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本专栏蕴含信息论与编码的外围常识，按知识点组织，可作为教学或学习的参考。markdown 版本已归档至【Github 仓库：https://github.com/timerring/information-theory】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。
分集
分集的概念
分集是一种抗衰败技术。原理是利用两个以上信号传送同一个信息，并且这些不同信号的衰败互相独立。在接收端以适当形式将这些信号合并利用，以升高合成信号电平起伏，减小各种衰败对接管信号的影响，进而复原信息。
设同一信息通过两路信号传输, 包络为 $v_{1}(t)$ 和 $v_{2}(t)$ , 设 $u_{0}$ 为门限电平, 当小于门限电平时则产生谬误, 令
$$
P[v_{1}(t) \lt u_{0}] = P[v_{1}(t) \lt u_{0}] = 10^{-3}
$$
若 $v_{1}(t)$ 和 $v_{2}(t)$ 独立, 则二者同时小于 $u_{0}$ 的概率为
$$
P[v_{1}(t) \lt u_{0}, v_{2}(t) \lt u_{0}]=10^{-3} \times 10^{-3}=10^{-6} \ll 10^{-3}
$$
此时若同时利用 $v_{1}(t)$ 和 $v_{2}(t)$ 来复原信息，则可缩小错
若 $v_{1}(t)$ 和 $v_{2}(t)$ 齐全相干则 :
$$
P[v_{1}(t) \lt u_{0}, v_{2}(t) \lt u_{0}]=10^{-3}
$$
论断: 要达到抗多径成果, 要求 $v_{1}(t)$ 和 $v_{2}(t)$ 统计独立或不相干或弱相干.
分集的办法
取得不相干门路信号的办法:
空间分集
采纳多天线接管同一信号, 相邻天线间间隔大于载波波长 3 倍以上。（注：实践最小值为 $\lambda / 2$）。
CCIR 倡议为了取得称心的分集成果, 挪动单元两天线间距大于 0.6 个波长, 即 $\mathrm{d}>0.6 \lambda$ , 并且最好选在 $\lambda / 4$ 的奇数倍左近。
分集天线数 (分集重数) 越多，性能改善越好。当分集重数多到肯定数时，分集重数持续增多，性能改善量将逐渐减小。
论断:分集重数在 2\~4 重比拟适合。
空间分集还有两类变动模式:
极化分集: 它利用在同一地点两个极化方向互相正交的天线收回的信号能够出现不相干的衰败个性进行分集接管，即在收发端天线上装置程度、垂直极化天线，就能够把失去的两路衰败个性不相干的信号进行极化分集。
- 长处: 结构紧凑、节俭空间;
- 毛病: 因为发射功率要调配到两副天线上，因而有 3dB 的损失。
角度分集: 因为地形、地貌、接管环境的不同，使得达到接收端的不同门路。
信号可能来自不同的方向，这样在接收端能够采纳方向性天线, 别离指向不同的达到方向。而每个方向性天线接管到的多径信号是不相干的。
工夫分集
不同时刻发送雷同信号，工夫距离大于挪动信道的相干工夫，无效抵制快衰败的分集技术。
留神：工夫分集对于静止状态的挪动台是无成果的。个别和空间分集联合, 大多利用于疾速挪动的场合。
频率分集
采纳不同频率载波传送同一信息, 不同载波频率差大于信道相干带宽。
在挪动通信中, 当工作频率在 900 MHz 频段, 典型的最大多径时延差为 $5 \mu s$ , 此时有
$$
\Delta f>B_{c}=\frac{1}{\Delta \tau_{m}}=\frac{1}{5 \times 10^{-6}}=200 \mathrm{kHZ}
$$
因而, 若在该零碎中利用频率分集, 载波频率差大于 200 kHz。
- 长处是在 接收端能够缩小接管天线及相应设施的数量，
- 毛病是要 占用更多的频带资源，并且在发送端可能须要采纳多个发射机。
多径分集
采纳扩频信号传送音讯，在接收端将不同时延的多径信号拆散
门路合并形式
分集接管蕴含有两重含意:
- 扩散接管，使接收端能失去多个携带同一信息的、统计独立的衰败信号;
- 集中处理，即接收端把收到的多个统计独立的衰败信号进行适当的 合并，从而升高衰败的影响，改善零碎性能。
