关于前端:一条曲线的诞生

好雨知季节，当春乃产生。随风潜入夜，润物细无声。– 杜甫

引言

在图可视化畛域有着大量和曲线相干的场景，然而想要失去一条适合的曲线却并不容易。笔者最近在应用 AntV G6 的时候，就遇到了这样的问题。形态扁平，箭头方向和连线趋势不统一，连线终点和起点被暗藏等等，难看的曲线总是类似的，而俊俏的曲线却各有各的问题。如何失去一条难看的曲线呢？来一探到底吧。

问题

AntV G6 自带了 cubic-vertical 连线，即竖直方向上的三阶贝塞尔曲线，然而这种连线不反对传入控制点。连线本身较不美观，且无奈解决一些极其状况，如下图所示。图 2 中曲线过于扁平，连线趋势和末端箭头的方向偏离角度太大；图 3 中，箭头和连线起始点齐全被遮蔽。

图 1

图 2

图 3

其余图编辑产品的连线

他山之石，可以攻玉。为了晋升用户的连线体验，咱们横向比拟了其余图编辑产品的连线计划。共找到 4 个较为类似的出名产品。其中 Draw.io 和 Processon 是比拟偏重于图编辑场景的，二者都反对贝塞尔曲线，都反对通过拖拽 控制点 的形式来让用户扭转曲线形态。但这种交互方式相当于把优化曲线的工作交给了用户，和咱们的指标不同。另外 DataV 的蓝图编辑器和 AntV X6 的示例都是轻量级的图编辑场景，二者都是通过优化调整三次贝塞尔曲线来获取更好的连贯成果。上面具体论述各种连线计划。

Draw.io

draw.io 非常并重图编辑，反对三阶贝塞尔曲线，高阶贝塞尔曲线，用户能够通过拖拽控制点生成任意简单，任意形态的曲线。如下图所示，draw.io 反对在拖拽曲线的时候，减少或缩小控制点，能够调整锚点的连贯地位，调整末端箭头的方向。

图 4

Draw.io 的劣势在于：

1. 反对动静增删控制点，用户简直能够绘制出任意形态的曲线。
2. 拖动曲线或控制点时，锚点连贯地位和末端的箭头方向能够自适应调整，以取得更好的成果。如上图所示。

其毛病在于：

1. 交互较为简单，上手难度高。
2. 实现简单，动静增删控制点逻辑简单。

ProcessOn

Processon 同样并重图编辑，但仅反对三阶贝塞尔曲线，用户能够通过拖拽控制点调整曲线形态，拖拽控制点过程中箭头方向会主动调整。且 Processon 的控制点位于曲线外，合乎贝塞尔曲线的原始定义。此外，控制点和曲线的首尾两点之间有辅助线，便于用户感知控制点对于曲线形态的作用形式。

图 5

Processon 的劣势在于：

1. 拖动控制点的过程中，末端箭头的方向会主动调整。
2. 控制点的交互较为简单，且有辅助线帮忙用户了解。

其毛病在于：

1. 拖拽曲线后，再拖拽节点，曲线形态产生较大扭转。
2. 与 Draw.io 一样，将曲线形态优化的工作交给了用户。

DataV 的蓝图编辑器

DataV 的蓝图编辑器仅反对三阶贝塞尔曲线，不反对拖拽控制点，但其连线成果很好，连线开端的箭头在拖动节点的过程中也会自适应调整形态。

另外，蓝图编辑器限度了锚点是输入还是输出，如指定节点左侧的锚点仅反对输出，节点右侧的锚点仅反对输入。这样设置，可能缩小连线所须要解决的非凡状况。

图 6

DataV 蓝图编辑器的长处在于：

1. 连线为简略的贝塞尔三阶曲线，仅通过调整控制点参数来适应节点拖动所造成的形态。
2. 节点拖动过程中，连线变动晦涩。

其毛病在于：

1. 末端箭头的形态和曲线并不是齐全贴合，如上图中橙色箭头所示。

AntV X6

AntV X6 与蓝图编辑器的成果类似，但实现形式不同。该示例同样依据锚点绝对于节点的地位限度锚点是输出还是输入。X6 示例通过在贝塞尔曲线的两端增加两段直线来获取更好的连线成果，如下图所示。

