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原文出处：拓端数据部落公众号
钻研黄金价格的动静演变过程至关重要。文中以黄金交易市场下午定盘价格为根底, 帮忙客户利用工夫序列的相干实践, 建设了黄金价格的 ARMA-GARCH 模型, 并对数据进行了实证剖析, 其后果十分靠近。利用该模型可动静刻画黄金价格数据的生成过程, 也可帮忙黄金产品投资者和生产者做出更加灵便、迷信的决策。
ARMA-GARCH 模型
在个别的计量回归模型中, 一个重要的假如条件是回归模型中残差的同方差性。它保障了回归系数的无偏性、有效性与一致性; 然而, 当回归残差的方差不可能保障同方差, 即产生异方差时, 回归估计系数的有效性与一致性则无奈保障, 从而导致回归系数预计的偏差。在理论的金融工夫序列中, 数据大都具备“尖峰厚尾”、稳定会聚性与爆发性等特色。依据金融工夫序列的这些个性, 为了应答这种状况, 美国经济学家 RobertF.Engle 于 1 982 年首次提出了 A R C H 模型; 它具备良好的个性, 即继续的方差和解决厚尾的能力, 能较好地形容金融序列的稳定特色[6-7]。
ARMA 模型
一般来说, 一个变量的当初取值, 不仅受其自身过来值的影响, 而且也受当初和过来各种随机因素冲击的影响。因而, 可建设其数据生成模型为:
y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+…+a py t-p+u t+
β1 u t-1+…+βq u t-q(1)
式中:p 和 q 为模型的自回归阶数和挪动均匀阶数;a i 和 βi 为不为零的待定系数;u t 为独立的误差项;y t 为安稳、正态、零均值的工夫序列。如果该模型的特色根都在单位圆外, 则该模型就称为 A R M A(p,q)模型
GARCH(p,q) 模型
若随机变量 y t 能够示意为如下模式:
y t=a 0+a 1 y t-1+a 2 y t-2+…+a py t-p+u t(2)
σ2t=φ0+φ1 u2t-1+φ2 u2t-2+…+φq u2t-q(3)式中:σ2t 为条件方差;φi 为待定系数; 其它参数同上。
称 u t 遵从 q 阶的 A R C H 过程, 记作 u t A R C H(q)。其中,(2)式称作均值方程,(3)式称作 A R C H 方程。A R C H(q)模型是对于 σ2t 的散布滞后模型。为防止 u2t 的滞后项过多, 可采纳退出 σ2t 滞后项的办法。对于 (3) 式, 可给出如下模式:
σ2t=φ0+φ1 u2t-1+λ1σ2t-1(4)
式中:λ 为待定系数。
该模型称为狭义自回归条件异方差模型, 用 G A R C H(1,1)示意。其中,u t- 1 称为 A R C H 项;σt- 1 称为 G A R C H 项。
(4)式应满足的条件为:φ0>0,φ1≥0,λ1≥0。
ARMA-GARCH 模型建设与实证剖析**
建设 ARMA-GARCH 模型步骤
建设黄金价格 ARMA-GARCH 模型通常包含 5 个步骤, 即序列平稳性验证、模型辨认及参数估计、异方差效应测验、建设 ARMA-GARCH 模型及参数估计、模型诊断与实证剖析。建设模型过程见图。
数据采集
笔者所选取的样本数据为 XX 定盘价格(用 P 示意, 单位为美元 / 盎司), 共计 851 个数据, 利用计量剖析软件 R 实现
平稳性测验及数据处理
通过黄金价格工夫序列 (见图 2) 能够看出, 历年的黄金价格有异样值并且构造产生了渐变; 相干统计特色显示黄金价格序列存在右偏和尖峰景象 (绝对于规范正态分布), 出现“尖峰厚尾”特色。同时 J B 测验也阐明黄金价格序列不遵从正态分布。再者, 从黄金价格自相干及偏相关(见图 3) 中, 可初步判断黄金价格为构造产生渐变的非安稳工夫序列。
为了测验数据是否适宜建设工夫序列模型, 现对数据做平稳性测验即单位根测验, 测验模型办法为最小二乘预计。对黄金价格 P 进行单位根测验测验后果见如下。其测验后果均分明显示黄金价格序列存在单位根, 为非安稳工夫序列。
因而, 笔者对黄金价格工夫序列取自然对数, 再对其进行单位根测验。从测验后果能够看出, 因为 p 值小于 0.05，因而回绝原假如，认为黄金价格工夫序列为安稳序列。只有带漂移项的测验式能力通过 t 测验。
