关于密码学:异或的4种堪称神奇的运用场景

原创：扣钉日记（微信公众号 ID：codelogs），欢送分享，转载请保留出处。

简介

家喻户晓，编程语言个别都内置了 3 种位运算符&(AND)、|(OR)、~(NOT)，用来实现位运算，但其实还有一种十分罕用的位运算，即异或^(XOR)，数学中罕用⊕示意。

异或的运算逻辑如下：
1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0

简略来说，异或的个性是，两个值雷同，后果为 0，不同则后果为 1，所以才叫 异或 嘛，两个值相异再或起来，不就是 1 嘛😂

因为异或非凡的运算个性，使其能够实现一些神奇的操作，如下：

1. 实现加减法
2. 加解密
3. 密钥替换
4. 数据备份

那就来一起看看吧！

运算定律

1. 任何值与本身异或，后果为 0

   x ^ x = 0

2. 任何值与 0 异或，后果为其本身

   x ^ 0 = x

3. 交换律

   x ^ y ^ z = x ^ z ^ y

4. 结合律

   x ^ y ^ z = x ^ (y ^ z)

   异或的运算定律比较简单，就不写数学证实了，感兴趣可到网上搜寻。

实现加减法

XOR 的第一种使用场景就是实现加减法，在咱们上小学时，应该都学过 进位加法 与退位减法 来做加减运算，咱们来温习一下吧。

• 进位加法：
  当某一位上两数之和大于 10 时，须要进位，即高位上要多加一个 1。
• 退位减法：
  当某一位上两数相减不够时，须要退位，即从高位上借 (减) 一个 1，来当作 10 用。

异或其实与这个相似，不过它不会产生进位与退位，如下：

1. 如二进制加法 01 + 01 = 10，而异或运算是01 ^ 01 = 00，它其实做了加法，但高位不进位，所以异或又称 不进位加法。
2. 如二进制减法 10 - 01 = 01，而异或运算是10 ^ 01 = 11，也能够看做个位 0 向高位借了一个 1 当 2 来用，但高位不减 1，所以异或也能够称为 不退位减法。

利用异或的这个个性，只有再解决一下进位和退位问题，就能够实现加减法了，如下是 java 代码实现：

public static int intPlus(int a, int b){while (b != 0){// 加法(未思考进位)
        int sum = a ^ b;
        // 进位值，二进制中 1 + 1 的场景才会进位，a & b 只有两个都为 1，后果才是 1，左移一位，就是进位值了
        int addition = (a & b) << 1;

        // 赋值，下次循环将进位加到 a 外面来，直到进位等于 0
        a = sum;
        b = addition;
    }
    return a;
}
public static int intSubtract(int a, int b){while (b != 0){// 减法(未思考退位)
        int sum = a ^ b;
        // 退位值，二进制中 0 - 1 的场景才会退位，~a & b 只有 a =0,b=1，后果才是 1，左移一位，就是退位值了
        int abdication = (~a & b) << 1;

        // 赋值，下次循环将退位再从 a 中减掉，直到退位等于 0
        a = sum;
        b = abdication;
    }
    return a;
}

这也是为什么 CPU 外面都是做位运算的逻辑门电路，却能实现数值计算😱

加解密

应用 XOR 能够实现简略的加解密，如果明文为 plain，密钥为 key，密文为 secret，则：

// 加密
secret = plain ^ key
// 解密
plain = secret ^ key

为什么肯定能解密呢，如下：

secret ^ key 
    = (plain ^ key) ^ key     // 代入加密表达式
    = plain ^ (key ^ key)     // 代入结合律
    = plain ^ 0               // 任何值与本身异或等于 0
    = plain                   // 任何值与 0 异或等于本身

java 实现如下：

public static byte[] xorEncrypt(byte[] plain, byte[] key){byte[] secret = new byte[plain.length];
    for(int i = 0; i < plain.length; i++){secret[i] = (byte) (plain[i] ^ key[i % key.length]);
    }
    return secret;
}

