关于数据挖掘:R语言MCMCMetropolisHastings采样用于回归的贝叶斯估计附代码数据

全文链接：http://tecdat.cn/?p=19664 

最近咱们被客户要求撰写对于 Metropolis-Hastings 采样的钻研报告，包含一些图形和统计输入。

MCMC 是从简单概率模型中采样的通用技术。

1. 蒙特卡洛
2. 马尔可夫链
3. Metropolis-Hastings 算法

问题

如果须要计算有简单后验 pdf p（θ| y）的随机变量 θ 的函数 f（θ）的平均值或期望值。

您可能须要计算后验概率分布 p（θ）的最大值。

解决期望值的一种办法是从 p（θ）绘制 N 个随机样本，当 N 足够大时，咱们能够通过以下公式迫近期望值或最大值

将雷同的策略利用于通过从 p（θ| y）采样并取样本集中的最大值来找到 argmaxp（θ| y）。

解决办法

1.1 间接模仿

1.2 逆 CDF

1.3 回绝 / 承受抽样

如果咱们不晓得准确 / 标准化的 pdf 或非常复杂，则 MCMC 会派上用场。

马尔可夫链

为了模仿马尔可夫链，咱们必须制订一个 过渡核 T（xi，xj）。过渡核是从状态 xi 迁徙到状态 xj 的概率。

 马尔可夫链的收敛性意味着它具备安稳散布 π。马尔可夫链的 统计 散布 是安稳的, 那么它 意味着散布 不会随着工夫的推移而扭转。

Metropolis 算法

 对于一个 Markov 链是安稳的。基本上示意

处于状态 x 并转换为状态 x ’ 的概率必须等于处于状态 x ’ 并转换为状态 x 的概率

或者

办法是将转换分为两个子步骤；候选和承受回绝。

令 q（x’| x）示意 候选密度，咱们能够应用概率 α（x’| x）来调整 q。

候选散布 Q（X’| X）是给定的候选 X 的状态 X ’ 的条件概率，

和 承受散布 α（x’| x）的条件概率承受候选的状态 X ’-X’。咱们设计了承受概率函数，以满足具体的均衡。

该 转移概率 能够写成：

插入上一个方程式，咱们有

Metropolis-Hastings 算法 

A 的抉择遵循以下逻辑。

在 q 下从 x 到 x ’ 的转移太频繁了。因而，咱们应该抉择 α（x | x’）=1。然而，为了满足 粗疏安稳，咱们有

下一步是抉择满足上述条件的承受。Metropolis-Hastings 是一种常见的 抉择：

即，当接受度大于 1 时，咱们总是承受，而当接受度小于 1 时，咱们将相应地回绝。因而，Metropolis-Hastings 算法蕴含以下内容：

1. 初始化：随机抉择一个初始状态 x；
2. 依据 q（x’| x）随机抉择一个新状态 x ’;

3. 承受依据 α（x’| x）的状态。如果不承受，则不会进行转移，因而无需更新任何内容。否则，转移为 x ’；

4. 转移到 2，直到生成 T 状态；

5. 保留状态 x，执行 2。

原则上，咱们从散布 P（x）提取保留的状态，因为步骤 4 保障它们是不相干的。必须依据候选散布等不同因素来抉择 T 的值。重要的是，尚不分明应该应用哪种散布 q（x’| x）；必须针对以后的特定问题进行调整。

属性

Metropolis-Hastings 算法的一个乏味个性是它 仅取决于比率

是候选样本 x ’ 与先前样本 xt 之间的概率，

是两个方向（从 xt 到 x ’，反之亦然）的候选密度之比。如果候选密度对称，则等于 1。

马尔可夫链从任意初始值 x0 开始，并且算法运行屡次迭代，直到“初始状态”被“遗记”为止。这些被抛弃的样本称为预烧（burn-in）。其余的 x 可承受值集代表散布 P（x）中的样本

Metropolis 采样

一个简略的 Metropolis-Hastings 采样

让咱们看看从 伽玛散布 模仿任意形态和比例参数，应用具备 Metropolis-Hastings 采样算法。

上面给出了 Metropolis-Hastings 采样器的函数。该链初始化为零，并在每个阶段都倡议应用 N（a / b，a /（b * b））个候选对象。

基于正态分布且均值和方差雷同 gamma 的 Metropolis-Hastings 独立采样

1. 从某种状态开始 xt。代码中的 x。
2. 在代码中提出一个新的状态 x ’ 候选

3. 计算“承受概率”

4. 从[0,1] 得出一些均匀分布的随机数 u；如果 u <α 承受该点，则设置 xt + 1 = x’。否则，回绝它并设置 xt + 1 = xt。

MH 可视化

set.seed(123)
        for (i in 2:n) {can <- rnorm(1, mu, sig)
                aprob <- min(1, (dgamma(can, a, b)/dgamma(x, 
                        a, b))/(dnorm(can, mu, sig)/dnorm(x, 
                        mu, sig)))
                u <- runif(1)
                if (u < aprob) 
                        x <- can
                vec[i] <- x

画图

设置参数。

nrep<- 54000
burnin<- 4000
shape<- 2.5
rate<-2.6

批改图，仅蕴含预烧期后的链

vec=vec[-(1:burnin)]
#vec=vec[burnin:length(vec)]

<!—->

par(mfrow=c(2,1)) # 更改主框架，在一帧中有多少个图形
plot(ts(vec), xlab="Chain", ylab="Draws")
abline(h = mean(vec), lwd="2", col="red" )

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Python 用 MCMC 马尔科夫链蒙特卡洛、回绝抽样和 Metropolis-Hastings 采样算法

