关于机器学习:机器学习算法-Logistic-回归-详解

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1. 导读

  • 逻辑回归 是在因变量为二元时进行的回归剖析。它用于形容数据并解释一个因二元变量与一个或多个名义、有序、区间或比率程度变量之间的关系。
  • 二元或二项式 Logistic 回归 能够了解为解决其中因变量的察看后果只能是二元的场景的 Logistic 回归 类型，即它只能有两种可能的类型。
  • 多项 Logistic 回归 实用于后果可能具备两种以上可能类型（A 型、B 型和 C 型）的状况，它们没有任何特定的程序。

分类技术是机器学习和数据挖掘利用中的重要组成部分。解决分类问题的算法也有很多种，比方：k- 近邻算法，应用间隔计算来实现分类；决策树，通过构建直观易懂的树来实现分类；奢侈贝叶斯，应用概率论构建分类器。这里咱们要讲的是 Logistic 回归，它是一种很常见的用来解决二元分类问题的回归办法，它次要是通过寻找最优参数来正确地分类原始数据。

1. Logistic Regression

逻辑回归 (Logistic Regression, 简称 LR)，其实是一个很有误导性的概念，尽管它的名字中带有“回归”两
个字，然而它最善于解决的却是分类问题。LR 分类器实用于各项狭义上的分类工作，例如：评论信息的
正负情感剖析（二分类）、用户点击率（二分类）、用户守约信息预测（二分类）、垃圾邮件检测（二
分类）、疾病预测（二分类）、用户等级分类（多分类）等场景。咱们这里次要探讨的是二分类问题。

2. 线性回归

逻辑回归和线性回归同属于狭义线性模型，逻辑回归就是用线性回归模型的预测值去拟合实在标签的的 对数几率（一个事件的几率（odds）是指该事件产生的概率与不产生的概率之比，如果该事件产生的概率是 P，那么该事件的几率是

对数几率就是

逻辑回归和线性回归实质上都是失去一条直线，不同的是，线性回归的直线是尽可能去拟合输出变量 X
的散布，使得训练集中所有样本点到直线的间隔最短；而逻辑回归的直线是尽可能去拟合决策边界，使
得训练集样本中的样本点尽可能分来到。因而，两者的目标是不同的。

线性回归方程：

此处，y 为因变量，x 为自变量。在机器学习中 y 是标签，x 是特色。

3. Sigmoid 函数

在二分类的状况下，函数能输入 0 或 1。领有这类性质的函数称为海维赛德阶跃函数（Heaviside step function），又称之为单位阶跃函数（如下图所示）

单位阶跃函数的问题在于：在 0 点地位该函数从 0 霎时跳跃到 1，这个霎时跳跃过程很难解决（不好求
导）。侥幸的是，Sigmoid 函数也有相似的性质，且数学上更容易解决。

Sigmoid 函数公式：

import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

X = np.linspace(-5,5,200)
y = [1/(1+math.e**(-x)) for x in X]
plt.plot(X,y)
plt.show()

X = np.linspace(-60,60,200)
y = [1/(1+math.e**(-x)) for x in X]
plt.plot(X,y)
plt.show()

上图给出了 Sigmoid 函数在不同坐标尺度下的两条曲线。当 x 为 0 时，Sigmoid 函数值为 0.5。随着 x 的增
大，对应的函数值将迫近于 1；而随着 x 的减小，函数值迫近于 0。所以 Sigmoid 函数值域为（0,1），注
意这是开区间，它仅有限靠近 0 和 1。如果横坐标刻度足够大，Sigmoid 函数看起来就很像一个阶跃函数
了。

4. 逻辑回归

通过将线性模型和 Sigmoid 函数联合，咱们能够失去逻辑回归的公式：

这样 y 就是（0,1）的取值。对式子进行变换，可得：

这个其实就是一个对数几率公式。

  • 二项 Logistic 回归：
  • 多项 Logistic 回归：
  • 代码
import numpy as np

class LoisticRegression:
    # declaring learning rate and number of iterations(hyperparameters)
    def __init__(self, learning_rate=0.001, n_iters=1000):
        self.lr = learning_rate
        self.n_iters = n_iters
        self.weights = None
        self.bias = None
    
    def fit(self, X, y):
        n_samples, n_features = X.shape

        # initializing weights
        self.weights = np.zeros(n_features)  

        # initializing bias
        self.bias = 0

        # Gradient descent
        for i in range(self.n_iters):

            # applying the linear model
            linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.bias

            # defining the predict method
            y_predicted = self._sigmoid(linear_model)

            # compute the gradients
            dw = (1 / n_samples) * np.dot(X.T, (y_predicted - y))
            db = (1 / n_samples) * np.sum(y_predicted - y)

