关于javascript:Field-PlayRungeKutta

引子

在 Filed Play：简介中提到了这个办法，查资料理解了一下。

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相干概念

极限

有时不能间接计算某个值，但能够看看逐步靠近时的状况，看上面的例子：

当 x = 1 时，发现后果是 0/0，这个在数学上是未定式，是不确定的。那看看靠近的状况：

发现当 x 靠近 1 的时候，f(x) 越来越靠近 2，这种状况就是 极限。

咱们能够说当 x 趋近 1 时，f(x) 的极限是 2，用符号示意就是：

更加正式的定义见这里。

导数

设函数 f(x) 在 x₀ 有定义，如果以下极限存在：

则称 f(x) 在 x₀ 处 可导 ，上述极限值为 f(x) 在 x₀ 处的 导数，记作 f^‘(x₀)。

导数形容的是函数的 变化率，在几何中能够通过导数计算出某一点切线的斜率。

求导法令见这里。

微分

设函数 y=f(x) 在 x₀ 处间断，若存在实数 A，使得:

其中 △x -> 0，则称 f(x) 在 x₀ 处 可微 ，线性局部 A△x 为 f(x) 在 x₀ 处的 微分，记作 dy。

微分的几何意义是线性代替，线性代替的思维能够推广至高阶代替。

更加具体的介绍见这里。

微分方程

微分方程 指的是含有函数及其导数的方程。微分方程中有的有无穷多解，有的无解，有的则仅有无限个解。

微分方程的 阶数 取决于方程中呈现的最高次导数阶数。

• 常微分方程：仅含有一个独立变量的微分方程。
• 偏微分方程：函数蕴含两个或两个以上的独立变量。
• 特解：满足微分方程的某一个解。
• 通解：满足微分方程的一组解。
• 初值问题：满足初值条件的常微分方程的解。
• 单步法：计算下一个点的值 y_n+1 只须要用到后面一个点的值 y_n。
• 多步法：计算下一个点的值 y_n+1 须要用到后面 m 个点的值 y_m。

更多信息见这里和这里。

Runge-Kutta

龙格-库塔法是一种求解常微分方程数值解的单步算法。其中有一个在工程上利用很宽泛，称为 RK4。

对于一阶微分方程初值问题：

其中，t₀ 为初始工夫（已知常数），y₀为初始状态（已知向量），f(t,y) 是对于工夫 t 和状态 y 的函数（已知函数）。

RK4 求解算法为：

其中：

h 为工夫步长。

参考资料

• Runge–Kutta methods wiki
• Runge–Kutta methods mathworld
• Runge-Kutta 办法及其推导
• 龙格库塔法