图 7

X6 的实现形式的长处在于：

1. 实现形式简略，仅在贝塞尔曲线两端增加直线，且贝塞尔曲线的参数为固定值。
2. 交互成果较为晦涩。

其毛病在于：

1. 贝塞尔曲线参数固定，节点间隔较近时，曲线过于“蜿蜒”，如下图所示。

图 8

连线优化

本次曲线优化次要借鉴 AntV X6 的示例以及 DataV 蓝图编辑器的思路。

增加直线

设计思路

首先是借鉴 X6 的思路在连线两端增加直线，此计划的重点在于计算首尾两段直线的终点和起点。如下图所示，依据锚点绝对于节点的方向，直线延长的方向也有所不同。图中左侧开始节点的连贯锚点位于节点的下方，所以开始端的直线要向下延长，而终止端节点的连贯锚点位于节点的上方，此时终止端的直线要向上延长。而右图中开始节点的连贯锚点位于节点的右侧，故开始端的连线要向右延长。

图 9

实现计划

为了验证咱们思路的正确性，咱们首先剖析了 AntV X6 的曲线。

采集数据

反推法则

依据上表中 path 这一列的数据，能够看出 AntV X6 在贝塞尔曲线两端增加直线的形式为：MoveTo 终点，LineTo 贝塞尔曲线的终点，而后 Curve，三阶贝塞尔曲线，最初 lineTo 起点。以第三行为例，M -255 -95 即挪动到（-255，-95）这个点，而后 L -255 -91 即从（-255，-95）这个点画一条直线到（-255，-91）。接着，C -255 -11 -175 -324 -175 -244 即以（-255，-11）为第一个控制点，以（-175，-324）为第二个控制点，以（-175，-244）为贝塞尔曲线的起点绘制贝塞尔曲线。最初 L -175 -240 即从（-175，-244）到（-175，-240）绘制直线。总结一下，第一条命令和最初一条命令中的坐标别离为连线的终点和起点。两段连线都是在 y 方向偏离起（终）点 4 个单位，而贝塞尔曲线的两个控制点的 y 坐标别离为起 (终) 点的 y 坐标 +（-）80，而两个控制点的 x 坐标别离与终点和起点的 x 坐标雷同。

用公式表白就是：

startPoint, endPoint
M startPoint.x  startPoint.y
L startPoint.x   startPoint.y+4
C startPoint.x  startPoint.y+4+80   endPoint.x endPoint.y-4-80  endPoint.x endPoint.y-4
L endPoint.x endPoint.y

实际效果

依据锚点绝对于节点的地位来自适应两端直线的延长方向可能让连线开端的箭头放弃正确的方向，同时连线起始和开端的直线也保障了连线的方向可能被用户精确感知。如下图所示，图中左侧为默认的 cubic-vertical 曲线，图中红色圈中的连线局部，要么是终点端 无奈显示锚点绝对于节点的方向 ，要么是 起点的箭头被暗藏，这两种状况都会重大影响用户对于连线走向的感知。而右图中的连线完全避免了这两个问题，且连线走向更为清晰，晦涩，更合乎用户的心理感知。

图 10

有待改良

然而，这种计划并非尽如人意，单纯在贝塞尔曲线两端增加直线仍有两个问题须要解决。

1. 上述计划在计算 中段贝塞尔曲线的控制点时，应用了一个 Magic Numbe，常量 80, 导致当两个节点比拟凑近时，曲线的形态有些奇怪，如下图中所示。

   图 11

上述问题的外围在于，咱们对于贝塞尔曲线的控制点和曲线形态之间的关系没有精确的了解，无奈了解 Magic Number 背地的原理，对应的解法就是了解贝塞尔曲线的控制点，将 Magic Number 批改为 Func (startPoint, endPoint)。

2. 上述计划在曲线连贯的过程中没有感知用户的连贯方向，导致箭头和曲线的形态在连线的过程和后果产生较大的变动。如下图所示，左侧为连贯过程中曲线的形态和箭头方向，右侧为连贯实现后的曲线形态和箭头方向。该问题的外围在于要在 连线的过程中精确感知用户想要连贯的方向，上述计划的做法是间接将连贯方向等同于开始端连贯锚点绝对于节点的反方向。

   图 12

   该问题的解决方案即：依据连贯过程中连线开端的坐标绝对于 startPoint 的方位来确定连线的方向，革新成果如下图所示。

图 13

优化贝塞尔曲线的参数

除了借鉴 AntV X6 的连线计划，咱们还心愿借鉴 DataV 蓝图编辑器中的贝塞尔曲线。有了上述对 AntV X6 示例中连线的“逆向工程”之后，咱们打算对 DataV 蓝图编辑器中的贝塞尔曲线也如法炮制。

