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花下猫语：在 Python 中，不同类型的数字能够间接做算术运算，并不需要作显式的类型转换。然而，它的“隐式类型转换”可能跟其它语言不同，因为 Python 中的数字是一种非凡的对象，派生自同一个形象基类。在上一篇文章 中，咱们探讨到了 Python 数字的运算，而后我想探索“Python 的数字对象到底是什么”的话题，所以就翻译了这篇 PEP，心愿对你也有所帮忙。
PEP 原文： https://www.python.org/dev/peps/pep-3141/
PEP 题目： PEP 3141 — A Type Hierarchy for Numbers
PEP 作者： Jeffrey Yasskin
创立日期： 2007-04-23
译者：豌豆花下猫 @Python 猫公众号
PEP 翻译打算： https://github.com/chinesehua…
概要
本提案定义了一种形象基类（ABC）（PEP 3119）的层次结构，用来示意相似数字（number-like）的类。它提出了一个 Number :> Complex :> Real :> Rational :> Integral 的层次结构，其中 A :> B 示意“A 是 B 的超类”。该层次结构受到了 Scheme 的数字塔（numeric tower）启发。（译注：数字 – 复数 – 实数 – 有理数 – 整数）
基本原理
以数字作为参数的函数应该可能断定这些数字的属性，并且依据数字的类型，确定是否以及何时进行重载，即基于参数的类型，函数应该是可重载的。
例如，切片要求其参数为 Integrals，而math 模块中的函数要求其参数为Real。
标准
本 PEP 规定了一组形象基类（Abstract Base Class），并提出了一个实现某些办法的通用策略。它应用了来自于 PEP 3119 的术语，然而该层次结构旨在对特定类集的任何零碎办法都有意义。
规范库中的类型查看应该应用这些类，而不是具体的内置类型。
数值类
咱们从 Number 类开始，它是人们设想的数字类型的含糊概念。此类仅用于重载；它不提供任何操作。
class Number(metaclass=ABCMeta): pass大多数复数（complex number）的实现都是可散列的，然而如果你须要依赖它，则必须明确地查看：此层次结构反对可变的数。
class Complex(Number):
"""Complex defines the operations that work on the builtin complex type.
In short, those are: conversion to complex, bool(), .real, .imag,
+, -, *, /, **, abs(), .conjugate(), ==, and !=.
If it is given heterogenous arguments, and doesn't have special
knowledge about them, it should fall back to the builtin complex
type as described below.
"""
@abstractmethod
def __complex__(self):
"""Return a builtin complex instance."""
def __bool__(self):
"""True if self != 0."""
return self != 0
@abstractproperty
def real(self):
"""Retrieve the real component of this number.
This should subclass Real.
"""
raise NotImplementedError
@abstractproperty
def imag(self):
"""Retrieve the real component of this number.
This should subclass Real.
"""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __add__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __radd__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __neg__(self):
raise NotImplementedError
def __pos__(self):
"""Coerces self to whatever class defines the method."""
raise NotImplementedError
def __sub__(self, other):
return self + -other
def __rsub__(self, other):
return -self + other
@abstractmethod
def __mul__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __rmul__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __div__(self, other):
"""a/b; should promote to float or complex when necessary."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __rdiv__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __pow__(self, exponent):
"""a**b; should promote to float or complex when necessary."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __rpow__(self, base):
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __abs__(self):
"""Returns the Real distance from 0."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def conjugate(self):
"""(x+y*i).conjugate() returns (x-y*i)."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __eq__(self, other):
raise NotImplementedError
# __ne__ is inherited from object and negates whatever __eq__ does.Real形象基类示意在实数轴上的值，并且反对内置的 float 的操作。实数（Real number）是齐全有序的，除了 NaN（本 PEP 基本上不思考它）。
class Real(Complex):
"""To Complex, Real adds the operations that work on real numbers.
In short, those are: conversion to float, trunc(), math.floor(),
math.ceil(), round(), divmod(), //, %, <, <=, >, and >=.
Real also provides defaults for some of the derived operations.
"""# XXX What to do about the __int__ implementation that's
# currently present on float? Get rid of it?
@abstractmethod
def __float__(self):
"""Any Real can be converted to a native float object."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __trunc__(self):
"""Truncates self to an Integral.
Returns an Integral i such that:
* i>=0 iff self>0;
* abs(i) <= abs(self);
* for any Integral j satisfying the first two conditions,
abs(i) >= abs(j) [i.e. i has "maximal" abs among those].
i.e. "truncate towards 0".
"""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __floor__(self):
"""Finds the greatest Integral <= self."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __ceil__(self):
"""Finds the least Integral >= self."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __round__(self, ndigits:Integral=None):
"""Rounds self to ndigits decimal places, defaulting to 0.
