关于算法:那些小而美的算法技巧前缀和差分数组

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读完本文，你能够去力扣拿下如下题目：

560. 和为 K 的子数组

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明天来聊一道简略却非常奇妙的算法问题：算出一共有几个和为 k 的子数组。

那我把所有子数组都穷举进去，算它们的和，看看谁的和等于 k 不就行了。

要害是，如何疾速失去某个子数组的和呢，比如说给你一个数组 nums，让你实现一个接口 sum(i, j)，这个接口要返回 nums[i..j] 的和，而且会被屡次调用，你怎么实现这个接口呢？

因为接口要被屡次调用，显然不能每次都去遍历 nums[i..j]，有没有一种疾速的办法在 O(1) 工夫内算出 nums[i..j] 呢？这就须要 前缀和 技巧了。

前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组 nums，咱们额定开拓一个前缀和数组进行预处理：

int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
    preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];

这个前缀和数组 preSum 的含意也很好了解，preSum[i] 就是 nums[0..i-1] 的和。那么如果咱们想求 nums[i..j] 的和，只须要一步操作 preSum[j+1]-preSum[i] 即可，而不须要从新去遍历数组了。

回到这个子数组问题，咱们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：

int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // 结构前缀和
    int[] sum = new int[n + 1];
    sum[0] = 0; 
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];
    
    int ans = 0;
    // 穷举所有子数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            // sum of nums[j..i-1]
            if (sum[i] - sum[j] == k)
                ans++;

    return ans;
}

这个解法的工夫复杂度 O(N^2) 空间复杂度 O(N)，并不是最优的解法。不过通过这个解法了解了前缀和数组的工作原理之后，能够应用一些奇妙的方法把工夫复杂度进一步升高。

后面的解法有嵌套的 for 循环：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        if (sum[i] - sum[j] == k)
            ans++;

第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，在计算，有几个 j 可能使得 sum[i] 和 sum[j] 的差为 k。毎找到一个这样的 j，就把后果加一。

咱们能够把 if 语句里的条件判断移项，这样写：

if (sum[j] == sum[i] - k)
    ans++;

优化的思路是：我间接记录下有几个 sum[j] 和 sum[i] - k 相等，间接更新后果，就防止了内层的 for 循环。咱们能够用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和呈现的次数。

int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // map：前缀和 -> 该前缀和呈现的次数
    HashMap<Integer, Integer> 
        preSum = new HashMap<>();
    // base case
    preSum.put(0, 1);

    int ans = 0, sum0_i = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {sum0_i += nums[i];
        // 这是咱们想找的前缀和 nums[0..j]
        int sum0_j = sum0_i - k;
        // 如果后面有这个前缀和，则间接更新答案
        if (preSum.containsKey(sum0_j))
            ans += preSum.get(sum0_j);
        // 把前缀和 nums[0..i] 退出并记录呈现次数
        preSum.put(sum0_i, 
            preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
    }
    return ans;
}

比如说上面这个状况，须要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了，之前的暴力解法须要遍历数组去数有几个 8，而优化解法借助哈希表能够间接得悉有几个前缀和为 8。

这样，就把工夫复杂度降到了 O(N)，是最优解法了。

前缀和不难，却很有用，次要用于解决数组区间的问题。

比如说，让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比，也能够利用前缀和技巧：

int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 150 分
int[] count = new int[150 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
    count[score]++
// 结构前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
    count[i] = count[i] + count[i-1];

这样，给你任何一个分数段，你都能通过前缀和相减疾速计算出这个分数段的人数，百分比也就很容易计算了。

然而，略微简单一些的算法问题，不止考查简略的前缀和技巧。比方本文探讨的这道题目，就须要借助前缀和的思路做进一步的优化，借助哈希表去除不必要的嵌套循环。可见对题目的了解和细节的剖析能力对于算法的优化是至关重要的。

心愿本文对你有帮忙。

正文完