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集合论是数学的一个分支，钻研汇合、它们的运算和它们的性质。
- 汇合由不反复的项组成。
根本符号
运算符
- 并运算符，∪，示意“或”；
- 交运算符，∩，示意“且”；差
- 运算符，\，示意“不包含”；
- 补运算符，’，示意补集;
- 叉积运算符，×，示意笛卡尔积。
限定词
- 冒号限定词，:，示意“使得”；
- 隶属限定词，∈，示意“属于”；
- 子集限定词，⊆，示意“是……的子集”;
- 真子集限定词，⊂，示意“是……的真子集”。
重要的汇合
- ∅，空集，即不蕴含任何元素的汇合；
- ℕ，自然数集；
- ℤ，整数集；
- ℚ，有理数集；
- ℝ，实数集。
对于以上汇合，有如下几点须要留神：1. 空集是其自身的子集（并且也是任何其余汇合的子集），即使空集不蕴含任何项；2. 数学家们对于零是否为自然数的认识通常并不对立，教科书个别会明确阐明作者是否认为零是自然数。
基数
汇合的基数，或者说大小，由该汇合中的我的项目数量决定。基数运算符为 |…|。
例如，若 S = {1, 2, 4}，则 |S| = 3。
空集
- 能够在汇合符号中应用不成立的条件来结构空集，例如，∅ = {x : x ≠ x}，或 ∅ = {x : x ∈ N, x < 0}；
- 空集总是惟一的（即，有且只有一个空集）；
- 空集是所有汇合的子集；
- 空集的基数为 0，即 |∅| = 0。
汇合的示意
汇合的逐项结构
汇合能够通过蕴含其全副项的列表逐项生成。例如，S = {a, b, c, d}。
只有形成汇合的项分明，长列表能够用省略号缩短。例如，E = {2, 4, 6, 8, …} 显然为所有偶数形成的汇合，它蕴含无穷多项，尽管咱们只显式写出了其中四项。
汇合结构器
汇合结构器符号是结构汇合的一种更具描述性的形式。它依赖于一个主语和一个谓词，使得 S = {主语 : 谓词}。例如，
A = {x : x 是元音字母} = {a, e, i, o, u, y}
B = {x : x ∈ N, x < 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {x : x = 2k, k ∈ N} = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
有时，谓词可能会“漏 “ 到主语中，例如，
D = {2x : x ∈ N} = {0, 2, 4, 6, 8, ...}关系
从属关系
- 如果值 a 蕴含在汇合 A 中，那么咱们说 a 属于 A，并用符号示意为 a ∈ A。
- 如果值 a 不蕴含于汇合 A 中，那么咱们说 a 不属于 A，并用符号示意为 a ∉ A。
相等关系
- 如果两个汇合包含雷同的项，那么咱们说这两个汇合相等，例如，A = B。汇合的相等关系于程序无关，例如 {1, 2, 3, 4} = {2, 3, 1, 4}。
- 汇合中的元素不能反复，例如 {1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} = {1, 2, 3, 4}。
- 汇合 A 与 B 相等当且仅当 A ⊆ B 且 B ⊆ A。
非凡汇合
幂集
- 令 A 为任意汇合。幂集指的是包含了 A 的所有子集的汇合，记作 P(A)。如果汇合 A 由 2n 个元素组成，那么 P(A) 中有 2^n 个元素。
P(A) = {x : x ⊆ A}
两个汇合的运算
并
给定汇合 A 和 B，两个汇合的并由呈现在 A 或 B 中的项形成，记作 A ∪ B。
A ∪ B = {x : x ∈ A ∪ x ∈ B}
交
给定汇合 A 和 B，两个汇合的交由呈现在 A 和 B 中的项形成，记作 A ∩ B。
A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B}
差
给定汇合 A 和 B，A 对于 B 的汇合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。
A \ B = {x : x ∈ A, x ∉ B}
对称差
给定汇合 A 和 B，对称差指的是属于 A 或 B 但不属于它们交加的所有项。
A △ B = {x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)笛卡尔积给定汇合
A 和 B，A 和 B 的笛卡尔积由 A 和 B 的项的所有组合形成。
A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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Translated by: Tianchen Xu
© 2022Translated by: Tianchen Xu
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