概率相干

从骰子试验引出的各种概率概念

1. 投骰子，呈现点数为 6 的概率 $$\frac{1}{6}$$. 投骰子，已知呈现点数为偶数 ，呈现点数为 6 的概率则是 $$\frac{1}{3}$$，这个概率即 条件概率。

2.条件概率 为：假如咱们晓得 A 事件曾经产生，在此基础上咱们想晓得 B 事件产生的概率，这个概率为条件概率，记作 $$P(B|A)$$

3.古典概率模型：假如一个试验，有 $$\Omega$$ 个等可能性的后果，事件 A 蕴含其中 $$X$$ 个后果，事件 B 蕴含其中 $$Y$$ 个后果，$$Z$$ 代表其中穿插的事件：

事件 A 产生的概率：$$P(A) = \frac{X}{\Omega}$$；事件 B 产生的概率：$$P(B) = \frac{Y}{\Omega}$$；事件 A、B 都产生的概率：$$P(AB) = \frac{Z}{\Omega}$$ 如果事件 A 曾经产生，那么事件 B 也产生的概率是 $$P(B|A) = \frac{Z}{X}$$，将公式开展：这个公式就是条件概率公式

$$
P(B|A) = \frac{\frac{Z}{\Omega}}{\frac{X}{\Omega}}= \frac{P(AB)}{P(A)}
$$

4. 如果条件概率 $$P(B|A)$$ 大于 $$P(B)$$，代表事件 A 的产生会促成事件 B 的产生，例如下面投骰子的例子。还有能够看下图，自身 $$P(B)$$ 的概率是比拟小的，在事件 A 已产生的状况下，因为相交局部较多，事件 B 产生的概率也晋升了：

5. 如果条件概率 $$P(B|A)$$ 小于 $$P(B)$$，代表事件 A 不会促成事件 B 的产生，例如事件 A 为投骰子点数为偶数，事件 B 为投骰子点数小于 < 4，事件 A 和 事件 B 产生的概率都为 $$1/2$$，事件 A、B 同时产生的概率是 $$1/6$$，条件概率 $$P(B|A)$$ 为 $$1/3$$。还有能够看下图，自身 $$P(B)$$ 的概率是比拟大的，在事件 A 已产生的状况下，因为相交局部较少，事件 B 产生的概率被升高了：

6. 如果条件概率 $$P(B|A)$$ 等于 0，代表事件 A 与事件 B 齐全不相交，即事件 A 产生则事件 B 肯定不会产生，事件 A 与事件 B 是 不相容事件 ，或者是 互斥事件。如下图所示：

7. 还有可能条件概率 $$P(B|A)$$ 等于 $$P(B)$$，在这种状况下其实就是事件 A、B 的产生互不相干，例如有两个骰子，事件 A 为骰子 1 投出点数 6，事件 B 为骰子 2 投出点数 2，事件 A 和 事件 B 产生的概率都为 $$1/6$$，那么事件 A、B 同时产生的概率是 $$\frac{1}{36}$$，条件概率 $$P(B|A)$$ 等于 $$\frac{1}{6}$$，咱们个别称这种为独立事件。如下图所示：

全概率公式与骰子试验验证

假如有 $$A_1,A_2,…,A_n$$ 这些互斥事件，蕴含了试验所有可能的后果：

即有 $$P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n) = 1$$。拿刚刚的骰子举例，其实就是抛一次骰子，点数别离为 1，2，3，4，5，6.

假如再有一个事件 B，用古典概率示意如图：

事件 B 的概率，能够通过事件 B 在 $$A_1,A_2,…,A_n$$ 这些互斥事件上的条件概率以及这些事件的概率进行计算，即全概率公式：

$$
条件：P(A_1) + P(A_2) + … + P(A_n) = 1
$$

$$
后果：P(B) = P(B\Omega) = P(BA_1) + P(BA_2) + … + P(BA_n) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)
$$

例如事件 B 就是投出的骰子为偶数，$$P(B) = \frac{1}{2}$$，$$P(A_{点数 =1})P(B|A_{点数 =1}) + P(A_{点数 =2})P(B|A_{点数 =2}) + P(A_{点数 =3})P(B|A_{点数 =3}) + P(A_{点数 =4})P(B|A_{点数 =4}) + P(A_{点数 =5})P(B|A_{点数 =5}) + P(A_{点数 =6})P(B|A_{点数 =6}) = \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 + \frac{1}{6} * 0 + \frac{1}{6} * 1 = \frac{1}{2}$$

全概率公式的应用：足球预测

全概率公式的意义在于：在大多数状况下，咱们是 很难像骰子试验一样间接得出事件 B 的概率 的，咱们须要限定事件的样本空间，依据现有样本形象出事件 $$A_1,A_2,…,A_n$$，同时统计这些事件上 B 产生的概率，最初得出事件 B 的概率。

