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原文出处：拓端数据部落公众号
最近咱们被客户要求撰写对于 VAR 模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
目录
模型与数据
估算值
预测误差脉冲响应
辨认问题
正交脉冲响应
构造脉冲反馈
狭义脉冲响应
参考文献
脉冲响应剖析是采纳 [向量自回归模型的]() 计量经济学剖析中的重要一步。它们的次要目标是形容模型变量对一个或多个变量的冲击的演变。因而使它们成为评估经济时十分有用的工具。这篇文章介绍了 VAR 文献中罕用的脉冲响应函数的概念和解释。
模型与数据
为了阐明脉冲响应函数的概念，应用了 Lütkepohl（2007）的示例。能够从教科书的 [网站上]() 下载所需的数据集。它蕴含从 1960 年 1 季度到 1982 年 4 季度按季度和季节性调整的工夫序列，这些序列是西德的固定投资，可摆布支出和数十亿德国马克的生产收入。
# 下载数据
data <- read.table("e1.dat", skip = 6, header = TRUE)
# 仅应用前 76 个观测值，因而有 73 个观测值
# 取一阶差分后，留给预计的 VAR(2)模型。data <- data[1:76,]
# 转换为工夫序列对象
data <- ts(data, start = c(1960, 1), frequency = 4)
# 取对数和差值
data <- diff(log(data))
# 绘图数据
plot(data, main = "Dataset E1 from Lütkepohl (2007)")
此数据用于预计具备常数项的 VAR（2）模型。
估算值
能够应用 vars 软件包估算 VAR 模型：
# 查看摘要统计信息
summary(model)代码的后果应与 Lütkepohl（2007）的 3.2.3 节中的后果雷同。
预测误差脉冲响应
因为 VAR 模型中的所有变量都相互依赖，因而独自的系数预计仅提供无关反馈的无限信息。为了更好地理解模型的动静行为，应用了 脉冲响应（IR）。线性 VAR 模型的每个脉冲响应函数的出发点都是其挪动平均值（MA）示意，这也是预测误差脉冲响应（FEIR）函数。
在 R 中，程序包可用于获取预测误差脉冲响应。
辨认问题
从上图能够看出，在第一期间 FEIR 为零。对于应用的数据集，预计为
## invest income cons
## invest 2.129629e-03 7.161667e-05 1.232404e-04
## income 7.161667e-05 1.373377e-04 6.145867e-05
## cons 1.232404e-04 6.145867e-05 8.920351e-05因为预计方差 - 协方差矩阵的非对角线元素不为零，因而咱们能够假如 VAR 模型中的变量之间存在同期相关性。这由与 Σ 绝对应的相关矩阵确认：
## invest income cons
## invest 1.0000000 0.1324242 0.2827548
## income 0.1324242 1.0000000 0.5552611
## cons 0.2827548 0.5552611 1.0000000然而，这些矩阵仅形容了误差之间的相关性，但不分明因果关系的方向。辨认 这些因果关系是任何 VAR 剖析的次要挑战之一。
正交脉冲响应
辨认 VAR 模型的冲击的罕用办法是应用正交脉冲响应（OIR）。根本思维是合成方差 - 协方差矩阵，使∑ = PP− 1，其中 P 是带有正对角线元素的下三角矩阵，通常通过 Choleski 合成取得。给定预计方差 - 协方差矩阵 PP，能够通过以下办法取得合成
## invest income cons
## invest 0.046147903 0.000000000 0.000000000
## income 0.001551894 0.011615909 0.000000000
## cons 0.002670552 0.004934117 0.007597773从这个矩阵能够看出，支出冲击对生产具备同时性的影响，反之则不然。
在 R 中，vars能够通过设置参数来应用包的性能来取得 OIR：
plot(oir)请留神，Choleski 合成的输入是一个较低的三角矩阵，因而第一行中的变量永远不会对任何其余变量的同时冲击敏感，而零碎中的最初一个变量将对所有其余变量的冲击敏感。因而，OIR 的后果可能对变量的程序很敏感，倡议用不同的程序预计上述 VAR 模型，以查看所产生的 OIR 受此影响的水平。
构造脉冲反馈
在 VAR 模型的预计过程中，构造脉冲响应（SIR）曾经思考了辨认问题。
狭义脉冲响应
正交和构造响应都能够通过找到变量的正确程序或通过辨认预计的构造参数来束缚。Koop 等（1998）提出了一种不同类型的响应函数，即所谓的狭义脉冲响应（GIR）。它们独立于变量程序，因为它们将其余冲击的影响整合到响应之外。
对于难以辨认构造关系的大型零碎，GIR 十分有用。
参考文献
Koop, G., Pesaran, M. H., Potter, S. M. (1996). Impulse response analysis in nonlinear multivariate models. Journal of Econometrics 74, 119-147. doi:10.1016/0304-4076(95)01753-4
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