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MATLAB 最基础教程（零）：根本数学概念
前言：matlab 只是个软件，用来实现机械的计算，而如何安顿这些计算，须要用户把握最根本的数学概念。这篇将介绍工程数学中罕用的数学概念，与 matlab 仿佛并不相干，但实则是 matlab 的根底。
1. 数值与符号
如果给工程数学问题分类，最大的两类必定是数值问题和符号问题，对应 matlab 的数值运算和符号运算。简而言之，数值运算就是所有的变量的值已知，求解的也是一些具体的值；符号运算则刚好相同，不要求所有的变量都已知，求解的后果也不是变量具体的值，而是变量之间的关系。一个简略的例子是
①数值问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，其中 a =b=c=1，所求得的后果肯定是 x = 几点几 + 几点几 i，是个复数，是个具体的数值。
②符号问题：求解一元二次方程，ax2+bx+c=0，所求的的后果肯定是 x = 求根公式，是 abc 的函数，是个关系
可见，一个问题是数值问题还是符号问题，很大水平上决定于后果须要求解的是数值还是关系。当然两个问题也能够互相转化，比方数值问题的一元二次方程，咱们个别会先转化成符号问题，把 abc 代入求根公式，求进去变量 x 的具体数值。但理论中，个别咱们并不举荐这样做，起因是 matlab 的数值和符号是齐全不同的两套零碎，互相转化不仅须要多余的数值符号转换语言，更可能带来查错的不便。
2. 典型数值问题
以下是常见的数值问题，文中提到的解法均可在数值计算、科学计算、数值算法这类书中找到。
2.1 代数方程
代数方程又分为线性方程和非线性方程，线性方程个别能够转化为矩阵模式 AX=b，对 A 求逆即可。求逆的数值解法个别有高斯赛德尔迭代，超松弛迭代等。非线性方程个别转化为 f(x)=zeros 其中 x 是个向量，右侧的 zeros 示意 f 是个多输入函数，数值解法个别是迭代，常见的有牛顿迭代，最速梯度，点斜式等。
2.2 常微分方程
常微分方程个别转化为 Dy=f(y,t)，且 y(0)=y0 是初始条件，其中 y 和 Dy 都是向量，f 也是个多输入函数，数值解法有欧拉法，龙格库塔法。
2.3 偏微分方程
偏微分方程比较复杂，matlab 解决偏微分方程也不业余，我也简直不必 matlab 解决这类问题。但工程数学上，偏微分方程的解法有两类，差分法和有限元法。差分法须要采纳核心差分，顶风差分等。有限元须要计算刚度矩阵等。
2.4 插值和拟合
插值和拟合是齐全不同的两个数学概念，尽管很多时候很多人都混同了。两者的形容都能够归结为：已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)，求一个已知的 x，对应的 y 的数值。插值罕用的多项式插值，三次样条插值。拟合的实质是一个最优化问题，其中最罕用的一种拟合是线性拟合，求解办法是最小二乘法。
2.5 离散周期傅里叶变换
严格说来，这并不能算一个数学问题，只是一种运算形式，就如同加减乘除一样。特殊性在于这种变换是对于一个向量进行，且运算后的后果仍然是个向量。这里提出来是为了强调这种傅里叶变换的限定，要求是离散周期，这也是数值办法能解决的惟一一种傅里叶变换。
2.6 最优化问题
最优化问题比拟宽泛，个别能够归结为求指标函数 f(x) 的最大或者最小值，其中 f 是一个单输入的函数，x 是一个向量。其中 x 须要满足线性约束条件、非线性约束条件、上下界。具体的解法有最速梯度，遗传，蚁群，退火等算法。
2.7 数值积分
已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)，求函数在 x1 到 xn 的定积分。常见算法有矩形公式，梯形公式，辛普森公式。相似的问题还有数值求导。
3. 典型符号问题
以下是常见的符号问题，须要特地指出的是，无解问题。数值问题中也有一部分无解问题，但大多数工程中是碰不到的。而符号问题恰好相反，绝大部分咱们遇到的符号问题都是没有解的，或者精确的说，没有解析解。比方求一元五次方程，咱们晓得 x 和这些系数存在关系，但无奈写出显式的表达式，也就是说没有解析解。
3.1 递推转通项
这个问题能够归结为：已知 xn+1=f(xn)，求 xn，常见于数列的推导。
3.2 代数方程
区别于数值问题中的代数方程，这里的代数方程问题能够形容为：f(x,c)=0，求 x =x(c)，这里须要求解的其实是 x 和 c 的关系。
3.3 常微分方程
区别于数值问题中的常微分数方程，这里的代数方程问题能够形容为：Dy=f(y,t,c)，求 y =x(t,c)，个别无需初值条件。
3.4 符号积分
区别于数值问题中的数值积分，这里的符号积分能够形容为：已知函数关系 y =f(x)，求 y 的不定积分。同样的问题还有符号求导。