举个例子即揣测本次欧洲杯英国队对阵德国队，英国队胜利的概率，咱们能够通过历史较量数据（例如近几届欧洲杯较量数据，以及两队对阵较量数据）估算出英国队进球数为 0，1，2，3，4，5… 的概率，德国队进球数为 0，1，2，3，4，5… 的概率，其中 英国队进球数大于德国队即英国队胜利的概率。这就是全概率公式的一种利用。

由因推果与由果推因

全概率公式就是 由因推果 ，一个典型的例子就是下面提到本次欧洲杯英国队对阵德国队，英国队胜利的概率的揣测。咱们依据以往较量数据，能够算出英国队还有德国队的均匀进球，进球概率个别合乎 泊松散布 （这个咱们之后还会提到，还会用这个例子详细分析），依据 泊松散布，咱们能够能够得出英国队还有德国队进球数 n 的概率，假如英国队均匀进球为 1.67，德国队均匀进球为 1.52 则（咱们这里只思考到进球数为 4 的状况）：

假如 $$P(A_0)$$ 为英国队进球数为 0 的概率并以此类推：

$$
P(A_0) = 0.1882
$$

$$
P(A_1) = 0.3144
$$

$$
P(A_2) = 0.2625
$$

$$
P(A_3) = 0.1461
$$

$$
P(A_4) = 0.061
$$

假如 $$P(B)$$ 为英国队胜利的概率，则依据全概率公式有：

$$
P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) + P(A_4)P(B|A_4)
$$

$$
P(B|A_0) = 0
$$

$$
P(B|A_1) = 德国队进球为 0 的概率 = 0.2187
$$

$$
P(B|A_2) = 德国队进球为 0，1 的概率 = 0.2187 + 0.3324 = 0.5511
$$

$$
P(B|A_3) = 德国队进球为 0，1，2 的概率 = 0.2187 + 0.3324 + 0.2527 = 0.8038
$$

$$
P(B|A_4) = 德国队进球为 0，1，2，3 的概率 = 0.2187 + 0.3324 + 0.2527 + 0.128 = 0.9318
$$

$$
P(B) = 0.1882 * 0 + 0.3144 * 0.2187 + 0.2625 * 0.5511 + 0.1461 * 0.8038 + 0.061 * 0.9318 = 0.3877
$$

然而，事实问题中，咱们常常还会遇到由果推因的问题，例如咱们体检，检测进去了胆囊息肉，那它到底是否是肿瘤造成的还是胆固醇造成的或者是其余起因呢？这就须要咱们从这个后果揣测造成的起因。这就引出了 贝叶斯公式

从足球预测例子了解先验概率与后验概率

在提到贝叶斯公式之前，咱们先搞清楚两个概念，先验概率 与后验概率。

先验概率 个别是通过教训得出，即依据历史采集到的数据，没有做任何限度，得出的教训概率。下面的例子提到的通过历史较量数据揣测进去的两队进球数的概率，就是 先验概率 。这时候假如较量开始，而后产生了一个事件，德国队后卫失误被英国队凯恩先进了一球，这时候咱们须要在这个前提下从新计算两队进球数的概率，这个就是 后验概率。

先验概率 即齐全依据历史数据揣测出的教训概率，没有任何已产生前提状况下的概率。后验概率 即察看到某个景象须要对 先验概率 进行修改的概率。能够这样简略了解，较量开始前，预计的概率个别就是先验概率，较量开始后，产生红黄牌，点球，进球，换人等等这些事件后，对概率进行修改后得出的就是后验概率。

贝叶斯公式与胆囊息肉造成起因揣测

假如有事件 A、B，则：

$$
P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$

这就是贝叶斯公式，咱们再联合起来全概率公式，假如咱们事件 $$A_1, A_2, …, A_n$$ 这些互斥事件形成了样本空间的选集，则有：

$$
P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + … + P(B|A_n)P(A_n)}
$$

咱们来用胆囊息肉造成起因揣测举个例子，假如咱们统计到在某个医院一百万个病人样本中，患有肿瘤的有 8%，其中的 20% 已经发现胆囊息肉，具备高胆固醇症状的人有 80%，其中 40% 已经发现胆囊息肉，剩下其余的 12% 中 30% 已经发现胆囊息肉。假如 $$A_1$$ 为患有肿瘤，$$A_2$$ 为胆固醇，$$A_3$$ 为其余。$$B$$ 为胆囊息肉。则胆囊息肉为肿瘤的概率为：

$$
P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3)} = \frac{0.2 * 0.08}{0.2 * 0.08 + 0.4 * 0.8 + 0.3 * 0.12} = 0.043
$$