经测验,A D F=-3.1413, 小于不同测验办法的临界值, 所以自然对数的黄金价格序列是一个带有漂移项的安稳序列。
模型辨认及参数估计
ARMA 模型的定阶从两方面思考: 一是思考模型的数据特色, 即自相干函数和偏自相干函数; 二是思考模型定阶准则 AIC 和 SIC。
依据 ln(P)的自相干图, 可初步选定 ARMA(1,0)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)、ARMA(2,1)等 8 个模型。
通过综合比拟各模型的断定指标 (见表 2), 能够判断模型 ARMA(1,1) 的 AIC 数值和 SIC 数值最小, 初步选定该模型。其参数估计采纳非线性最小二乘法, 利用 R 软件实现。ARMA(1,1)模型对应的数学表达式为
l n(P t)=6.168+0.98 5l n(P t-1)+u t+0.33 4u t-1。
从后果能够看出, 各参数均通过 t 测验, 方程特色根的倒数均在单位圆内, 即特色根均在单位圆外, 满足平稳性要求。
ARMA (p,q) 模型的相干断定指标
| 模型 | AIC | log likelihood |
|---|---|---|
| A R M A (1, 0) | 6880.5 | -3437.26 |
| A R M A (0, 1) | 9346.89 | -4670.44 |
| A R M A (1, 1) | 6882.5 | -3437.25 |
| A R M A (2, 1) | 6884.2 | -3437.12 |
| A R M A (1,2) | 6904.7 | -3447.35 |
| A R M A (2, 2) | 6883.6 | -3435.84 |
| [A R M A ( 3, 1)]() | 6899.1 | -3443.58 |
| A R M A (1, 3) | 7096.61 | -3542.3 |
A R C H 测验
在剖析金融数据中, 条件异方差的疏忽可能导致参数估计失去渐进有效性和 ARMA 模型的适度参数化, 还可能引起传统测验的适度回绝。能够发现稳定的“成群”景象: 稳定在一段期间内十分小, 在其余一段期间内十分大。这阐明 ARMA(1,1)模型的误差项可能具备条件异方差性。
借助 R 软件, 可得出自回归条件异方差的 L M 测验式为:u2t=0.001 8+0.256 6u2t-1
t 测验(5.319)(5.65 2)
L P 的 A R M A(1,1)模型残差测验的统计量 L M=8.3379>χ0.05(1)=3.8 4。其中,T 为样本容量;R2 为断定系数。
ARMA-GARCH 模型建设
测验后果证实,ARMA(1,1)模型的残差存在自回归条件异方差, 则应该在 ARMA(1,1)均值方程根底上建设 ARCH 模型。为确定 ARCH 阶数需屡次尝试, 最终确定 ARCH 模型为 2 阶。因为滞后期很长, 在此思考退出 GARCH 模型, 进一步采纳 GARCH(2,2)模型。
这些充分说明均值方程在配有 G A R C H(1,1)模型后, 已打消了 A R M A(1,1)模型残差序列中的自回归条件异方差成分。该模型可能更好的拟合数据。
实证剖析
联合预测实践及相应软件工具, 利用 ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型对黄金价格进行验证。
最初咱们失去以下后果：
结语
(1)本文通过对黄金价格 ARMA(1,0)模型的残差序列进行 ARCH-LM 测验, 发现了黄金价格存在显著的自回归条件异方差效应。
(2)利用工夫序列相干实践, 建设了 ARMA(1,1)-GARCH(2,2)模型。通过实证剖析可知, 该模型可精确地动静刻画黄金价格数据的生成过程, 平均误差很小。
[ 参考文献 ]\
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[4] 陈杨林, 向东进. 基于稳定率模型的世界黄金价格实证剖析[J] . 决策与信息, 2008(9) : 26-27.\
[5] 贾新宇, 谢家智. 上海黄金市场价格稳定特色的实证钻研[J] . 金融经济, 2008(8) : 97-98.\
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