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最近咱们被客户要求撰写对于金融工夫序列模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
这篇文章探讨了自回归综合挪动均匀模型 (ARIMA) 和自回归条件异方差模型 (GARCH) 及其在股票市场预测中的利用 （ 点击文末“浏览原文”获取残缺 代码数据 ******** ）。
介绍
一个 ARMA (AutoRegressive-Moving Average)”) 有两局部，AR(p)局部和 MA(q)局部，示意如下
其中 L 是滞后算子，ϵi 是白噪声。它能够通过 Box-Jenkins method. 咱们可能会应用 PACF 绘制辨认 AR 滞后阶数 p，和 ACF 图以辨认 MA 滞后阶数 q；或应用信息，例如 AIC 和 BIC 做模型抉择。
ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average)”) 是 ARMA 的拓展，通过为非安稳过程增加阶数为 d 的积分局部。
ARIMA 是针对价格水平或收益率的，而 GARCH（狭义自回归条件异方差）则试图对稳定率或收益率平方的聚类进行建模。它将 ARMA 项扩大到方差方面。
作为随机稳定率模型的离散版本，GARCH 也能捕捉到股票市场的厚尾效应。因而，将 ARIMA 和 GARCH 联合起来，预计在模仿股票价格时比独自一个模型更适宜。在这篇文章中，咱们将把它们利用于标普 500 指数的价格。
ARIMA
首先，家喻户晓，股票价格不是安稳的；而收益可能是安稳的。ADF 单位根测验后果。
# 价格是已知的非安稳的；收益是安稳的
import adfuller
rsut = aduler(close)
prnt(f'ADF Satitic: {reslt[]}, pale: {rslt1]}') # null 假如：单位根存在；不能回绝 null。relt = adfler(histet)
prnt(f'ADF Statistic: {reut[0]}, pvaue: {rslt[1]}') # 回绝单位根的空假如 ==> 安稳
收益序列的 ADF p 值为 0，回绝单位根的原假如。因而，咱们在 ARIMA(p, d, q) 中承受 d=1，下一步是辨认滞后 p 和 q。ACF 和 PACF 图表明滞后最多 35 个工作日。如果咱们依照图表进行拟合，将有太多参数无奈拟合。一种解决方案是应用每周或每月图表。在这里，咱们将最大滞后工夫限度为 5 天，并应用 AIC 抉择最佳模型。
for p in rage(6):
for q in rage(6):
ry:
mft = fit(disp=0)
ic[(p, q)] = fiaic
except:
pass
下一步是拟合模型并通过残差统计评估模型拟合。残差依然显示出一些自相干，并且没有通过正态性测验。因为滞后阶数限度，这在某种程度上是预料之中的。
尽管如此，让咱们持续最初一步并应用模型进行预测。上面比拟了对测试集的收益率预测和理论收益率。
收益率预测以 0% 为核心，置信区间在 ±2% 之间。后果并不是特地令人印象粗浅。毕竟，市场正在经验一个动荡的阶段，在预测工夫窗口内甚至上涨了 6%。
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GARCH
让咱们看看退出 GARCH 成果是否会产生更好的后果。建模过程相似于 ARIMA：首先辨认滞后阶数；而后拟合模型并评估残差，最初如果模型令人满意，就用它来预测。
咱们将 AR 滞后和 GARCH 滞后都限度为小于 5。后果最优阶为 (4,2,2)。
for l in rage(5):
for p in rage(1, 5):
for q in rage(1, 5):
try:
mdl = arch(is_et, man='ARX', vol='Garch', p=p, o=0, q=q, dist='Nomal')
fit(last_obs=spldat)
dc_ic[(l, p, q)] =aic
except:
pass
接下来让咱们依据抉择的最佳参数来拟合模型，如下所示。证实了均值模型是 AR(4)，方差模型是 GARCH(2, 2)。一些系数在统计上不显着。
最初但并非最不重要的是，预测区间从±4% 降落到±3%，而后又反弹到±5%，这分明地表明了模型的波动性集群。请留神，这里是单步滚动预测，应该比动态的多期预测要好。
趋势安稳和差分安稳
趋势安稳，即确定性趋势，具备确定性均值趋势。相同，差分安稳具备随机趋势。前者能够用 OLS 预计，后者须要先求差分。
思考一个简略的过程
如果 φ<1，则过程是趋势安稳的；也就是说，如果咱们减去趋势 at，则过程变得安稳。若 φ =1，则差分安稳。将第二个方程代入第一个方程很容易看出随机性，并将方程改写为
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本文选自《Python 金融工夫序列模型 ARIMA 和 GARCH 在股票市场预测利用》。
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