实现计划

采集数据

如上表所示，咱们采集了不同形态的贝塞尔曲线所对应的 Path，并试图间接找出其中的法则。第一列是曲线的形态，第二列是曲线对应的 Path，第三列是将曲线终点平移到坐标原点后的数据。

找出法则？

如上表最初一行所示，第二列仅仅找到了 y1 和 y2 坐标的法则，也就是控制点 1 和控制点 2 的 y 坐标的计算形式。而第三列所形容的等式中对于 x1 x2 的仅有一个 二元一次方程，此时是无奈求出 x1 x2 的，咱们至多还须要一个对于 x1 x2 的方程能力求出控制点的坐标。

然而如何找到另一个对于 x1、x2 的方程呢？先数形联合试一试，数有形则不直观。

图 14

如上图所示，图中的彩色曲线对应上表中的四条数据，咱们应用第三列的数据来绘制此图，心愿通过将终点都集中到原点的形式来不便比照和发现法则。图中红色曲线的每个弯折点都是控制点。

咱们能够从此图中失去以下几点常识：

1. 两个控制点绝对于曲线的中点对称，也就是说，只要求出一个控制点就能得出另一个控制点。
2. 两个控制点在 x 方向上的间隔要大于两个终点在 x 方向上的间隔。
3. 不同形态曲线的控制点在 x 方向上到终点的间隔不同，即控制点到终点在 x 方向上的间隔不是常数。

失去这些论断之后，联合表中的法则，咱们发现其实只有计算出单个控制点的坐标，就能得出另一个控制点的坐标了。而单个控制点的坐标中惟一要求的就是它的 x 坐标，也就是说，只要求出控制点在 x 方向上到终点的间隔即可。

换个角度思考，在绘制开始前，咱们应该只晓得一条曲线的终点和起点。也就是说控制点 x 坐标应该从是依据终点和起点计算出的，也就是 controlPoint.x = F (startPoint, endPoint)。然而，也有可能是controlPoint.x = F (startPoint.x, endPoint.x) 即控制点的 x 坐标仅仅由终点和起点的 x 坐标决定。

再拿点数据验证一下！

如上表所示，两条曲线形态的终点和起点的 x 坐标别离都雷同，然而曲线的形态不同，控制点也不同！阐明该当是 controlPoint.x = F (startPoint, endPoint)

然而如何求出 F 呢？

深挖一把

察看 controlPoint.x = F (startPoint, endPoint)，联合图 14，咱们能够发现：坐标平移并不会扭转曲线的形态，对计算控制点有意义的数据应该是终点和起点在 x 方向上和 y 方向上的间隔。也就是说 controlPoint.x = F(startPoint, endPoint) 即是 ctrlDistanceX = F (distanceX, distanceY)。

找 F 其实就是找法则。那能够用用概率统计外面的办法来拟合试试？兴许法则足够简略，也能够先画图看看。然而第一步须要收集更多的数据。

1. 更多的数据

为了更不便的采集更多的数据，咱们间接在蓝图编辑器页面的控制台里来点代码。

const data = [];
const func = () => {const targetPath = document.querySelector('.butterflies-link');
  data.push(targetPath.getAttribute('d'));
}
const intervalId = setInterval(func, 1000);