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01

02

03

04

    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
0.007013 0.435600 0.724800 0.843300 1.133000 3.149000 

<!—->

var(vec[-(1:burnin)])

<!—->

[1] 0.2976507

初始值

第一个样本 vec 是咱们链的初始 / 起始值。咱们能够更改它，以查看收敛是否产生了变动。

        x <- 3*a/b
        vec[1] <- x

抉择计划

如果候选密度与指标散布 P（x）的形态匹配，即 q（x’| xt）≈P（x’）q（x’|），则该算法成果最佳。xt）≈P（x’）。如果应用正态候选密度 q，则在预烧期间必须调整方差参数 σ2。

通常，这是通过计算承受率来实现的，承受率是在最初 N 个样本的窗口中承受的候选样本的比例。

如果 σ2 太大，则承受率将非常低，因为候选可能落在概率密度低得多的区域中，因而 a1 将十分小，且链将收敛得十分慢。

示例 2：回归的贝叶斯预计

Metropolis-Hastings 采样用于贝叶斯预计回归模型。

设定参数

DGP 和图

# 创立独立的 x 值，大概为零
x <- (-(Size-1)/2):((Size-1)/2)
# 依据 ax + b + N（0，sd）创立相干值
y <-  trueA * x + trueB + rnorm(n=Size,mean=0,sd=trueSd)

正态分布拟然

    pred = a*x + b
    singlelikelihoods = dnorm(y, mean = pred, sd = sd, log = T)
    sumll = sum(singlelikelihoods)

为什么应用对数

似然函数中概率的对数，这也是我求和所有数据点的概率（乘积的对数等于对数之和）的起因。

咱们为什么要做这个？强烈建议这样做，因为许多小概率相乘的概率会变得很小。在某个阶段，计算机程序会陷入数值四舍五入或下溢问题。

因而，当您编写概率时，请始终应用对数

示例：绘制斜率 a 的似然曲线

# 示例：绘制斜率 a 的似然曲线
plot (seq(3, 7, by=.05), slopelikelihoods , type="l")

先验散布

这三个参数的均匀分布和正态分布。

# 先验散布
# 更改优先级，log 为 True，因而这些均为 log
density/likelihood
    aprior = dunif(a, min=0, max=10, log = T)
    bprior = dnorm(b, sd = 2, log = T)
    sdprior = dunif(sd, min=0, max=30, log = T)

后验

先验和概率的乘积是 MCMC 将要解决的理论量。此函数称为后验函数。同样，这里咱们应用和，因为咱们应用对数。

posterior <- function(param){return (likelihood(param) + prior(param))
}

Metropolis 算法

该算法是从 后验密度中采样最常见的贝叶斯统计利用之一。

下面定义的后验。

1. 从随机参数值开始
2. 依据某个候选函数的概率密度，抉择一个靠近旧值的新参数值
3. 以概率 p（new）/ p（old）跳到这个新点，其中 p 是指标函数，并且 p > 1 也意味着跳跃
4. 请留神，咱们有一个 对称的跳跃 / 候选散布 q（x’| x）。

标准差 σ 是固定的。

所以承受概率等于

######## Metropolis 算法 ################
    for (i in 1:iterations){probab = exp(posterior(proposal) - posterior(chain[i,]))
        if (runif(1) < probab){chain[i+1,] = proposal
        }else{chain[i+1,] = chain[i,]
        }

施行

（e）输入承受的值，并解释。

chain = metrMCMC(startvalue, 5500)
burnIn = 5000
accep = 1-mean(duplicated(chain[-(1:burnIn),]))

算法的第一步可能会因初始值而有偏差，因而通常会被抛弃来进行进一步剖析（预烧期）。令人感兴趣的输入是承受率：候选多久被算法承受回绝一次？候选函数会影响承受率：通常，候选越靠近，承受率就越大。然而，十分高的承受率通常是有益的：这意味着算法在同一点上“停留”，这导致对参数空间（混合）的解决不够现实。

咱们还能够更改初始值，以查看其是否更改后果 / 是否收敛。

startvalue = c(4,0,10)

小结

       V1              V2                V3        
 Min.   :4.068   Min.   :-6.7072   Min.   : 6.787  
 1st Qu.:4.913   1st Qu.:-2.6973   1st Qu.: 9.323  
 Median :5.052   Median :-1.7551   Median :10.178  
 Mean   :5.052   Mean   :-1.7377   Mean   :10.385  
 3rd Qu.:5.193   3rd Qu.:-0.8134   3rd Qu.:11.166  
 Max.   :5.989   Max.   : 4.8425   Max.   :19.223  

<!—->

# 比拟:
summary(lm(y~x))

<!—->

Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-22.259  -6.032  -1.718   6.955  19.892 
Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -3.1756     1.7566  -1.808    0.081 .  
x             5.0469     0.1964  25.697   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
Residual standard error: 9.78 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9579,    Adjusted R-squared:  0.9565 
F-statistic: 660.4 on 1 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

<!—->

summary(lm(y~x))$sigma

<!—->

[1] 9.780494

<!—->

coefficients(lm(y~x))[1]

<!—->

(Intercept) 
  -3.175555 

<!—->

coefficients(lm(y~x))[2]

<!—->

       x 
5.046873 

总结：

### 总结: #######################
par(mfrow = c(2,3))
hist(chain[-(1:burnIn),1],prob=TRUE,nclass=30,col="109" 
abline(v = mean(chain[-(1:burnIn),1]), lwd="2")

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本文选自《R 语言 MCMC:Metropolis-Hastings 采样用于回归的贝叶斯预计》。

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