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读完本文，你能够去力扣拿下如下题目：
704. 二分查找
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最初一个地位
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先给大家讲个笑话乐呵一下：
有一天阿东到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把阿东拦下，要检查一下哪本书没有注销归还。阿东正筹备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，然而保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安胜利的找到了那本引起警报的书，露出了得意和讥嘲的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。
从此，图书馆丢了 N – 1 本书。
二分查找并不简略，Knuth 大佬（创造 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简略，细节是魔鬼。很多人喜爱拿整型溢出的 bug 说事儿，然而二分查找真正的坑基本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <。
PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，全副公布在 labuladong 的算法小抄，继续更新。倡议珍藏， 依照我的文章程序刷题，把握各种算法套路后投再入题海就蛟龙得水了。
你要是没有正确理解这些细节，写二分必定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来讴歌该算法，概括本文的次要内容，倡议保留：
本文就来探索几个最罕用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，咱们就是要深刻细节，比方不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。剖析这些细节的差别以及呈现这些差别的起因，保障你能灵便精确地写出正确的二分查找算法。
零、二分查找框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {...} else if (nums[mid] < target) {left = ...} else if (nums[mid] > target) {right = ...}
}
return ...;
}剖析二分查找的一个技巧是：不要呈现 else，而是把所有状况用 else if 写分明，这样能够分明地展示所有细节。本文都会应用 else if，旨在讲清楚，读者了解后可自行简化。
其中 ... 标记的局部，就是可能呈现细节问题的中央，当你见到一个二分查找的代码时，首先留神这几个中央。后文用实例剖析这些中央能有什么样的变动。
另外申明一下，计算 mid 时须要避免溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的后果雷同，然而无效避免了 left 和 right 太大间接相加导致溢出。
一、寻找一个数（根本的二分搜寻）
这个场景是最简略的，肯能也是大家最相熟的，即搜寻一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 留神
while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 留神
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 留神
}
return -1;
}1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最初一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能呈现在不同性能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
咱们这个算法中应用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜寻的区间。
什么时候应该进行搜寻呢？当然，找到了目标值的时候能够终止：
if(nums[mid] == target)
return mid; 但如果没找到，就须要 while 循环终止，而后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜寻区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的模式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见 这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，间接返回 -1 即可。
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的模式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜寻，如果这时候间接返回 -1 就是谬误的。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也能够，咱们曾经晓得了出错的起因，就打个补丁好了：
//...
while(left < right) {// ...}
return nums[left] == target ? left : -1;2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只有你能了解后面的内容，就可能很容易判断。
方才明确了「搜寻区间」这个概念，而且本算法的搜寻区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当咱们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜寻哪里呢？
当然是去搜寻 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 曾经搜寻过，应该从搜寻区间中去除。
3、此算法有什么缺点？
答：至此，你应该曾经把握了该算法的所有细节，以及这样解决的起因。然而，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。然而如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无奈解决的。
这样的需要很常见，你兴许会说，找到一个 target，而后向左或向右线性搜寻不行吗？能够，然而不好，因为这样难以保障二分查找对数级的复杂度了。
咱们后续的算法就来探讨这两种二分查找的算法。
二、寻找左侧边界的二分搜寻
以下是最常见的代码模式，其中的标记是须要留神的细节：
int left_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 留神
while (left < right) { // 留神
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {right = mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid; // 留神}
}
return left;
}1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?
答：用雷同的办法剖析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因而每次循环的「搜寻区间」是 [left, right) 左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜寻区间 [left, left) 为空，所以能够正确终止。
PS：这里先要说一个搜寻左右边界和下面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：方才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜寻区间」变成左闭右开呢？
因为对于搜寻左右侧边界的二分查找，这种写法比拟广泛，我就拿这种写法举例了，保障你当前遇到这类代码能够了解。你非要用两端都闭的写法反而更简略，我会在前面写相干的代码，把三种二分搜寻都用一种两端都闭的写法对立起来，你急躁往后看就行了。
2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先了解一下这个「左侧边界」有什么非凡含意：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含意能够这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比方对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含意是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
PS：我认真写了 100 多篇原创，手把手刷 200 道力扣题目，全副公布在 labuladong 的算法小抄，继续更新 。倡议珍藏， 依照我的文章程序刷题，把握各种算法套路后投再入题海就蛟龙得水了。
再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含意是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上能够看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以咱们简略增加两行代码就能在正确的时候 return -1：
while (left < right) {//...}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 相似之前算法的解决形式
return nums[left] == target ? left : -1;3、为什么 left = mid + 1，right = mid？和之前的算法不一样？
答：这个很好解释，因为咱们的「搜寻区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜寻区间应该去掉 mid 宰割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。
4、为什么该算法可能搜寻左侧边界？
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种状况的解决：
if (nums[mid] == target)
right = mid;可见，找到 target 时不要立刻返回，而是放大「搜寻区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中持续搜寻，即一直向左膨胀，达到锁定左侧边界的目标。
5、为什么返回 left 而不是 right？
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。
6、能不能想方法把 right 变成 nums.length - 1，也就是持续应用两边都闭的「搜寻区间」？这样就能够和第一种二分搜寻在某种程度上对立起来了。
答：当然能够，只有你明确了「搜寻区间」这个概念，就能无效防止漏掉元素，轻易你怎么改都行。上面咱们严格依据逻辑来批改：
因为你非要让搜寻区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：
int left_bound(int[] nums, int target) {// 搜寻区间为 [left, right]
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
// if else ...