If ndigits is omitted or None, returns an Integral,
otherwise returns a Real, preferably of the same type as
self. Types may choose which direction to round half. For
example, float rounds half toward even.
"""
raise NotImplementedError
def __divmod__(self, other):
"""The pair (self // other, self % other).
Sometimes this can be computed faster than the pair of
operations.
"""
return (self // other, self % other)
def __rdivmod__(self, other):
"""The pair (self // other, self % other).
Sometimes this can be computed faster than the pair of
operations.
"""
return (other // self, other % self)
@abstractmethod
def __floordiv__(self, other):
"""The floor() of self/other. Integral."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __rfloordiv__(self, other):
"""The floor() of other/self."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __mod__(self, other):
"""self % other
See
https://mail.python.org/pipermail/python-3000/2006-May/001735.html
and consider using "self/other - trunc(self/other)"
instead if you're worried about round-off errors."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __rmod__(self, other):
"""other % self"""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __lt__(self, other):
"""< on Reals defines a total ordering, except perhaps for NaN."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod
def __le__(self, other):
raise NotImplementedError
# __gt__ and __ge__ are automatically done by reversing the arguments.
# (But __le__ is not computed as the opposite of __gt__!)
# Concrete implementations of Complex abstract methods.
# Subclasses may override these, but don't have to.
def __complex__(self):
return complex(float(self))
@property
def real(self):
return +self
@property
def imag(self):
return 0
def conjugate(self):
"""Conjugate is a no-op for Reals."""
return +self咱们应该整顿 Demo/classes/Rat.py，并把它晋升为 Rational.py 退出规范库。而后它将实现有理数（Rational）形象基类。
class Rational(Real, Exact):
""".numerator and .denominator should be in lowest terms."""
@abstractproperty
def numerator(self):
raise NotImplementedError
@abstractproperty
def denominator(self):
raise NotImplementedError
# Concrete implementation of Real's conversion to float.
# (This invokes Integer.__div__().)
def __float__(self):
return self.numerator / self.denominator最初是整数类：
class Integral(Rational):
"""Integral adds a conversion to int and the bit-string operations."""
@abstractmethod
def __int__(self):
raise NotImplementedError
def __index__(self):
"""__index__() exists because float has __int__()."""
return int(self)
def __lshift__(self, other):
return int(self) << int(other)
def __rlshift__(self, other):
return int(other) << int(self)
def __rshift__(self, other):
return int(self) >> int(other)
def __rrshift__(self, other):
return int(other) >> int(self)
def __and__(self, other):
return int(self) & int(other)
def __rand__(self, other):
return int(other) & int(self)
def __xor__(self, other):
return int(self) ^ int(other)
def __rxor__(self, other):
return int(other) ^ int(self)
def __or__(self, other):
return int(self) | int(other)
def __ror__(self, other):
return int(other) | int(self)
def __invert__(self):
return ~int(self)
# Concrete implementations of Rational and Real abstract methods.
def __float__(self):
"""float(self) == float(int(self))"""
return float(int(self))
@property
def numerator(self):
"""Integers are their own numerators."""
return +self
@property
def denominator(self):
"""Integers have a denominator of 1."""
return 1运算及__magic__办法的变更
为了反对从 float 到 int（确切地说，从 Real 到 Integral）的精度膨胀，咱们提出了以下新的 __magic__ 办法，能够从相应的库函数中调用。所有这些办法都返回 Intergral 而不是 Real。
- __trunc__(self)：在新的内置 trunc(x) 里调用，它返回从 0 到 x 之间的最靠近 x 的 Integral。
- __floor__(self)：在 math.floor(x) 里调用，返回最大的 Integral <= x。
- __ceil__(self)：在 math.ceil(x) 里调用，返回最小的 Integral > = x。
- __round__(self)：在 round(x) 里调用，返回最靠近 x 的 Integral，依据选定的类型作四舍五入。浮点数将从 3.0 版本起改为向偶数端四舍五入。（译注：round(2.5) 等于 2，round(3.5) 等于 4）。它还有一个带两参数的版本__round__(self, ndigits)，被 round(x, ndigits) 调用，但返回的是一个 Real。
在 2.6 版本中，math.floor、math.ceil 和 round 将持续返回浮点数。
float 的 int() 转换等效于 trunc()。一般而言，int() 的转换首先会尝试__int__()，如果找不到，再尝试__trunc__()。
complex.__{divmod, mod, floordiv, int, float}__ 也隐没了。提供一个好的谬误音讯来帮忙困惑的搬运工会很好，但更重要的是不呈现在 help(complex) 中。
给类型实现者的阐明
实现者应该留神使相等的数字相等，并将它们散列为雷同的值。如果实数有两个不同的扩大，这可能会变得奥妙。例如，一个复数类型能够像这样正当地实现 hash()：
def __hash__(self):
return hash(complex(self))但应留神所有超出了内置复数范畴或精度的值。
增加更多数字形象基类
当然，数字还可能有更多的形象基类，如果排除了增加这些数字的可能性，这会是一个蹩脚的等级体系。你能够应用以下办法在 Complex 和 Real 之间增加 MyFoo：
class MyFoo(Complex): ...