public static byte[] xorDecrypt(byte[] secret, byte[] key){return xorEncrypt(secret, key);
}

public static void main(String[] args) {byte[] plain = "hello xor".getBytes(StandardCharsets.UTF_8);
    byte[] key = "1234".getBytes(StandardCharsets.UTF_8);
    byte[] secret = xorEncrypt(plain, key);
    byte[] plain2 = xorDecrypt(secret, key);
    // 输入 plain:aGVsbG8geG9y,secret:WVdfWF4SS1tD, plain2:aGVsbG8geG9y
    System.out.printf("plain:%s,secret:%s, plain2:%s", Base64.encode(plain), Base64.encode(secret),
            Base64.encode(plain2));
}

密钥替换

密钥替换就是通信单方须要将加密密钥发送给对方，但不让两头的信道监听者晓得密钥是什么，而利用 XOR 就能够实现一种最简略的密钥替换计划，如下：

1. 客户端生成一个随机密钥 p，而后再应用本人的密钥 k1 对其 XOR 加密，将加密后的 s1 发送给服务端，即 s1 = p ^ k1。
2. 服务端再应用本人的密钥 k2 对 s1 做 XOR 加密，将加密后的 s2 回复给客户端，即 s2 = s1 ^ k2。
3. 客户端再应用本人的密钥 k1 对 s2 做 XOR 解密，将解密后的 s3 回复给服务端，即 s3 = s2 ^ k1。
4. 服务端再应用本人的密钥 k2 对 s3 做 XOR 解密，即 s4 = s3 ^ k2，而按 XOR 的性质，s4 会等于 p，即客户端顺利将 p 发送给了服务端，且两头通信数据都是加密的。

   整个过程能够看做先是单方都在密文中做了一次加密，而后单方又逐渐解开。

证实其正确性也很简略，只须要将式子代入一下即可，如下：

s4 = s3 ^ k2
   = (s2 ^ k1) ^ k2
   = ((s1 ^ k2) ^ k1) ^ k2
   = (((p ^ k1) ^ k2) ^ k1) ^ k2
   = p ^ k1 ^ k2 ^ k1 ^ k2         // 利用结合律
   = p ^ (k1 ^ k2) ^ (k1 ^ k2)     // 再利用结合律，把 k1 ^ k2 看成整体，就是加密之后再解密了
   = p

   // 也能够这样证实
   = p ^ k1 ^ k2 ^ k1 ^ k2         
   = p ^ (k1 ^ k1) ^ (k2 ^ k2)     // 利用交换律
   = p ^ 0 ^ 0                     // 利用本身与本身异或为 0
   = p                             // 利用任何值与 0 异或为其本身

数据备份

应用 XOR 也能够很容易实现多个数据的互备，如下：
如果有数据 a、b、c，则z = a ^ b ^ c，而后把数据 z 备份下来。

• 当 a 失落时，可应用 z ^ b ^ c 来复原。
• 当 b 失落时，可应用 z ^ a ^ c 来复原。
• 当 c 失落时，可应用 z ^ a ^ b 来复原。

这真是太神奇了，备份了一份数据 z 后，失落了任何一份数据，都能够通过数据 z 与其它数据一起复原回来😎，而磁盘阵列技术 raid5 的数据备份原理，就是用的这个个性。

实现异或

因为在布尔代数中，其实只须要与、或、非运算就能够实现所有其它运算，所以异或其实也是能够通过与、或、非实现的，最直观的实现形式如下：

a ^ b = (~a & b) | (a & ~b)  

ok，异或的应用场景就介绍到这了，还有没有其它神奇的使用场景呢？如果有，可留言告知下😀

往期内容

密码学入门
接口偶然超时，竟又是 JVM 进展的锅！
耗时几个月，终于找到了 JVM 进展十几秒的起因
mysql 的 timestamp 会存在时区问题？
真正了解可反复读事务隔离级别
字符编码解惑