}因为搜寻区间是两端都闭的，且当初是搜寻左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：
if (nums[mid] < target) {// 搜寻区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {// 搜寻区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 膨胀右侧边界
right = mid - 1;
}因为 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下状况使得索引越界：
因而，最初返回后果的代码应该查看越界状况：
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;至此，整个算法就写完了，残缺代码如下：
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
// 搜寻区间为 [left, right]
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {// 搜寻区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {// 搜寻区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 膨胀右侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 查看出界状况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}这样就和第一种二分搜索算法对立了，都是两端都闭的「搜寻区间」，而且最初返回的也是 left 变量的值。只有把住二分搜寻的逻辑，两种模式大家看本人喜爱哪种记哪种吧。
三、寻找右侧边界的二分查找
相似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜寻左侧边界不同，已标注：
int right_bound(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {left = mid + 1; // 留神} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid;}
}
return left - 1; // 留神
}1、为什么这个算法可能找到右侧边界？
答：相似地，关键点还是这里：
if (nums[mid] == target) {left = mid + 1;当 nums[mid] == target 时，不要立刻返回，而是增大「搜寻区间」的下界 left，使得区间一直向右膨胀，达到锁定右侧边界的目标。
2、为什么最初返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我感觉这里既然是搜寻右侧边界，应该返回 right 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜寻右侧边界的一个非凡点，要害在这个条件判断：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
因为咱们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环完结时，nums[left] 肯定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜寻，就不再赘述。
3、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：相似之前的左侧边界搜寻，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范畴是 [0, nums.length]，所以能够增加两行代码，正确地返回 -1：
while (left < right) {// ...}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;4、是否也能够把这个算法的「搜寻区间」也对立成两端都闭的模式呢？这样这三个写法就齐全对立了，当前就能够闭着眼睛写进去了。
答：当然能够，相似搜寻左侧边界的对立写法，其实只有改两个中央就行了：
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
// 这里改成膨胀左侧边界即可
left = mid + 1;
}
}
// 这里改为查看 right 越界的状况，见下图
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以须要在最初避免越界：
至此，搜寻右侧边界的二分查找的两种写法也实现了，其实将「搜寻区间」对立成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？
四、逻辑对立
来梳理一下这些细节差别的因果逻辑：
第一个，最根本的二分查找算法：
因为咱们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了咱们的「搜寻区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为咱们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时能够立刻返回第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为咱们初始化 right = nums.length
所以决定了咱们的「搜寻区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为咱们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立刻返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为咱们初始化 right = nums.length
所以决定了咱们的「搜寻区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为咱们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立刻返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最初无论返回 left 还是 right，必须减一对于寻找左右边界的二分搜寻，常见的手法是应用左闭右开的「搜寻区间」，咱们还依据逻辑将「搜寻区间」全都对立成了两端都闭，便于记忆，只有批改两处即可变动出三种写法：
int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if(nums[mid] == target) {
// 间接返回
return mid;
}
}
// 间接返回
return -1;
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最初要查看 left 越界的状况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid - 1;} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最初要查看 right 越界的状况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}如果以上内容你都能了解，那么祝贺你，二分查找算法的细节不过如此。
通过本文，你学会了：
1、剖析二分查找代码时，不要呈现 else，全副开展成 else if 不便了解。
2、留神「搜寻区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最初查看。
3、如需定义左闭右开的「搜寻区间」搜寻左右边界，只有在 nums[mid] == target 时做批改即可，搜寻右侧时须要减一。
4、如果将「搜寻区间」全都对立成两端都闭，好记，只有稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可，举荐拿小本本记下，作为二分搜寻模板。
