55。咱们的均匀方程如下（括号内为 SE）。
Auto.arima 函数挑选出具备最低 AIC 的 ARIMA(p,d,q)，其中。
其中 Λθ 是察看到的数据在参数的 mle 的概率。因而，如果 Auto.arima 函数运行 N 模型，其决策规定为 AIC∗=min{AICi}Ni=1
诊断查看
咱们能够看到，咱们的 ARIMA(3,0,2)的残差是良好的体现。它们仿佛也有肯定的正态分布
##
## Ljung-Box test
##
## data: Residuals from ARIMA(3,0,2) with non-zero mean
## Q* = 6.7928, df = 4, p-value = 0.1473
##
## Model df: 6. Total lags used: 10当初咱们将通过对咱们的 ARIMA(3,0,2)模型的平方残差利用 Ljung-Box 测试来测验 ARCH 效应。
##
## Box-Ljung test
##
## data: resid^2
## X-squared = 126.6, df = 12, p-value < 2.2e-16咱们能够看到，残差平方的 ACF 显示出许多显著的滞后期，因而咱们得出结论，的确存在 ARCH 效应，咱们应该对稳定率进行建模。
应用 GARCH 建设稳定率模型
下面将咱们的平均数方程中的残差进行了平方，看看大的冲击是否紧随在其余大的冲击之后（无论哪个方向，即负的或正的），如果是这样，那么咱们就有条件异方差，意味着咱们有须要建模的非恒定方差。上面是一个 GARCH(m,s)的样子。
其中{ϵ2t}mt= 1 是咱们通常的特异性冲击，iid 随机变量，即 ϵ2t∼WN(0,σ2ϵ)。咱们能够更紧凑地写成：
其中 B 是规范的后移算子 Biϵ2t=ϵ2t-i，Biσ2t=σ2t-i。对于任何整数 ii，以及 α 和 β 别离是度数为 m 和 s 的多项式
请留神，一个非凡状况是当 s = 0 时，GARCH(m,0)被称为 ARCH(m)。
当我说 GARCH 家族时，它表明模型有变动。
- SGARCH。一般 GARCH
- EGARCH。指数 GARCH，容许稳定率不为负值（这迫使模型只输入正方差
- FGARCH。这是为长记忆模型筹备的。它应用了被称为 ARFIMA 的 Fractionaly integrated ARIMA（即非整数整合）。
- GARCH-M：这是 GARCH 的均值，适宜你的均值方程中有稳定率例如 CAPM 的方程中有 σ。
- GJR-GARCH。假如负面冲击和侧面冲击之间存在不对称性（金融数据简直都是这样）。
为收益率序列建设稳定率模型包含四个步骤：
- 通过测试数据中的序列依赖性来指定一个均值方程，如果有必要，为收益序列建设一个 计量经济学模型（例如，ARIMA 模型）来打消任何线性依赖。
- 应用平均值方程的残差来测试 ARCH 效应。
- 如果 ARCH 效应在统计上是显著的，就指定一个稳定率模型，并对均值和稳定率方程进行联结预计。
- 仔细检查拟合的模型，必要时对其进行改良。
一个简略的 GARCH 模型有以下成分。
均值:
稳定率方程:
误差假如:
# 以下命令将计算 GARCH(m,s)。请记住，对于某些 m 和 s 的组合，它可能不会收敛。garchlist(model="sGARCH", #其余选项有 egarch, fgarch 等。garchOrder=c(1,2)), #你能够在这里批改 GARCH(m,s)的阶数
mean.model , #指定你的 ARMA 模型，暗示你的模型应该是安稳的。distribution.model #其余散布是 "std" 代表 t 散布，"ged" 代表个别误差散布咱们的稳定率方程由 GARCH(1,2)给出，AIC:-5.5277（留神 GARCH 可能无奈收敛）。
上面是应用咱们的稳定率模型对稳定率进行的预测。这看起来是一个正当的稳定率预测，然而你想改良你的模型。
当初让咱们应用 rugarch 的规范性能，应用预计的 GARCH(1,2)模型来产生 σt 的滚动预测，并将它们与 |rt| 作比照。
最初，咱们能够手动编写代码来查看随工夫变动的稳定率和对数收益率 rt，如下图。
# 这将有助于在对数收益率上绘制 sigma 随工夫变动的图。sigma.t #这是你的稳定率序列
ggplot()
geom_line(aes(x=as.numeric(theme_bw()+
论断
事实证明，GARCH 系列是所谓确定性稳定率模型的一部分。还有一个家族叫做随机稳定率模型，它容许模型中存在随机性，而 GARCH 假如咱们对稳定率进行了完满的建模（如果你对你所剖析的序列十分相熟，这可能是一个好的假如，但理论状况并不总是这样）。随机稳定率模型通常是用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）和准蒙特卡洛办法来预计的，如果你学过随机过程的相干内容，你会晓得这是什么。
参考文献
- Tsay, R. (2010). Analysis of Financial Time Series. (3rd ed., Wiley Series in Probability and Statistics).
- Brockwell, P., & Davis, Richard A. (2016). Introduction to time series and forecasting (3rd ed., Springer texts in statistics). New York: Springer.
- Racine, Jeffrey S. (2019) Reproducible Econometrics Using R (Oxford)
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