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最近咱们被客户要求撰写对于随机稳定率 SV 模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
什么是随机稳定率？随机稳定率 (SV) 是指资产价格的稳定率是变动的而不是恒定的
“随机”一词意味着某些变量是随机确定的，无奈准确预测。
在金融建模的背景下，随机建模迭代随机变量的间断值，这些值彼此不独立。非独立的意思是尽管变量的值会随机变动，但其终点将取决于其先前的值，因而取决于其先前的值，依此类推；这形容了所谓的随机游走。
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Matlab 马尔可夫链蒙特卡罗法（MCMC）预计随机稳定率（SV，Stochastic Volatility）模型
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随机稳定率的教训证据
在定义了稳定率的含意之后，咱们当初通过探讨稳定率随机变动的证据来疏导其余部分。咱们（大体上）遵循，对现金和期权市场中察看到的价格行为进行一些实证察看。咱们思考了一些经济解释，并将它们与手头的主题分割起来：
厚尾
当初广泛承受的是，资产收益的教训散布是尖峰的意思（大抵），即对于均值的四阶矩大于具备雷同方差的正态分布的雷同统计量。这意味着察看到更多的极其回报和更少的中等回报，“尖峰”意味着理论散布中凑近均值的天数更多，“厚尾”示意极其收益率呈现的频率高于正态分布的预测，比方出乎意料的“黑天鹅事件”。
波动性聚类和持久性
看一眼金融工夫序列通常会立刻发现高稳定期和低稳定期。
事实上，肥尾和波动性聚类是同一枚硬币的两个方面。家喻户晓，散布的混合，例如依据正态分布散布的价格变动，但具备随机方差，能够复制肥尾。然而，通过间接将根底价格散布建模为具备肥尾，能够同样很好地解释肥尾和波动性聚类。另一个教训事实是稳定机制的继续存在，存在高稳定期和低稳定期，而不仅仅是随机事件。这一察看表明了任何提议的稳定率模型的某些内容。
什么是随机建模？
随机建模是一种用于帮忙做出投资决策的财务模型。这种类型的建模应用随机变量预测不同条件下各种后果的概率。
随机建模出现数据并预测后果，这些后果阐明了肯定水平的不可预测性或随机性。许多行业的公司都能够应用随机模型来改良他们的业务实际并进步盈利能力。在金融服务畛域，规划师、分析师和投资组合经理应用随机模型来治理他们的资产和负债并优化他们的投资组合。
要害要点
- 随机模型应用随机变量预测不同条件下各种后果的概率。
- 随机建模出现数据并预测后果，这些后果阐明了肯定水平的不可预测性或随机性。
- 在金融服务畛域，规划师、分析师和投资组合经理应用随机模型来治理他们的资产和负债并优化他们的投资组合。
- 与随机建模相同的是确定性建模，它每次都为一组特定的输出提供雷同的准确后果。
- 蒙特卡洛模仿是随机模型的一个例子。它能够依据单个股票收益的概率分布来模仿投资组合的体现。
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理解随机建模：恒定与可变
要了解随机建模的概念，将其与相同的确定性建模进行比拟会有所帮忙。
确定性建模产生恒定的后果
无论您从新计算模型多少次，确定性建模都能够为特定的一组输出提供雷同的准确后果。在这里，数学性质是已知的。它们都不是随机的，只有一组特定值和一个问题的答案或解决方案。对于确定性模型，不确定因素是模型内部的。
随机建模产生多变的后果
另一方面，随机建模实质上是随机的，模型中内置了不确定因素。该模型产生了许多答案、预计和后果——例如将变量增加到简单的数学问题中——以查看它们对解决方案的不同影响。而后在各种状况下反复屡次雷同的过程。
波动性
资产的波动性是期权定价的要害组成部分。随机稳定率模型是出于对期权定价的 Black Scholes 模型进行批改的须要而开发的，该模型未能无效地思考到标的证券价格波动性可能发生变化的事实。Black Scholes 模型反而做了简化假如，即根底证券的波动性是恒定的。随机稳定率模型通过容许根底证券的价格稳定率作为随机变量稳定来纠正这一点。通过容许价格变动，随机稳定率模型进步了计算和预测的准确性。
随机稳定的个别模式
间断工夫金融模型被写成应用随机微分方程的扩散过程。咱们正在钻研的模型的个别模式是
和
和
这些方程意味着 S 的刹时回报由一些确定性项加上一些随机噪声给出。自身遵循相似（但更个别）的随机动静。
Heston 随机稳定率模型
Heston 模型是由金融学者 Steven Heston 在 1993 年创立的随机稳定率模型。该模型应用稳定率或多或少是随机的假如，并具备以下区别于其余随机稳定率模型的特色：
- 它思考了资产价格与其波动性之间的相关性。
- 它将稳定了解为回归均值。
- 它不要求股票价格遵循对数正态概率分布。
如下图所示，察看到的股票稳定率可能会飙升至高于或低于平均水平，但仿佛总是在平均水平左近。高稳定期之后通常是低稳定期，反之亦然。应用均值回归确定稳定范畴并联合 预测 技术，投资者能够抉择最佳交易。
Python 随机稳定率 (SV) 模型对标普 500 指数工夫序列波动性预测
资产价格具备随工夫变动的波动性（逐日收益率的方差）。在某些期间，收益率是高度变动的，而在其余期间则十分安稳。随机稳定率模型用一个潜在的稳定率变量来模仿这种状况，该变量被建模为随机过程。上面的模型与 No-U-Turn Sampler 论文中形容的模型类似，Hoffman (2011) p21。
这里，r 是每日收益率序列，s 是潜在的对数稳定率过程。
建设模型
首先，咱们加载标普 500 指数的每日收益率。
returns = (pm.get_data("SP500"))
returns[:5]
正如你所看到的，波动性仿佛随着工夫的推移有很大的变动，但集中在某些时间段。在 2500-3000 个工夫点左近，你能够看到 2009 年的金融风暴。
ax.plot(returns)
指定模型。
GaussianRandomWalk('s', hape=len(returns))
nu = Exponential(.1)
r = StudentT(pm.math.exp(-2*s),
obs=returns)
拟合模型
对于这个模型，最大后验 (Maximum A Posteriori,MAP) 概率预计具备有限的密度。然而，NUTS 给出了正确的后验。
pm.sample(tune=2000
Auto-assigning NUTS sampler...
plot(trace['s']);
察看一段时间内的收益率，并叠加预计的标准差，咱们能够看到该模型是如何拟合一段时间内的稳定率的。
plot(returns)
plot(exp(trace[s]);
np.exp(trace[s])
参考文献
- Hoffman & Gelman. (2011). The No-U-Turn Sampler: Adaptively Setting Path Lengths in Hamiltonian Monte Carlo.
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本文选自《随机稳定率 SV 模型原理和 Python 对标普 SP500 股票指数工夫序列波动性预测》。
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