MyFoo.register(Real)实现算术运算
咱们心愿实现算术运算，使得在混合模式的运算时，要么调用者晓得如何解决两种参数类型，要么将两者都转换为最靠近的内置类型，并以此进行操作。
对于 Integral 的子类型，这意味着__add__和__radd__应该被定义为：
class MyIntegral(Integral):
def __add__(self, other):
if isinstance(other, MyIntegral):
return do_my_adding_stuff(self, other)
elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
return do_my_other_adding_stuff(self, other)
else:
return NotImplemented
def __radd__(self, other):
if isinstance(other, MyIntegral):
return do_my_adding_stuff(other, self)
elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
return do_my_other_adding_stuff(other, self)
elif isinstance(other, Integral):
return int(other) + int(self)
elif isinstance(other, Real):
return float(other) + float(self)
elif isinstance(other, Complex):
return complex(other) + complex(self)
else:
return NotImplemented对 Complex 的子类进行混合类型操作有 5 种不同的状况。我把以上所有未蕴含 MyIntegral 和 OtherTypeIKnowAbout 的代码称为“样板”。
a 是 A 的实例，它是Complex(a : A <: Complex) 的子类型，还有 b : B <: Complex。对于 a + b，我这么思考：
- 如果 A 定义了承受 b 的__add__，那么没问题。
- 如果 A 走到了样板代码分支（译注：else 分支），还从__add__返回一个值的话，那么咱们就错过了为 B 定义一个更智能的__radd__的可能性，因而样板应该从__add__返回 NotImplemented。（或者 A 能够不实现__add__）
- 而后 B 的__radd__的机会来了。如果它承受 a，那么没问题。
- 如果它走到样板分支上，就没有方法了，因而须要有默认的实现。
- 如果 B <: A，则 Python 会在 A.__ add__之前尝试 B.__ radd__。这也能够，因为它是基于 A 而实现的，因而能够在委派给 Complex 之前解决这些实例。
如果 A <: Complex 和 B <: Real 没有其它关系，则适合的共享操作是内置复数的操作，它们的__radd__都在其中，因而 a + b == b + a。（译注：这几段没看太明确，可能译得不对）
被回绝的计划
本 PEP 的初始版本定义了一个被 Haskell Numeric Prelude 所启发的代数层次结构，其中包含 MonoidUnderPlus、AdditiveGroup、Ring 和 Field，并在失去数字之前，还有其它几种可能的代数类型。
咱们本来心愿这对应用向量和矩阵的人有用，但 NumPy 社区的确对此并不感兴趣，另外咱们还遇到了一个问题，即使 x 是 X <: MonoidUnderPlus 的实例，而且 y 是 Y < : MonoidUnderPlus 的实例，x + y 可能还是行不通。
而后，咱们为数字提供了更多的分支构造，包含高斯整数（Gaussian Integer）和 Z/nZ 之类的货色，它们能够是 Complex，但不肯定反对“除”之类的操作。
社区认为这对 Python 来说太简单了，因而我当初放大了提案的范畴，使其更靠近于 Scheme 数字塔。
十进制类型
经与作者协商，已决定目前不将 Decimal 类型作为数字塔的一部分。
参考文献
1、形象基类简介：http://www.python.org/dev/peps/pep-3119/
2、可能是 Python 3 的类树？Bill Janssen 的 Wiki 页面：http://wiki.python.org/moin/AbstractBaseClasses
3、NumericPrelude：数字类型类的实验性备选层次结构：http://darcs.haskell.org/numericprelude/docs/html/index.html
4、Scheme 数字塔：https://groups.csail.mit.edu/mac/ftpdir/scheme-reports/r5rs-html/r5rs_8.html#SEC50
（译注：在译完之后，我才发现“PEP 中文翻译打算”已收录过一篇译文，有些中央译得不尽相同，读者们可比对浏览。）
致谢
感激 Neal Norwitz 最后激励我编写此 PEP，感激 Travis Oliphant 指出 numpy 社区并不真正关怀代数概念，感激 Alan Isaac 揭示我 Scheme 曾经做到了，以及感激 Guido van Rossum 和邮件组里的其他人帮忙欠缺了这套概念。
版权
该文档已放入公共畛域。
源文件：https://github.com/python/peps/blob/master/pep-3141.txt