而后去拖动节点，变动曲线的形态，最初先 clearInterval(intervalId), 而后在控制台外面输出 data，复制粘贴走获取的数据。

去重之后的数据如下所示：

        "M 524.5 72 C 402.67229108270203 72 527.327708917298 -275.5 405.5 -275.5",
        "M 587.5 -53 C 485.63630523692785 -53 507.36369476307215 -275.5 405.5 -275.5",
        "M 523.5 -85 C 437.4786592002655 -85 491.5213407997345 -275.5 405.5 -275.5",
        "M 407.5 173 C 265.3738851783404 173 547.6261148216596 -275.5 405.5 -275.5",
        "M 600.5 17 C 482.61468766056527 17 523.3853123394347 -275.5 405.5 -275.5",
        "M 600.5 17 C 481.18236106456914 17 939.8176389354309 -264.5 820.5 -264.5",
        "M 514.5 -1 C 383.54572507813253 -1 951.4542749218674 -264.5 820.5 -264.5",
        "M 355.5 -25 C 194.73655661844936 -25 981.2634433815506 -264.5 820.5 -264.5",
        "M 355.5 -25 C 203.2729443821868 -25 952.7270556178132 -227.5 800.5 -227.5",
        "M 355.5 -25 C 251.76642131972704 -25 751.2335786802729 -66.5 647.5 -66.5",
        "M 609.5 92 C 538.7521089502782 92 718.2478910497218 -66.5 647.5 -66.5",
        "M 609.5 92 C 538.5661738289713 92 717.4338261710287 -67.5 646.5 -67.5",
        "M 609.5 92 C 473.7472665837899 92 461.2527334162101 -221.5 325.5 -221.5",
        "M 309.5 124 C 193.03243021224662 124 441.9675697877534 -221.5 325.5 -221.5",
        "M 441.5 -199 C 381.95950872107915 -199 385.04049127892085 -221.5 325.5 -221.5",
        "M 441.5 -255 C 360.8441452051197 -255 428.1558547948803 -75.5 347.5 -75.5",
        "M 441.5 -255 C 301.5519298714161 -255 496.4480701285839 176.5 356.5 176.5",
        "M 242.5 -257 C 100.44023636915881 -257 498.5597636308412 176.5 356.5 176.5",
        "M 242.5 -257 C 93.61264522666846 -257 762.3873547733315 40.5 613.5 40.5",
        "M 649.5 -258 C 544.3342456633342 -258 718.6657543366658 40.5 613.5 40.5",
        "M 649.5 -258 C 560.515759520021 -258 712.484240479979 -23.5 623.5 -23.5",
        "M 649.5 -258 C 597.4897041137563 -258 614.5102958862437 -244.5 562.5 -244.5",
        "M 649.5 -258 C 597.4202440004424 -258 613.5797559995576 -250.5 561.5 -250.5",
        "M 641.5 -242 C 591.3874261965307 -242 611.6125738034693 -250.5 561.5 -250.5",
        "M 317.5 29 C 194.74486200215108 29 684.2551379978489 -250.5 561.5 -250.5",
        "M 600.5 -79 C 526.5303726988732 -79 635.4696273011268 -250.5 561.5 -250.5",
        "M 600.5 -79 C 525.5554160660041 -79 685.4445839339959 -258.5 610.5 -258.5",
        "M 600.5 -79 C 491.4951544207572 -79 1025.5048455792428 -75.5 916.5 -75.5",
        "M 570.5 140 C 438.59432977012517 140 1048.4056702298749 -75.5 916.5 -75.5",
        "M 568.5 176 C 465.1543925991474 176 800.8456074008526 -87.5 697.5 -87.5",
        "M 568.5 176 C 453.3999669506527 176 537.6000330493473 -131.5 422.5 -131.5",

2. 解决数据

转换数据格式，计算出第一个控制点在 x 方向上到终点的间隔，终点和起点在 x 方向上的间隔，终点和起点在 y 方向上的间隔。

     // 第一个控制点在 X 方向上到终点的间隔
     [
        121.82770891729797, 101.86369476307215, 86.0213407997345,
        142.1261148216596, 117.88531233943473, 119.31763893543086,
        130.95427492186747, 160.76344338155064, 152.2270556178132,
        103.73357868027296, 70.74789104972183, 70.93382617102873,
        135.7527334162101, 116.46756978775338, 59.540491278920854,
        80.65585479488033, 139.94807012858388, 142.0597636308412,
        148.88735477333154, 105.16575433666583, 88.98424047997901,
        52.01029588624374, 52.07975599955762, 50.11257380346933,
        122.75513799784892, 73.96962730112682, 74.94458393399589,
        109.00484557924278, 131.90567022987483, 103.3456074008526,
        115.1000330493473,
      ]

            // 终点和起点在 X 方向上的间隔
            [
        119, 182, 118, 2, 195, 220, 306, 465, 445, 292, 38, 37, 284, 16, 116,
        94, 85, 114, 371, 36, 26, 87, 88, 80, 244, 39, 10, 316, 346, 129, 146,
      ]
       
      // 终点和起点在 Y 方向上的间隔
      [
        347.5, 222.5, 190.5, 448.5, 292.5, 281.5, 263.5, 239.5, 202.5, 41.5,
        158.5, 159.5, 313.5, 345.5, 22.5, 179.5, 431.5, 433.5, 297.5, 298.5,
        234.5, 13.5, 7.5, 8.5, 279.5, 171.5, 179.5, 3.5, 215.5, 263.5, 307.5,
      ]