            # update the parameters
            self.weights -= self.lr * dw
            self.bias -= self.lr * db

    # get the test samples that we want to predict
    def predict(self, X):
        # applying the linear model
        linear_model = np.dot(X, self.weights) + self.bias

        # defining the predict method
        y_predicted = self._sigmoid(linear_model)
        y_predicted_cls = [1 if i > 0.5 else 0 for i in y_predicted]
        return np.array(y_predicted_cls)

    def _sigmoid(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-x))

5. LR 与线性回归的区别

逻辑回归和线性回归是两类模型，逻辑回归是分类模型，线性回归是回归模型。

6. LR 损失函数

损失函数，艰深讲，就是掂量实在值和预测值之间差距的函数。所以，损失函数越小, 模型就越好。在这
里，最小损失是 0。

# 函数的图像
X = np.linspace(0.0001,1,200)
y = [(-np.log(x)) for x in X]
plt.plot(X,y)
plt.show()

X = np.linspace(0,0.99999,200)
y = [(-np.log(1-x)) for x in X]
plt.plot(X,y)
plt.show()

把这两个损失函数综合起来：

y 就是标签，别离取 0，1。

对于 m 个样本，总的损失函数为：

这个式子中，m 是样本数，y 是标签，取值 0 或 1，i 示意第 i 个样本，p(x)示意预测的输入。

7. 实例

应用 Logistic 回归来预测患疝气病的马的存活问题。原始数据集下载地址

数据蕴含了 368 个样本和 28 个特色。该数据集中蕴含了医院检测马疝病的一些指标，有的指标比拟主观，有的指标难以测量，例如马的疼痛级别。另外须要阐明的是，除了局部指标主观和难以测量外，该数据还存在一个问题，数据集中有 30% 的值是缺失的。上面将首先介绍如何解决数据集中的 数据缺失问题 ，而后再 利用 Logistic 回归和随机梯度回升算法来预测病马的生死。

7.1. 数据筹备

数据中的缺失值解决办法：

  • 应用可用特色的均值来填补缺失值；
  • 应用非凡值来填补缺失值，如 -1；
  • 疏忽有缺失值的样本；
  • 应用类似样本的均值添补缺失值；
  • 应用另外的机器学习算法预测缺失值。

预处理数据做两件事：

  1. 如果测试集中一条数据的 特征值 曾经缺失，那么咱们抉择实数 0 来替换所有缺失值，因为本文应用
    Logistic 回归。因而这样做不会影响回归系数的值。sigmoid(0)=0.5，即它对后果的预测不具备任
    何倾向性。
  2. 如果测试集中一条数据的 类别标签 曾经缺失，那么咱们将该类别数据抛弃，因为类别标签与特色不
    同，很难确定采纳某个适合的值来替换。
train = pd.read_table('horseColicTraining.txt',header=None)
train.head()
train.shape
train.info()

test = pd.read_table('horseColicTest.txt',header=None)
test.head()
test.shape
test.info()

7.2. 回归

失去训练集和测试集之后，能够失去训练集的 weights。这里须要定义一个分类函数，依据 sigmoid 函数返回的值来确定 y 是 0 还是 1。

"""
函数性能：给定测试数据和权重，返回标签类别
参数阐明：inX：测试数据
    weights：特色权重
"""

def classify(inX,weights):
    p = sigmoid(sum(inX * weights))
    if p < 0.5:
        return 0
    else:
        return 1

7.3. 模型构建

"""
函数性能：logistic 分类模型
参数阐明：train：测试集
    test：训练集
    alpha：步长
    maxCycles：最大迭代次数
返回：retest: 预测好标签的测试集
"""

def get_acc(train,test,alpha=0.001, maxCycles=5000):
    weights = SGD_LR(train,alpha=alpha,maxCycles=maxCycles)
    xMat = np.mat(test.iloc[:, :-1].values)
    xMat = regularize(xMat)
    result = []
    
    for inX in xMat:
        label = classify(inX,weights)
        result.append(label)
    retest=test.copy()
    retest['predict']=result
    acc = (retest.iloc[:,-1]==retest.iloc[:,-2]).mean()
    
    print(f'模型准确率为：{acc}')
    
    return retest
  • 运行后果
get_acc(train,test,alpha=0.001, maxCycles=5000)
  • 运行 10 次查看后果：
for i in range(10):
    acc =get_acc(train,test,alpha=0.001, maxCycles=5000)

从后果看出，模型预测的准确率根本维持在 74% 左右，起因有两点：

  1. 数据集自身有缺失值，解决之后对后果也会有影响；
  2. 逻辑回归这个算法自身也有下限。

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正文完
机器学习
发表至： 机器学习
2023-03-08
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