假如 N 个独立衰败信号别离为 $r_{1}(t), r_{2}(t), \ldots, r_{N}(t)$ , 则合并器输入为
$$
r(t)=a_{1} r_{1}(t)+a_{2} r_{2}(t) \cdots+a_{N} r_{N}(t)=\sum_{i=1}^{N} a_{i} r_{i}(t)
$$
式中, $a_{i}$ 为第 i 个信号的加权系数。抉择不同的加权系数, 就可形成不同的合并形式。
罕用的三种合并形式是：抉择式合并、等增益合并和最大比值合并 。表征合并性能的参数有 均匀输入信噪比、合并增益 等。
抉择式合并
抉择式合并是所有合并形式中最简略的一种。其原理是检测所有接收机输入信号的信噪比，抉择其中信噪比最大的那一路信号作为合并器的输入，其原理图如图所示
抉择式合并的均匀输入信噪比为
$$
\overline{r_{M}}=\overline{r_{0}} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}
$$
合并增益为
$$
G_{M}=\frac{\overline{r_{m}}}{\overline{r_{0}}}=\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}
$$
式中, $\overline{r_{M}}$ 为合并器均匀输入信噪比, $\overline{r_{0}}$ 支路信号最大均匀信噪比。可见, 对抉择式分集, 每减少一条分集门路 , 对合并增益的奉献仅为总分集支路数的倒数倍。
等增益合并
等增益合并原理如图所示。当加权系数 $\boldsymbol{k}_{1}=\boldsymbol{k}_{2}=\ldots=\boldsymbol{k}_{N}$ 时, 即为等增益合并。假如每条支路的 均匀噪声功率 是相等的, 则等增益合并的均匀输入信噪比为
$$
\overline{r_{M}}=\bar{r}[1+(N-1) \frac{\pi}{4}]
$$
合并增益为
$$
G_{M}=\frac{\overline{r_{M}}}{\bar{r}}=1+(N-1) \frac{\pi}{4}
$$
式中, $\bar{r}$ 为合并前每条支路的均匀信噪比。
最大比值合并
最大比值合并办法最早是由 Kahn 提出的, 其原理可参见上图。最大比值合并原理是各条支路加权系数与该支路 信噪比成正比 。 信噪比越大, 加权系数越大, 对合并后信号奉献也越大。若每条支路的均匀噪声功率是相等的, 能够证实, 当各支路加权系数为
$$
\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{i}}=\frac{A_{i}}{\sigma^{2}}
$$
时, 分汇合并后的均匀输入信噪比最大。式中, $\mathbf{A}_{\mathrm{i}}$ 为第 $\mathrm{i}$ 条支 路信号幅度, $\boldsymbol{\sigma}^{2}$ 为每条支路噪声平均功率。
最大比值合并后的均匀输入信橾比为
$$
\overline{r_{M}}=N \bar{r}
$$
合并增益为
$$
G_{M}=\frac{\overline{r_{M}}}{\bar{r}}=N
$$
可见, 合并增益与分集支路数 $\mathbf{N}$ 成正比。
分集接管信号的三种合并形式，下列哪种是依照性能由好到坏的排列? B
A. 最佳抉择式、等增益合并、最大比合并
B. 最大比合并，等增益合并，最佳抉择式
C. 等增益合并、最大比合并、最佳抉择式
D. 最大比合并，最佳抉择式、等增益合并
三种分汇合并的性能如图所示。
能够看出，在这三种合并形式中，最大比值合并的性能最好，抉择式合并的性能最差。比拟增益表达式能够看出，当 N 较大时，等增益合并的合并增益靠近于最大比值合并的合并增益。
$$
抉择式合并：G_{M}=\frac{\overline{r_{m}}}{\overline{r_{0}}}=\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \\