3. 尝试剖析

   间接看必定看不出什么的，画个图试试。

   <div align=”center”> 图 15</div>

   图中横坐标是不同的贝塞尔曲线的 id，纵坐标是间隔，红色折线是第一个控制点在 x 方向上到终点的间隔，蓝色折线是终点和起点在 x 方向上的间隔，绿色折线则是终点和起点在 y 方向上的间隔。

   如同看不出什么趋势，排个序试一试。

   图 16

   红色折线总是位于蓝色折线和绿色折线之间，相似于平均值的关系，应该是 z = ax + by 的模式。在这里，我尝试了 a = b = 0.5 | 0.4 … 并察看不同的计算结果得出的折线与红色折线的贴合水平。如下图所示，图中彩色折现即 a = b = 0.5 时的计算结果，然而最优后果必定不是试出来的 …

   图 17

4. 最小二乘法

拟合一条曲线的一种办法就是最小二乘法，原理这里就不介绍了。总之，假设红色折线能够通过 z = ax + by 的模式由蓝色折线和绿色折线拟合的话，最小二乘法能够帮咱们求出最精确的 a 和 b。

import numpy as np
from scipy import optimize        # 最小二乘法拟合


def func(x, y, p):
    """ 数据拟合所用的函数：z=ax+by
    :param x: 自变量 x
    :param y: 自变量 y
    :param p: 拟合参数 a, b
    """
    a, b = p
    return a * x + b * y

def residuals(p, z, x, y):
    """失去数据 z 和拟合函数之间的差"""
    return z - func(x, y, p)

xSource = [80, 87, 88, 116, 38, 37, 39, 10, 94, 118, 26, 182, 129, 292, 36, 316, 146, 16, 195, 220, 119, 244, 306, 346, 284, 85, 114, 2, 371, 445, 465]
ySource = [8.5, 13.5, 7.5, 22.5, 158.5, 159.5, 171.5, 179.5, 179.5, 190.5, 234.5, 222.5, 263.5, 41.5, 298.5, 3.5, 307.5, 345.5, 292.5, 281.5, 347.5, 279.5, 263.5, 215.5, 313.5, 431.5, 433.5, 448.5, 297.5, 202.5, 239.5]
cSource = [50.11, 52.01, 52.07, 59.54, 70.74, 70.93, 73.96, 74.94, 80.65, 86.02, 88.98, 101.86, 103.34, 103.73, 105.16, 109.0, 115.1, 116.46, 117.88, 119.31, 121.82, 122.75, 130.95, 131.9, 135.75, 139.94, 142.05, 142.12, 148.88, 152.22, 160.76]
    

def main():

  x = np.array(xSource)
  y = np.array(ySource)
  z = np.array(cSource)  # 数据轻易取的
  
  plsq = optimize.leastsq(residuals, np.array([0, 0]), args=(z, x, y))  # 最小二乘法拟合
    # [0, 0] 为参数 a, b 初始值
  
  a, b = plsq[0]  # 取得拟合后果
  print("what >>>>>")
  print("拟合后果:\na = {}".format(a))
  print("b = {}".format(b))

main()

得出 a = 0.22320872185884902 , b = 0.28534578186377385，对应到图上是如下成果。红色折线为指标折线，彩色折线为拟合后果。

图 18

有了 a 和 b，也就有了贝塞尔曲线的控制点的计算方法。让咱们再回到画布中看一看。

实际效果

比照上一节“有待改良”中的遗留问题，如下图所示。能够发现，通过批改贝塞尔曲线控制点的计算形式咱们曾经完满解决了上一节中的遗留问题。

图 19

展望未来

目前仍遗留的问题在于，咱们仅知其然，还不知其所以然。咱们能提供图编辑场景下的最好的贝塞尔曲线形态，但临时还不明确控制点对于曲线形态影响的法则该如何形容，也就无奈提供任意形态（格调）的贝塞尔曲线。未来能够思考制作一个小工具，先让用户拖拽控制点，生成若干条某种格调的曲线，而后通过程序从中推断出控制点的计算形式，输入给用户。

总结

咱们针对图编辑场景中的连线优化问题，参考了 AntV X6 示例 和 DataV 蓝图编辑器中的连线计划，通过在贝塞尔曲线两端增加直线以及优化贝塞尔曲线控制点的计算方法优化了曲线形态，与原有的连线计划 — AntV G6 中的 cubic-vertical 曲线相比，大幅晋升了的连线的用户体验。

作者：ES2049 / 金克丝

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