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50. Pow(x, n)
实现 pow(x, n)，即计算 x 的 n 次幂函数。
示例 1:
输出: 2.00000, 10
输入: 1024.00000
示例 2:
输出: 2.10000, 3
输入: 9.26100
示例 3:
输出: 2.00000, -2
输入: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
阐明:
-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范畴是 [−231, 231 − 1]。
题目难度: Midium
思路 1: 二分 + 递归
首先看到题目，最直观的想法就是一次遍历，每次都乘上x。工夫复杂度为 $O(n)$, 空间复杂度为 $O(1)$.
$f(n)=f(n-1)*x$
通常而言，最暴力的办法不会是效率最高的办法，这题也不例外。比方
$$\begin{align}2^4=2^2*2^2 \\ 2^5=2^3*2^2\end{align}$$
咱们其实并不需要计算 $2^1$ 始终到 $2^n$. 因而能够失去一个更高效的计算公式
$$x^n=\begin{cases} x^{\frac{n+1}{2}}*x^{\frac{n-1}{2}}, if(n\%2!=0)\\ x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}, if(n\%2==0)\end{cases}$$
def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
if n == 0:
return 1
flag = 1 if n > 0 else -1
n = abs(n)
def helper(x, n):
if n == 0:
return 1
# 如果是奇数
if n % 2:
res = helper(x, (n-1) // 2)
return res * res * x
# 如果是偶数
res = helper(x, n // 2)
return res * res
return helper(x, n) if flag > 0 else 1. / helper(x, n)
工夫复杂度: $O(log(n))$, 空间复杂度：$O(log(n))$.
思路 2
二分 + 迭代
def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
if n == 0:
return 1
flag = 1 if n > 0 else -1
n = abs(n)
res = 1.
ans = x
while n > 0:
if n % 2:
res *= ans
ans *= ans
n //= 2
return res if flag > 0 else 1. / res
工夫复杂度为 $O(log(n))$, 空间复杂度为 $O(1)$
相比于第二种思路，集体感觉第一种思路更容易了解，但须要额定的空间复杂度。办法二，想了很久还是不能齐全了解。
53. 最大子序和
给定一个整数数组 nums，找到一个具备最大和的间断子数组（子数组起码蕴含一个元素），返回其最大和。
示例:
输出: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输入: 6
解释: 间断子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:
如果你曾经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试应用更为精妙的分治法求解。
这道题是一个比拟典型的动静布局问题，既然是动静布局问题，那就须要明确抉择和状态
状态：$f(n)$ 示意以 nums[n-1]完结的最大子序列和.
抉择：是否抉择元素作为最大和的间断子数组的元素。
状态转移方程：
$$
f(n) =\begin{cases} f(n-1) + nums[n-1], &if (f(n-1) + nums[n-1]>nums[n-1])\\ nums[n-1],&else\end{cases}
$$
艰深一点来了解就是，如果以后的元素不能使最大子序和变大，则将已有的子序列舍弃。
基于状态转移方程，能够写出如下代码
def maxSubArray(nums):
if not nums:
return
n = len(nums)
b = nums[0]
res = b
for i in range(1, n):
b = max(b+nums[i], nums[i])
res = max(res, b)
return res思路 2
分治法
最大子序和能够有 3 种状况
- 最大子序和呈现在数组的左半局部
- 最子子序和呈现在数组的右半局部
- 最大子序和逾越数组的左半局部和右半局部
最初的最大值为 左半局部的最大值 ， 右半局部的最大值 ， 逾越左半局部和右半局部的最大值 之间的最大值
def maxSubArray(nums):
if not nums:
return
n = len(nums)
if n == 1:
return nums[0]
# 左半局部的最大值
max_left = maxSubArray(nums[:n//2])
# 右半局部的最大值
max_right = maxSubArray(nums[n//2:])
# 计算两头的最大子序和
# 从右到左计算右边的最大子序和
max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
tmp += nums[i]
max_l = max(tmp, max_l)
# 从左到右计算左边的最大子序和
max_r = nums[len(nums) // 2]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
tmp += nums[i]
max_r = max(tmp, max_r)
#返回三个中的最大值
return max(max_right,max_left,max_l+max_r)工夫复杂度为 $nlog(n)$, 空间复杂度为 $O(log(n))$
169. 少数元素
给定一个大小为 n 的数组，找到其中的少数元素。少数元素是指在数组中呈现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。
你能够假如数组是非空的，并且给定的数组总是存在少数元素。
示例 1:
输出: [3,2,3]
输入: 3示例 2:
输出: [2,2,1,1,1,2,2]
输入: 2最简略，最间接的想法就是排序，去最两头的数即可，对应的复杂度就是排序的复杂度。工夫复杂度为 $O(nlog(n))$, 空间复杂度为 $log(n)$
思路 1
分治
依据题目对众数的定义，如果将数组划分为左右两局部，那么数组的众数必然是其中一个局部的众数。
def majorityElement(nums):
if not nums:
return
def helper(low, high):
if low == high:
return nums[low]
mid = (low + high) // 2
left = helper(low, mid)
right = helper(mid, high)
if left == right:
return left
# 统计左半局部的众数呈现次数
cnt_left = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == left])
# 统计右半局部的众数呈现次数
cnt_right = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == right])
#
return left if cnt_left > cnt_right else riht
return helper(0, len(nums)-1)
工夫复杂度为 $O(nlog(n))$, 空间复杂度为 $O(log(n))$
思路 2
投票
保护一个众数得分，只有当以后众数的得分等于 0 时，批改众数
def majorityElement(nums):
if not nums:
return
score = 1
candidate = nums[0]
for n in nums[1:]:
if score == 0:
candidate = n
if n == candidate:
score += 1
else:
score -= 1
return candidate
工夫复杂度为 $O(n)$, 空间复杂度为 $O(1)$
