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作者 |ANIRUDDHA BHANDARI
编译 |VK
起源 |Analytics Vidhya
概述
- 了解 R 方和调整 R 方的概念
- 理解 R 方和调整 R 方之间的要害区别
介绍
当我开始我的数据迷信之旅时，我摸索的第一个算法是线性回归。
在了解了线性回归的概念和算法的工作原理之后，我十分兴奋地应用它并在问题陈说中做出预测。我置信你们大多数人也会这么做的。然而一旦咱们建设了模型，下一步是什么呢？
接下来是辣手的局部。一旦咱们建设了模型，下一步就是评估它的性能。毋庸置疑，模型评估是一项关键性的工作，它凸显了模型的有余。
抉择最合适的评估指标是一个要害的工作。而且，我遇到了两个重要的指标：除了 MAE/MSE/RMSE，有 R 方和调整 R 方。这两者有什么区别？我应该用哪一个？
R 方和调整 R 方是两个评估指标，对于任何一个数据迷信的追求者来说，这两个指标可能会让他们感到困惑。
它们对评估回归问题都十分重要，咱们将深刻理解和比拟它们。它们各有利弊，咱们将在本文中具体探讨。
目录
- 残差平方和
- 理解 R 方统计量
- 对于 R 方统计量的问题
- 调整 R 方统计量
残差平方和
为了分明地了解这些概念，咱们将探讨一个简略的回归问题。在这里，咱们试图依据“花在学习上的工夫”来预测“取得的分数”。学习工夫是咱们的自变量，考试成绩是咱们的因变量或指标变量。
咱们能够绘制一个简略的回归图来可视化这些数据。
黄点代表数据点，蓝线是咱们预测的回归线。如你所见，咱们的回归模型并不能完满地预测所有的数据点。
那么咱们如何利用这些数据来评估回归线的预测呢？咱们能够从确定数据点的残差开始。
数据中某一点的 残差 是理论值与线性回归模型预测值之间的差值。
残差图通知咱们回归模型是否适宜数据。残差的平方实际上是回归模型优化的指标函数。
利用残差值，咱们能够确定残差的平方和，也称为残差平方和或 RSS。。
RSS 值越低，模型预测值越好。或者咱们能够这样说——如果回归线使 RSS 值最小化，那么回归线就是最佳拟合线。
但这其中有一个缺点——RSS 是一个尺度变量统计。因为 RSS 是理论值和预测值的平方差之和，因而该值取决于指标变量的大小。
例子：
假如你的指标变量是销售产品所产生的支出。残差取决于指标的大小。如果支出大小以“1 百卢比”为单位计算的话（即指标可能是 1、2、3 等），那么咱们可能会失去 0.54 左右的 RSS（假如）。
然而如果支出指标变量以“卢比”为单位（即目标值为 100、200、300 等），那么咱们可能会失去一个更大的 RSS，即 5400。即便数据没有变动，RSS 的值也会随着指标的大小而变动。这使得很难判断什么是好的 RSS 值。
那么，咱们能想出一个更好的尺度不变的统计量吗？这就是 R 方呈现的中央。
R 方统计量
R 方统计量是一种尺度不变的统计量，它给出了线性回归模型解释的指标变量的变动比例。
这可能看起来有点简单，所以让我在这里把它合成。为了确定模型解释的指标变动比例，咱们须要首先确定以下内容 -
平方和(TSS)
指标变量的总变动是理论值与其平均值之差的平方和。
TSS 或总平方和给出了 Y 的总变动量。咱们能够看到它与 Y 的方差十分类似。尽管方差是理论值和数据点之间差的平方和的平均值，TSS 是平方和的总和。
既然咱们晓得了指标变量的总变动量，咱们如何确定模型解释的这种变动的比例？咱们回到 RSS。
残差平方和(RSS)
正如咱们后面探讨的，RSS 给出了理论点到回归线间隔的总平方。残差，咱们能够说是回归线没有捕捉到的间隔。
因而，RSS 作为一个整体给了咱们指标变量中没有被咱们的模型解释的变动。
R 方
当初，如果 TSS 给出 Y 的总变动量，RSS 给出不被 X 解释的 Y 的变动量，那么 TSS-RSS 给出了 Y 的变动，并且这部分变动是由咱们的模型解释的！咱们能够简略地再除以 TSS，失去由模型解释的 Y 中的变动比例。这是咱们的 R 方统计量！
R 方 =（TSS-RSS）/TSS
= 解释变动 / 总变动
=1–未解释的变动 / 总变动
因而，R 方给出了指标变量的可变性水平，由模型或自变量解释。如果该值为 0.7，则意味着自变量解释了指标变量中 70% 的变动。
R 方始终介于 0 和 1 之间。R 方越高，阐明模型解释的变动越多，反之亦然。
如果 RSS 值很低，这意味着回归线十分靠近理论点。这意味着自变量解释了指标变量的大部分变动。在这种状况下，咱们会有一个十分高的 R 方值。
相同，如果 RSS 值十分高，则意味着回归线远离理论点。因而，自变量无法解释指标变量中的大部分变量。这会给咱们一个很低的 R 方值。
所以，这就解释了为什么 R 方值给出了指标变量的变动量。
对于 R 方统计量的问题
R 方统计并不完满。事实上，它有一个次要缺点。不论咱们在回归模型中增加多少变量，它的值永远不会缩小。
也就是说，即便咱们在数据中增加冗余变量，R 方的值也不会缩小。它要么放弃不变，要么随着新的自变量的减少而减少。
这显然没有意义，因为有些自变量在确定指标变量时可能没有用途。调整 R 方解决了这个问题。
调整 R 方统计量
调整 R 方思考了用于预测指标变量的自变量数量。在这样做的时候，咱们能够确定在模型中增加新的变量是否会减少模型的拟合度。
让咱们看看调整 R 方的公式，以便更好地了解它的工作原理。
在这里，
- n 示意数据集中的数据点数量
- k 示意自变量的个数
- R 代表模型确定的 R 方值
因而，如果 R 方在减少一个新的自变量时没有显著减少，那么调整 R 方值实际上会缩小。
另一方面，如果减少新的自变量，咱们看到 R 方值显著减少，那么调整 R 方值也会减少。
如果咱们在模型中退出一个随机自变量，咱们能够看到 R 方值和调整 R 方值之间的差别。
如你所见，增加随机独立变量无助于解释指标变量的变动。咱们的 R 方值放弃不变。因而，给咱们一个谬误的批示，这个变量可能有助于预测输入。然而，调整 R 方值降落，表明这个新变量实际上没有捕捉到指标变量的趋势。
显然，当回归模型中存在多个变量时，最好应用调整 R 方。这将使咱们可能比拟具备不同数量独立变量的模型。
结尾
在这篇文章中，咱们钻研了 R 方统计值是什么，它在哪里不稳固。咱们还钻研了调整 R 方。
心愿这能让你更好地了解事件。当初，你能够审慎地确定哪些自变量有助于预测回归问题的输入。
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