等增益合并：G_{M}=\frac{\overline{r_{M}}}{\bar{r}}=1+(N-1) \frac{\pi}{4} \\
最大比合并: G_{M}=\frac{\overline{r_{M}}}{\bar{r}}=N
$$
Alamouti 空时分组码 (STBC) 简介
Alamouti 在 1998 年提出了一种采纳两根发射天线的简略发射分集技术。Tarokh 等人在此基础上将其推厂到多根天线状况，并正式提出了 STBC 的概念。STBC 的本质是一种空域和时域相结合的正交分组编码，利用正交设计的原理来调配多个发射天线的发射信号。因为 STBC 能够使接收机解码后取得完满的分集增益，且解码复杂度绝对较低，因而，STBC 在理论利用中是一类十分重要的空时编解码技术。
Alamouti 计划是为发射天线数为 2 的零碎提供齐全发射分集增益的第一种空时分组码。
下图为 Alamouti 编码器原理图。
假如在 Alamouti STBC 计划中采纳 M 进制调制。
首先将总的信息比特进行调制，失去调制符号; 而后将调制符号分成两局部; 最初依据 Alamouti 编码矩阵将两局部调制符号映射到两根发射天线上，其编码矩阵能够示意为
$$
X = [\begin{array}{cc}
x_{1} & -x_{2}^{*} \\
x_{2} & x_{1}^{*}
\end{array}]
$$
，其中 (·)* 示意复共轭。
发射端通过两根发射天线在两个间断发射周期里发射调制符号。在第一个发射周期中, 天线 1 发射调制符号 $\boldsymbol{x}_{\mathbf{1}}$ , 天线 2 发射 调制符号 $x_{2}$ ; 在第二个发射周期中, 天线 1 发射 $-x_{2}^{*}$ , 天线 2 发射 $x_{1}^{*}$。能够看出, 第二个发射周期 发射的调制符号和第一个发射周期的调制符号是相干的, 能够简略的认为第二个发射周期发射的调制符号是第一个发射周期发射的调制符号的正本。
在 Alamouti 计划中, 别离令
$$
\boldsymbol{X}^{\mathbf{1}}=[\begin{array}{ll}
x_{1} & -x_{2}^{*}
\end{array}] \text {和} \boldsymbol{X}^{2}=[\begin{array}{ll}
x_{2} & x_{1}^{*}
\end{array}]
$$
示意天线 1 和天线 2 的发射序列, 很显然 , 两根发射天线的发射序列是正交的, 即
$$
\boldsymbol{X}^{\mathbf{1}} \cdot(\mathbf{X}^{\mathbf{2}})^{*}=x_{1} x_{2}^{*}-x_{2}^{*} x_{1}=0
$$
此外, Alamouti 编码矩阵 $ \mathbf{X}$ 具备如下个性:
$$
X \cdot X^{H}=[\begin{array}{cc}
|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2} & 0 \\
0 & |x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}
\end{array}]
$$
其中 $(\cdot)^{\mathrm{H}}$ 示意矩阵的共轭转置。
下图为 Alamouti 的仿真后果。
其中 MRRC 示意最大比合并。Alamouti 计划的检测采纳 ML，以最小欧式间隔为测度。
Alamouti 空时分组码利用了空间分集和工夫分集，发射天线数 n =2，若接管天线数为 m，则它的分集增益为 2m。
优缺点:
- 构造简略，译码复杂度是线性的;
- 可能实现齐全分集;
- 没有编码增益。
下图所示的分集是 (A)
A. 空间分集
B. 工夫分集
C. 多径分集
D. 频率分集
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第 3 版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第 7 版）[M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
